Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Прямая на плоскости. Примеры решенийРешение проводим с помощью калькулятора. Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2). Задание. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Требуется:
Сделать чертеж. Пример №3. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) длину стороны AB ; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001. Сделать чертеж. Пример №4. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) уравнение высоты, проведенной через вершину C ; 2) уравнение медианы, проведенной через вершину C ; 3) точку пересечения высот треугольника; 4) длину высоты, опущенной из вершины C. Сделать чертеж. Пример №5. Даны вершины треугольника ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Определите: 1) длину стороны AB ; 2) уравнение сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) площадь треугольника.
Задание. Найти острый угол между прямыми x + y -5 = 0 и x + 4y — 8 = 0 . Пример №1. Даны координаты точек А1(1;0;2), A2(2;1;1), А3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.
Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4 Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты. Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2). Составить уравнение прямой параллельной биссектрисе первого координатного углаСоставить уравнение прямой параллельной биссектрисе первого координатного углаНайти уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в том случае, когда прямая проходит через начало координат, имеет вид так как в этом случае отрезок b, отсекаемый прямой на оси Oy, равен нулю. Биссектриса первого и третьего координатных углов составляет с положительным направлением оси Ox угол в . Величина k в уравнении y = kx + b есть тангенс этого угла, т. е. . Подставляя это значение в уравнение (1), получим y = x. Это и есть уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов, его следует запомнить. Оно может быть записано также в виде x — y = 0. Составить уравнение прямой параллельной биссектрисе первого координатного углаДавай для начала найдем точку пересечения этих прямых 2x-4=(2-x)/3 | * 3 Какое уравнение биссектрисы первого координатного угла? y = x Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задачТреугольник является одной из самых простых фигур, которая часто встречается школьникам в задачах по геометрии. В свою очередь, биссектриса представляет собой важный элемент, характеризующий тот или иной угол. Решение геометрических проблем с участием этих объектов требует наличия определенных знаний. Чтобы уметь составлять по координатам вершин уравнение биссектрисы треугольника, необходимо понимать выражения для прямых линий. Прямая на плоскостиЗадачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие: Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы: Делящая пополам угол линияКаждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол. Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac. Способы построенияВ классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие: Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.
Основные свойстваЧтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °. Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла. Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является. В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение: Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников. Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства: Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.
Уравнение биссектрисы треугольникаКогда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения. В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему): Пример решения задачиПусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить. Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:
Составить уравнения биссектрис можно так: | y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5. Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:
Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид: Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения: При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:
Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2: BD2 = 2,014 единицы.
источники: http://math.semestr.ru/line/example-analytic-geometry.php http://b4.cooksy.ru/articles/sostavit-uravnenie-pryamoy-parallelnoy-bissektrise-pervogo-koordinatnogo-ugla |