Уравнение прямой проходящей через точку параллельно оси oz

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид

(так как плоскость по условию задачи параллельна оси Oz, то в ее уравнении отсутствует координата z).

Если плоскость проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляя координаты точек A и B в уравнении (1), получим два уравнения:

Для определения коэффициентов A, B и D имеем систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Составляем матрицу коэффициентов этих уравнений

Тогда по формулам (25) получаем

Подставляя найденные значения A, B и C в (1), получим

После сокращения на t уравнение искомой плоскости приобретает вид

Проверьте правильность решения подстановкой в полученное уравнение сначала координат точки A, а потом координат точки B. Каждый раз в левой части должен получиться ноль.

Уравнение прямой проходящей через точку параллельно оси oz

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид

(так как плоскость по условию задачи параллельна оси Oz, то в ее уравнении отсутствует координата z).

Тогда по формулам (25) получаем

Подставляя найденные значения A, B и C в (1), получим

После сокращения на t уравнение искомой плоскости приобретает вид

Каноническое и параметрическое уравнения прямой

Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M₀ , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow $ коллинеарен вектору а, т. е.

Если точки М и M₀ заданы своими радиус-векторами r и r₀ (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то $\overrightarrow $ = r — r₀, и уравнение (1) принимает вид

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.

Пусть точка M₀ прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

$$ \begin x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M₀(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 2, z₀ = 4; а₁ = 2; а₂ = -5; а₃ = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin x = -3 — 2t \\ y = 2 — 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а₁ равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀, z₀) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а₂; а₃).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а₁ и а₂ равны нулю, то эти уравнения принимают вид

Это уравнения прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀; z₀) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х₀, y = у₀, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а₁ , а₂ , а₃ не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(-4; 1; -3) и M₂(-5; 0; 3).

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; -2; 1) и

После подстановки координат точек M₁ и M₂ в уравнения (5) получим

Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения

Содержание:

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Определение: Уравнение м поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными х, у у z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. То есть если

— уравнение поверхности Р (рис. 189), то при М(х, у, z)

Таким образом, уравнение (1) выполнено тогда и только тогда, когда точка М(х, у, z) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности — это значит найти связь между текущими координатами ее точек.

Пример (уравнения координатных плоскостей):

Каждая точка М(х, у, z), лежащая на координатной плоскости Oyz, имеет абсциссу х = 0; обратно, если для какой-нибудь точки М(х, у, z) абсцисса ее х = 0, то эта точка расположена на плоскости Oyz. Следовательно,

— уравнение координатной плоскости Oyz. Аналогично,

— соответственно уравнения координатных плоскостей Oxz и Оху.

Формула обозначает, что точка М принадлежит Р. Формула обозначает, что точка N не принадлежит Р.

В более общем случае

— уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответствующим координатным осям Ох, Оу, Ог и отсекающих на них отрезки, численно равные

Теорема: Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержит текущей координаты, одноименной с этой координатной осью, и обратно.

Доказательство: Пусть, например, цилиндрическая поверхность Р образована перемещением прямой (образующая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (направляющая) (рис. 190).

Обозначим через М(х, у, z) точку поверхности Р с текущими координатами х, у и z. Образующая MN, проходящая через точку М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N(x, у, 0).

— уравнение направляющей L в координатной плоскости Оху. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки N. Так как точка М поверхности Р имеет ту же самую абсциссу хиту же самую ординату у, что и точка N, а переменная г в уравнение (3) не входит, то координаты точки М также удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, координаты любой точки М(х, у, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению (3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки М(х, у, z) удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на прямой MN || Оz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N(x, у, 0), лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит цилиндрической поверхности Р. Следовательно,

является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z.

Пример (уравнение эллиптического цилиндра):

Эллиптический цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и b, а осью служит ось Оz (рис. 191), на основании предыдущей теоремы имеет уравнение

В частности, при а = b получаем уравнение кругового цилиндра

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух данных поверхностей (рис. 192). Точка , лежащая на линии L, принадлежит как поверхности так и поверхности , и, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей.

Поэтому под уравнениями линии в пространстве понимается совокупность двух уравнений:

являющихся уравнениями поверхностей, определяющих данную линию.

Не нужно думать, что для нахождения уравнений линий систему (4) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать, так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных. Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий: линии L принадлежат те и только те точки , координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям системы (4).

Заметим, что данную линию можно по-разному задавать как пересечение поверхностей. Поэтому линии в пространстве соответствует бесчисленное множество равносильных между собой систем уравнений.

Определение: Уравнениями линии в пространстве называется такая пара уравнений между переменными , которой удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Пример (уравнения координатных осей):

Ось Ох можно, рассматривать как пересечение координатных плоскостей Оху и Oxz. Поэтому

— уравнения оси Ох. Аналогично,

— уравнения осей Оу и Oz соответственно.

Пример:

Написать уравнения окружности Г радиуса R = 1, центр которой находится в точке С(0, 0, 2) и плоскость которой параллельна координатной плоскости Оху (рис. 193).

Решение:

Окружность Г можно рассматривать как пересечение кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz и горизонтальной плоскости, расположенной выше координатной плоскости Оху на две единицы. Поэтому уравнения данной окружности есть

В механике линию L часто рассматривают как след движущейся точки (рис. 194). Пусть х, у, z — текущие координаты точки М линии L. Так как с течением времени точка М перемещается и ее координаты меняются, то они являются функциями времени t. Следовательно, имеем

где — некоторые определенные функции. Обобщая уравнения (5), под t понимают вспомогательную переменную (параметр)> не обязательно время; поэтому уравнения (5) носят название параметрических уравнений линии в пространстве.

Исключая из уравнений (5) параметр t, мы получим два соотношения между текущими координатами х, у и z, которые представляют собой уравнения некоторых поверхностей, проходящих через данную линию.

Пример:

Написать уравнения винтовой линии радиуса а и шага (рис. 195).

Решение:

Пусть М (х, у, z) — текущая точка винтовой линии, М’ (х, у, 0) — ее проекция на плоскость Оху.

Приняв за параметр и учитывая, что аппликата г винтовой линии растет пропорционально углу поворота t, будем иметь

Для определения коэффициента пропорциональности b положим ; тогда . Следовательно,

Исключая параметр t из первого и второго, а также из первого и третьего уравнений (6), получаем

Следовательно, винтовая линия представляет собой пересечение кругового цилиндра с образующими, параллельными оси Oz, и цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Оу, и имеющей своей направляющей косинусоиду, лежащую в плоскости . Из уравнений (6′) также вытекает, что проекция винтовой линии (6′) на координатную плоскость Оху есть окружность, а на координатную плоскость — косинусоида.

Текущую точку кривой L можно характеризовать ее радиусом-вектором («следящий радиус-вектор») (рис. 196)

( — орты). Тогда из (5) получаем векторное уравнение линии

— так называемая вектор-функция скалярного аргумента t.

В механике в качестве параметра t обычно берут время. В таком случае линию (7) называют траекторией точки М(х, у, z).

Множество всех точек М(х, у, г) пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (или системе уравнений), называется геометрическим образом (графиком) данного уравнения (или системы уравнений).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует уравнению

Решение:

Из уравнения (8) получаем или . Следовательно, графиком уравнения (8) является пара плоскостей, параллельных координатной плоскости Оху и отстоящих от нее на расстояниях, равных единице (рис. 197).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует паре уравнений

Решение:

Искомый график представляет собой пересечение плоскостей х = 2 и у = 3 и, следовательно, является прямой линией, параллельной оси Oz и имеющей след N (2, 3, 0) на координатной плоскости Оху (рис. 198).

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика
Алгебра
Линейная алгебра
Векторная алгебра
Высшая математика
Дискретная математика
Математический анализ
Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Общее уравнение плоскости
Угол между плоскостями
Понятие о производной вектор-функции
Криволинейные интегралы
Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
Линии второго порядка
Полярные координаты
Непрерывность функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Электронная библиотека

1) Расстояние между двумя точками

2) Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку , есть , где — радиус-вектор текущей точки , – радиус-вектор точки M₀ .

В координатной форме эта плоскость имеет уравнение:

3) Расстояние точки от плоскости (*) равно:

4) Векторное уравнение прямой линии в пространстве: , где — текущий радиус-вектор точки прямой, — направляющий вектор прямой.

В координатной форме уравнение прямой имеет вид:

5) Прямая линия как пересечение плоскостей задается системой уравнений:

Направляющий вектор (рис. 8.1).

6) Уравнения прямой в параметрической форме:

7) Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Пример 18. Записать уравнение плоскости, отсекающей по осям координат соответственно отрезки а, b и с.

т.е. — уравнение плоскости в отрезках.

Пример 19. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2;-3;1) и имеющей нормальный вектор

Решение: Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀ и перпендикулярной данному вектору:

Пример 20. Найти величину отрезков, отсекаемых на осях координатной плоскостью 3х — 4у + 12z – 60 = 0.

Решение: приведём уравнение данной плоскости к уравнению в отрезках:

Пример 21. Записать уравнение прямой

и определить направляющие косинусы.

Решение: Имеем , следовательно, направляющий вектор

Пример 22. Записать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки

Решение: За направляющий вектор прямой можно принять

тогда уравнение искомой прямой будет:

Пример 23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(3;-2;6) и параллельной оси Oz.

Решение: Поскольку прямая параллельна оси Oz, то и По каноническому уравнению получаем:

которые равносильны уравнениям:

Следовательно, искомая прямая перпендикулярна осям Ох и Оу.

Пример 24. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(5;-10;6) параллельно вектору

Решение: так как , то канонические уравнения прямой будут:

приравняв каждое из отношений параметру найдём параметрические уравнения:

8) Угол между плоскостями:

где — двугранный угол между плоскостями.

9) Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

10) Угол между двумя прямыми в пространстве

11) Условия параллельности и перпендикулярности прямых:

12) Угол между прямой и плоскостью

13) Взаимное расположение прямой и плоскости:

а) прямая и плоскость пересекаются, если Am + Bn + ≠ 0;

б) перпендикулярны, если ,

в) параллельны, если , ( );

г) совпадают, если , .

Пример 25: Найти угол между плоскостями 2x-3y-2z+5=0 и 3x-5y+z-3=0.

Пример 26: Найти угол между прямой x = -2 — t, y = 3 — t, z = -3 + 2t и плоскостью 4x — 8y + 4z – 18 = 0.

Решение: Имеем , найдем

Пример 27. Найти проекцию точки M(2;-1;3) на плоскость 3x — 2y + 4z + 15 = 0.

Решение: Проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость 3x-2y+4z+15=.

Если провести прямую через этот перпендикуляр, то направляющим вектором этой прямой будет вектор , так как он совпадает с нормальным вектором данной плоскости. Следовательно, прямая, проходящая через точку M(2,-1,3) будет:

Подставим эти выражения в уравнения плоскости, будем иметь:

При этом значении t из уравнения прямой получаем:

Следовательно, точка M * ( ) – искомая проекция.

Поверхности второго порядка

1) Цилиндрические поверхности:

а) с образующими параллельными оси OZ: F(x,y) = 0;

б) с образующими параллельными оси OX: F(y,z) = 0;

в) с образующими параллельными оси OY: F(x,z) = 0.

Пример 28: Указать, какие поверхности заданы уравнениями:

а) в уравнении отсутствует явно переменная z, следовательно, имеем цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OZ, направляющей служит окружность x 2 + y 2 = 4 (рис. 8.2, а) – прямой круговой цилиндр;

б) y = x 2 – параболический цилиндр, с образующими параллельными оси OZ, y = x 2 — направляющая (рис. 8.2, б);

в) x 2 / 9 + z 2 / 4 = 1 – эллиптический цилиндр, так как направляющая есть эллипс; образующие параллельные оси OY (рис. 8.2, в);

г) x 2 — y 2 = 4 – гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси OZ (рис. 8.2, г).

2) Поверхности вращения:

а) поверхность, образованная вращением линии l, x = x(z), y = y(z) вокруг оси OZ, задается уравнением x 2 + y 2 = x 2 (z) + y 2 (z);

б) поверхность, образованная вращением линии x = x₁(у), z = z₁(у) вокруг оси ОУ, задается уравнением ;

в) поверхность, образованная вращением линии y = y₂(x), z = z₂(x) вокруг оси ОХ, задается уравнением .

Пример 29: Записать уравнения поверхностей вращения, если:

а) линия z = y 2 вращается вокруг оси OZ;

б) линия x = y вращается вокруг оси ОУ.

Решение: а) так как линия z = y 2 вращается вокруг оси OZ, то каждая ее точка описывает окружность радиуса с центром на оси OZ. Следовательно, в уравнении линии надо заменить y на , получим — параболоид вращения с осью вращения OZ (рис. 8.2, е).

Поверхности второго порядка

2) Уравнение трехосного эллипсоида с полуосями a, b и с:

3) Уравнение однополосного гиперболоида:

4) Уравнение двухполосного гиперболоида:

5) Уравнение конуса второго порядка:

6) Эллиптический параболоид:

7) Гиперболический параболоид (“седло”):

8) — пара пересекающихся плоскостей.

9) — пара параллельных плоскостей.

10) Уравнение параболоида вращения вокруг оси OZ:

Замечание: Вид поверхностей, соответствующих приведенным уравнениям, легко получить методом “сечений”.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

источники:

http://b4.cooksy.ru/articles/uravnenie-pryamoy-prohodyaschey-cherez-tochku-parallelno-osi-oz

http://libraryno.ru/8-analiticheskaya-geometriya-v-prostranstve-sp_kostenko/