Уравнения прямой в пространстве векторное, общее, канонические, параметрические (Таблица)
Способ задания прямой в пространстве
Вид уравнения прямой
Векторное уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно заданному вектору s .
s — направляющий вектор прямой
где t — скалярный множитель (параметр)
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и параллельно вектору s =
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0,z0) параллельно вектору s =
Прямая как линия пересечения двух непараллельных плоскостей (общие уравнения прямой)
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $\left\<\begin
2) $\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $\frac
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
Расположение двух прямых в пространстве.
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $
Угол между прямыми:
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac
,$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac<|[\overline
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline=q(2,-3,5).$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой
$\left\<\begin
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac<1><2>\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$\frac
Подставляем заданные точки:
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac<|[\overline
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2). $
Отсюда находим $\overline
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\<\begin
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
Таким образом, $M=(-14, -\frac<25><2>, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin
имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac<|[\overline
$\overline
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $\frac
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $\left\<\begin
2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\<\begin
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac
Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
Неверно введено число.
Точки должны быть разными.
Уравнение прямой в пространстве
Введите координаты точки A
x0 | = |
y0 | = |
z0 | = |
x1 | = |
y1 | = |
z1 | = |
Количество знаков после разделителя дроби в числах:
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
Параметрическое уравнение прямой:
где вектор a( ; ; ) — направляющий вектор
Теория
Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:
Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1) называется равенство:
Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется:
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/pryamaya-v-prostranstve
http://www.math.by/geometry/eqline3d.html