Г) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне .
Читайте также:
|
A(1;2), | B(-1;-2), | C(4;-5). |
Решение:
Координаты векторов находим по формуле:
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = -1-1 = -2; Y = -2-2 = -4
=(-2;-4)
=(3;-7)
=(5;-3)
а) Длина стороны
Ответ:
б) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
y = 2x или y -2x = 0
Ответ: или y = 2x или y -2x = 0
в) Угол
Найдем угол между векторами AB(-2;-4) и AC(3;-7)
γ = arccos(0.65) = 49.77 0
Ответ: = 49,77 0
г) Уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку С(4,-5)
Уравнение прямой AB: y = 2x
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:
Подставляя x0 = 4, k = 2, y0 = -5 получим:
y = 2x -13 или y -2x +13 = 0
Ответ: y = 2x -13 или y -2x +13 = 0
Задание. 4. Даны координаты точек . Требуется:
а) составить канонические уравнения прямой ;
б) составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой ;
в) составить уравнение плоскости , проходящей через точки ;
Дата добавления: 2015-04-20 ; просмотров: 11 | Нарушение авторских прав
Уравнение параллельной прямой
Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).
Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /7x – 4 /7 (здесь a = 5 /7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .
Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.
Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).
3 уравнение прямой проходящей через вершину с параллельно прямой ав
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, графики, матрицы, пределы, мнк
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Задания 1-10. Даны координаты точек: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3).
Значения координат точек приведены в таблице к этому заданию.
А) длину отрезка АВ;
Б) уравнение прямых АВ и ВС, проведенных через точки А, В и В, С соответственно;
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Е) построить чертеж, на котором показать заданные точки, угол θ и прямые.
Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj
Для вектора AB X = x2 — x1; Y = y2 — y1
X = 11—1 = 12; Y = -5-4 = -9
А) длина отрезка АВ
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
Б) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами BA и BC
γ = arccos(0.45) = 63.440
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(15;17) и прямой AB (4y + 3x — 13 = 0)
Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой
Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем: x = 3, y = 1
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Уравнение прямой, проходящей через данную точку С(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y — y1 = k(x — x1).
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку С(x1, y1), которая называется центром пучка. А k — это коэффициент при х уравнения прямой АВ
Тогда получим
Е) построим чертеж
Задания 11-20. Решить систему уравнений двумя способами (по формулам Крамера и методом Гаусса)
№12.
По формулам Крамера.
Запишем систему в виде:
∆ = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-2 • (2 • (-2)-1 • (-3))+4 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = -35 = -35
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-(-7 • (2 • (-2)-1 • (-3)))+0 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 1 • (-7 • (-2)-0 • (-1))-2 • (1 • (-2)-0 • (-3))+4 • (1 • (-1)-(-7 • (-3))) = -70
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 1 • (-3 • 0-1 • (-7))-2 • (2 • 0-1 • 1)+4 • (2 • (-7)-(-3 • 1)) = -35
Выпишем отдельно найденные переменные: , ,
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
Из 1-ой строки выражаем z:
Из 2-ой строки выражаем у:
Из 3-ой строки выражаем x:
Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения.
Задания 21-30. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
№22. а) ;б) ;в);г);д)
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) ;
Использовали при
Д)
Задания 31-40. Задана функция y=ƒ(x). Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
№32.
Построим график данной функции:
Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.
Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .
Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,
, . Так как , Следовательно функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.
, . Так как , то в этой точке функция в этой точке непрерывна
Задания 41-50. Найти производные первого порядка y’= функций:
№42. а); б) ; в) ;
Д) ,
А) ;
Б) ;
Дифференцируем обе части равенства по х:
Разрешаем равенство относительно :
, тогда
Окончательно:
В) ;
Прологарифмируем данную функцию:
Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.
Отсюда:
Д) ,
Находим и
Отсюда
Задания 51-60. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
№52.
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:
, ,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
№Задания 61-70. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить график функции.
№62. ;
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Полученное решение отметим на рисунке.
Точки пересечения с осью : нет
, , — нет решений.
Точки пересечения с осью у:
Пусть х=0:
Вертикальные асимптоты: х=3
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: у=2х.
Предел разности исходной функции и функции 2х на бесконечности равен нулю.
Первая производная:
==
Критические точки: х=1, х=5
Случай.
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , х-3=2, х=5
Случай .
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , , х=1
Вторая производная:
Возможные точки перегиба: нет
Точки разрыва: х=3
Симметрия относительно оси ординат: нет
Симметрия относительно начала координат: нет
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительный минимум . Относительный максимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции:
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет
Задания 71-80. Найти интегралы.
№72. а) ; б) ; в) ; г) ;
А) ;
Б) ;
В) ;
Г)
Задания 81-90. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость
№82. ;
Задания 91-100. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать рисунок.
№92. и ;
Данные линии ограничивают две одинаковые по площади фигуры.
Тогда будем искать площадь одной части. Имеем
По формуле . В нашем случае
Тогда
Ответ: кв. ед.
Функции нескольких переменных
Задания 101-110. Исследовать на экстремум функцию.
№102. ;
Необходимое условие существования єкстремума
, — критические точки, подозрительные на экстремум.
Используем достаточные условия экстремума
Найдем
Для точки , — экстремум есть, а так как то в т. — минимум
Для точки , — экстремума нет.
Задания 111-120. Экспериментально получены значения функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Предполагая, что между и имеется линейная зависимость, методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу (вычислить параметры и )
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений метода наименьших квадратов:
Для наших данных система уравнений имеет вид:
10a0 + 30a1 = 32.5
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
3 уравнение прямой проходящей через вершину с параллельно прямой ав
РЕШЕНИЕ силой Разума — «ответ Замятина» — графическое, но и не без формул.
1) Строим треугольник на координатной плоскости Рисунок к задаче в приложении.
а) Уравнение стороны АВ — Y=k*x+b.
к = ΔY/ΔX = (Ay-By)/(Ax-Bx) = 4/(-8) = — 1/2 — наклон.
b = Ay — k*Ax = — 4 1/2 — сдвиг
Уравнение АВ — Y = — 0.5*x- 4.5 — сторона — ОТВЕТ
б) Уравнение высоты СН. (точка Н на рисунке не показана)
Высота — перпендикулярна стороне АВ.
k2 = — 1/k = — 1/(-1/2) = 2 — наклон перпендикуляра
b = Сy — k2*Cx = 7 — 2*7 = — 7 — формула выше
Уравнение СН = у = 2*x — 7 — высота — ОТВЕТ.
в) Уравнение медианы АМ. Точка М — середина ВС.
М = (В+С)/2 — середина отрезка.
Мy = 0, Mx = 6 и получили точку М(6;0).
Уравнение прямой АМ — по пункту 1)
Уравнение АМ — у = 1/3*x — 2 — медиана — ОТВЕТ
г) Точка пересечения двух прямых — решение системы из двух уравнений прямых. Записываем уравнения прямых в параметрической форме:
1) 2*х — у = 7 — уравнение высоты СН
2) х — 3*у = 6 — уравнение медианы АМ
Решаем . и получаем Nx= 3 Ny = -1
N(3;-1) — точка пересечения — ОТВЕТ
д) Параллельно АВ — с тем же наклоном, как и у прямой АВ.
к(АВ) = — 0,5 — (пункт 1) — наклон
b = (для точки С) = 7 — (-0,5)*7 = 10,5 — сдвиг
(точка F — на рисунке не обозначена).
Уравнение СF — y — 0.5*x+ 10.5 — параллельная — ОТВЕТ
е) Расстояние между точками — по теореме Пифагора.
Вычисляем длину высоты СН — расстояние до прямой АВ.
CH² = (Cy-Hy)² + (Cx-Hy)²
CH² = (7-(-5))² + (7-1)² = 12²+6² = 144+36 = 180
L(CH) = √180 — расстояние — ОТВЕТ (≈ 13.416)
3 уравнение прямой проходящей через вершину с параллельно прямой ав
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
http://math.semestr.ru/line/parallel.php
http://b4.cooksy.ru/articles/3-uravnenie-pryamoy-prohodyaschey-cherez-vershinu-s-parallelno-pryamoy-av