Уравнение прямой урок 2 онлайн мектеп ответы

Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).

(1)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:

(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).

(2)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Разработка урока по теме «Уравнение прямой».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Геометрия – 9 класс Урок № 14

Тема: «Уравнение прямой».

вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач;

закрепить умения и навыки по теме «Уравнение окружности»;

подготовка к ГИА.

– Распознать уравнение окружности и уравнение прямой по предложенному уравнению, научить обучающихся составлять уравнение окружности и уравнение прямой по готовому чертежу, строить окружность и прямую по заданному уравнению.

— Формулы уравнений окружности и прямой и уметь их применять при решении задач.

— Формирование критического мышления и навыков работы в группе.

— Содействовать в ходе урока воспитанию решительности, смелости при выполнении заданий, самостоятельности.

— Развитие памяти, логического мышления обучающихся при решении задач.

— Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

– Видеть проблему и наметить пути её решения.

– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран.

Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты класса об отсутствующих. Проверка готовности к класса к уроку.

II. Актуализация опорных знаний.

Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.

3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3).

4. Найдите длину вектора <–12; 5>.

5. Найдите координаты середины отрезка PQ, если Р (5; –3); Q (3; –7).

6. Найдите координаты вектора , если А (2; –5), В (–3; 4).

1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением 2х – 3y – 7 = 0?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.

3. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3).

4. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1).

5. Найдите координаты вектора, равного сумме векторов и, если <–12; 5>, <7; –3>.

6. Найдите координаты вектора , если С (–1; 6), D (3; –2).

III . Изучение нового материала.

Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть – это произвольная точка на прямой (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку (точка имеет координаты , точка имеет координаты ). Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

— это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

Введем новые обозначения:

Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:

– уравнение вертикальной прямой

На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 2. Вертикальные прямые

– уравнение горизонтальной прямой

На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 3. Горизонтальные прямые

Уравнение наклонной прямой к оси ( )

Введем новые обозначения:

Таким образом, уравнение наклонной к оси прямой выглядит следующим образом:

, где

– угловой коэффициент (если , то функция возрастает, если – убывает);

– ордината точки пересечения прямой с осью .

1. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в точке с координатами (см. Рис. 4).

Рис. 4. Прямая

2. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось в точке с координатами (см. Рис. 5).

Рис. 5. Прямая

Даны две прямые:

1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .

2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

Дана точка с координатами . Уравнение наклонной прямой: , следовательно, условие того, что точка лежит на прямой, – это .

– уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .

Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Дано : прямая ; точка .

Найти : а) уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку и перпендикулярна заданной прямой.

Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно . Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:

Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :

Ответ : а) ; б) .

Дано : точка ; точка .

Найти : уравнение прямой и точки ее пересечения с осями координат.

Уравнение прямой имеет вид:

Необходимо определить числа , , . Подставим координаты точек и в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

Решим эту систему, выразив и через :

Подставим это значение в равенство:

Найденные значения и подставляем в общее выражение прямой:

При разделим это выражение на и умножим на :

Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:

Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент и пересекает ось в точке с координатой (на рисунке 6 точка ).

Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю :

Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью – (на рисунке 6 точка ).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ : ; ; .

Дано : точка ; точка .

Найти : уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Пусть (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

Ответ : .

Уравнение прямой в отрезках

Пусть – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси и в точках и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках . В данном случае отрезок , а отрезок .

Дано : точка ; точка .

Найти : уравнение прямой .

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:

Ответ : .

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Дано : точки и на наклонной прямой (см. Рис. 11).

Требуется : вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

Получаем систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

Вычтем из первого уравнения второе:

Ответ : , где и .

1. Учитель объясняет решение задачи:

напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (–3; –1).

Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

2cx – 5cy + c = 0 |: c 0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x – 5y + 1 = 0.

Ответ: 2x – 5y + 1 = 0.

2. Самостоятельно по учебнику обучающиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.

3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 975.

Пересечение прямой с осью OX: y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);

пересечение прямой с осью OY: x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).

5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):

Точка пересечения прямых D (3; –2).

6. Решить задачу № 977.

Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.

7. Самостоятельное решение обучающимися задачи № 978.

8. Решить устно задачи:

1) Окружность задана уравнением (x – 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.

Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.

V . Подведение итогов урока.

С чем мы сегодня познакомились на уроке?

Назовите общий вид уравнения прямой.

Какое уравнение имеет прямая параллельная ОХ, ОУ?

VI . Домашнее задание: прочитать п. 95, ответить на вопросы с.249, выполнить № 972(а,б), № 979.

Уравнение прямой 9 класс

Уравнение прямой 9 класс презентация к уроку

Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой 9 класс»

Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением

где a , b , c — некоторые числа, причем a , b одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой прямой и называемого вектором нормали .