Уравнение прямой в 3х мерном пространстве

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве.

Эта статья является продолжением темы прямая в пространстве. Здесь мы от геометрического описания прямой линии в пространстве перейдем к алгебраическому описанию, то есть, определим прямую с помощью уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Статья построена следующим образом: сначала приведена общая информация, которая раскрывает значение фразы «уравнения прямой в пространстве», после этого рассмотрены уравнения прямой в пространстве различного вида, показана связь между ними и приведены примеры уравнений прямой.

Навигация по странице.

Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x , y и z , которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz . Действительно, уравнение вида , где x , y и z – переменные, а A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости. Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz »?

Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.

Уравнения прямой в пространстве — это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Переведем последнее утверждение на язык алгебры.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей и , которым отвечают общие уравнения плоскости вида и соответственно. Так как прямая a представляет собой множество всех общих точек плоскостей и , то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению , координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравнений определяет координаты каждой точки прямой a , то есть, определяет прямую a .

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей .

Вот пример задания прямой линии в пространстве с помощью системы двух уравнений — .

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве — уравнения двух пересекающихся плоскостей. В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве, и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.

Параметрические уравнения прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид , где x₁ , y₁ и z₁ – координаты некоторой точки прямой, a_x , a_y и a_z ( a_x , a_y и a_z одновременно не равны нулю) — соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а — некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x₁ , y₁ и z₁ : .

В качестве примера рассмотрим прямую, которую задают параметрические уравнения вида . Эта прямая проходит через точку , а направляющий вектор этой прямой имеет координаты .

Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве. В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра , легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку , а направляющим вектором прямой является вектор . К примеру, уравнения прямой в каноническом виде соответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами , направляющий вектор этой прямой имеет координаты .

Следует отметить, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа одновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись вида считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как , где .

Если одно из чисел в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чисел равны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей. Например прямая, соответствующая каноническим уравнениям прямой в пространстве вида , лежит в плоскости z=-2 , которая параллельна координатной плоскости Oxy , а координатная ось Oy определяется каноническими уравнениями .

Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой в 3х мерном пространстве

Неверно введено число.

Точки должны быть разными.

Уравнение прямой в пространстве

Введите координаты точки A

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

Параметрическое уравнение прямой:

где вектор a( ; ; ) — направляющий вектор

Теория

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) и B(x₁,y₁,z₁) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 — 5 , 2 3 , M 2 1 , — 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = — 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = — 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) = y — 2 3 — 1 6 — 2 3 ⇔ x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x — 1 4 — 1 = y — 1 2 — 1 ⇔ x — 1 3 = y — 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x — 1 3 = y — 1 1 ⇔ 1 · x — 1 = 3 · y — 1 ⇔ x — 3 y + 2 = 0

Ответ: x — 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x — x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 1 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( — 7 , — 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что — 5 = k · ( — 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему — 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

— 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k — 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = — 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = — 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = — 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = — 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x — 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( — 7 , — 5 ) , имеющее вид x — ( — 7 ) 2 — ( — 7 ) = y — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x — 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x — 1 3 .

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 = z — z 2 z 2 — z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 — z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 — z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , — 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , — 3 , — 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = — 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = — 3 , z 2 = — 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x — 2 1 — 2 = y — ( — 3 ) — 3 — ( — 3 ) = z — 0 — 5 — 0 ⇔ x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5

Ответ: x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5 .