Барицентрическая система координат
Барицентрическая система координат на прямой
На прямой E 1 введем дополнительную структуру:
зафиксируем упорядоченную пару точек (A1, A2).
Как было показано в §6 каждой точке A прямой E 1 , на которой отмечены две различные точки A1 и A2, можно однозначно сопоставить число l, в котором эта точка делит отрезок [A1A2], при этом для декартовых координат точек справедливо равенство: .
Обозначение: вместо записи введем формальную запись A = (1-l)A1 + lA2 (*). Эта запись формальна в том смысле, что мы не рассматриваем умножение на число точки или сумму точек, запись вида (*) мы интерпретируем так: «Точка A делит отрезок [A1A2] в отношении l», или так: «Декартовы координаты точек A1, A2, B таковы, что ».
Теорема. Отображение b является биективным отображением.
Доказательство. (см. § 6).
Определение.Отображение b (**) будем назвать барицентрической системой координат на прямой.
Определение. Упорядоченный набор (l1, l2) такой, что b(A) = (l1,l2) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.
Пример. Барицентрические координаты середины отрезка [A1A2] это набор .
Барицентрическая система координат на плоскости
На плоскости E 2 введем дополнительную структуру:
зафиксируем упорядоченную тройку точек, не лежащих на одной прямой: (A1, A2, A3).
Теорема. Для любой точки A плоскости E 2 существует однозначно определенный набор (l1, l2, l3) такой, что A = l1A1 +l2A2 +l3A3 и l1 +l2 +l3 = 1.
Доказательство.
1 случай. Прямая AA1 не параллельна прямой A2A3.
Пусть точка B — точка пересечения прямых AA1и A2A3.
Так как точка A лежит на прямой A1B, то существует число m такое, что A = (1-m) A1+ mB.
Так как точка B лежит на прямой A2 A3, то существует число l такое, что B = (1-l) A2+ l A3.
2 случай. Прямая AA1 параллельна прямой A2A3.
Если прямая AA2 не параллельна прямой A1A3, то повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A2.
Если прямая AA2 параллельна прямой A1A3, то прямая A A3 не параллельна прямой A2A3, и мы повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A3.
В п.1 доказательства был предложен способ нахождения набора (l1, l2, l3), докажем, что этот набор (l1, l2, l3) не зависит от способа его получения.
Равенство вида (ð) будем понимать с точки зрения декартовых координат точек.
Докажем, что l1‘= l1, предположим, что это не так, то есть l1‘-l1 ≠ 0.
Тогда . Так как , то получается, что точка A1 делит отрезок [A2A3] в отношении , то есть точка A1 лежит на прямой A2A3, что противоречит выбору точек A1, A2, A3.
Следовательно, наше предположение было не верным и l1‘=l1.
Определение. Отображение b (ðð) будем назвать барицентрической системой координат на плоскости.
Определение. Упорядоченный набор (l1, l2, l3) такой, что b(A) = (l1, l2, l3) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.
Теорема. Отображение b является биективным отображением.
Доказательство. (провести самостоятельно).
Барицентрическая система координат в пространстве
В пространстве E 3 введем дополнительную структуру:
зафиксируем упорядоченную четверку точек, не лежащих в одной плоскости:(A1, A2, A3, A4).
Теорема. Для любой точки A плоскости E 3 существует однозначно определенный набор (l1, l2, l3, l4) такой, что A = l1A1 +l2A2 +l3A3+ l4A4 и l1 +l2 +l3 + l4 = 1.
Доказательство (. самостоятельно ***).
Определение. Отображение b (°) будем назвать барицентрической системой координат в пространстве.
Определение. Упорядоченный набор (l1, l2, l3, l4) такой, что b(A) = (l1, l2, l3, l4) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.
Теорема. Отображение b является биективным отображением.
Доказательство. (провести самостоятельно).
Примеры применения барицентрической системы координат
Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A1, B1, C1 такие, что точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m2.
Тогда для того, чтобы прямые AA1, BB1 и CC1 пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m1 m2 m3 = 1.
Доказательство.
Рассмотрим барицентрическую систему координат на плоскости с фиксированным набором точек (A,B,C).
Точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, тогда ее барицентрические координаты таковы, что C1 = (1- l1)A + l1B и m1 = .
Точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, тогда ее барицентрические координаты таковы, что A1 = (1- l2)B + l2C и m2 = .
Точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m3, тогда ее барицентрические координаты таковы, что B1 = (1- l3)C + l3A и m3 = .
1) Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекались в одной точке — в точке O.
Так как точка O лежит на прямой AA1, то существует такое число a, что O = (1-a)A + aA1,
Так как точка O лежит на прямой BB1, то существует такое число b, что O = (1-b)B + bB1,
Так как точка O лежит на прямой CC1, то существует такое число g, что O = (1-g)C + gC1,
Из равенств (1),(2),(3) (так как барицентрические координаты точки определены однозначно) следует, что bl3 = g (1- l1), a(1-l2) = gl1, al2 = b(1-l3).
Итак, m1 m2 m3 = = = 1.
2) Докажем, что если точки A1, B1, C1 такие, что m1 m2 m3 = 1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Пусть точка O — точка пересечения прямых AA1и BB1.
Через точки C и O проведем прямую, и пусть точка C1’ — точка пересечения прямых CO и AB. Докажем, что точки C1 и C1’ совпадают.
Пусть точка C1’ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1’.
По первой части доказательства, так как прямые прямые AA1, BB1 и CC1’ пересекаются в одной точке, то m1 m2 m3’ = 1.
Следовательно, m3 = m3’ и барицентрические координаты точек C1и С1’ совпадают, значит совпадают и сами точки.
Примеры.
Используя теорему Чевы легко доказать (докажите), что медианы (высоты, серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы углов) в треугольнике пересекаются водной точке.
Теорема Менелая. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A1, B1, C1 такие, что точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m2. Тогда для того, чтобы точки A1, B1 и C1 лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m1 m2 m3 = -1.
Доказательство(аналогично доказательству теоремы Чевы).
Связь барицентрических координат c площадями
Родоначальником метода, о котором пойдет речь в докладе, был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в 3 веке до нашей эры он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс (барицентра). В частности, этим способом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др. ).
Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой и т. д.
. В прошлом столетии замечательный немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), известный своими работами, подметил, что барицентрические решения геометрических задач приводят к введению очень интересной системы координат, не похожей ни на декартову, ни на полярную систему. Свои идеи он описал в книге «Der barycentrische Calcul» („Барицентрическое исчисление“), опубликованной в 1827 году. Тогда барицентрические координаты были введены исходя из соображений, связанных с центрами масс. Однако имеется и другой, чисто геометрический подход к барицентрическим координатам, позволяющий выразить эти координаты через площади некоторых треугольников. Это, во-первых, дает интересную геометрическую интерпретацию самого понятия центра масс (для случая трех материальных точек на плоскости) и, во-вторых, открывает новые возможности применения барицентрических координат к решению геометрических задач.
К сожалению, данный метод очень редко используется. Он не упоминается в школьной программе, хотя мог бы существенно упростить решение некоторых задач по геометрии и химии.
Из курса физики известно, что материальной точкой можно назвать тело, размерами которого можно пренебречь, то есть, фактически, материальная точка – точка, снабженная массой. Математика дает следующее определение материальной точке:
Материальная точка – это геометрическая точка, которой сопоставлено некоторое действительное число.
Если точке А сопоставлено число m, то образующаяся материальная точка обозначается так: (A, m). Геометрическую точку А называют «носителем», а число m — «нагрузкой» точки А или массой.
Множество материальных точек – система материальных точек (СМТ).
Понятие центра тяжести
Для начала рассмотрим центр масс для СМТ, состоящей из двух материальных точек.
Центром тяжести двух материальных точек (А,а) и (B,b) называется такая третья точка С, которая лежит на отрезке АB и удовлетворяет «правилу рычага»: произведение расстояния СА на массу а равно произведению расстояния СB на массу b. То есть сумма моментов будет равна нулю. (Данное определение верно при условии, что в обе точки помещены массы одного знака).
M1 = │M2│ agL1 = │bgL2│ aL1 = │bL2│
Механический смысл центра тяжести: представим себе жёсткий “невесомый” стержень АВ, в концах которого помещены массы а и b. “Невесомость” стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.
Введем понятие «объединения» или «равнодействующей» двух материальных точек. Под этим понимают материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.
Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB, длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед. , в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет точка C, лежащая на стержне AB и определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA. Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда следует, что объединением материальных точек (A, 6) и (B,2) будет материальная точка (С, 8).
На основании рассмотренного примера можно сформулировать определение объединения:
Объединение двух материальных точек – это такая новая материальная точка, носителем которой является центр тяжести данных материальных точек и масса которых равна сумме масс этих материальных точек.
(С, с) = (А, а) + (В,b) а также некоторые свойства центра масс материальных точек:
✓ Расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой.
✓ Если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.
✓ Центр тяжести является объединением.
В данной работе нас будет интересовать СМТ, состоящая из трех материальных точек. Рассмотрим нахождение центра масс для трех таких точек.
Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшегося объединения и третей из данных материальных точек.
(Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой. )
Теорема 1 (о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек): Центр тяжести n материальных точек единственный и его положение не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки.
Свойство 1: Всякая система, состоящая из конечного числа м. т. , имеет однозначно определенный центр масс.
Свойство 2: Пусть в системе м. т. несколько точек отмечены, и пусть С – центр масс отмеченных м. т. Если всю массу отмеченных м. т. сосредоточить в С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.
Теорема 2 (о возможности группировки материальных точек): Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением.
И, наконец, введем общее определение центра масс n материальных точек:
Центром тяжести СМТ, состоящей из n материальных точек называется такая точка Z, для которой имеет место равенство: m1+m2+mn=.
Идея барицентрических координат:
Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС, который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником. Пусть (Р, р) произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Таким образом, каждую материальную точку (Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с.
Эти три числа называют барицентрическими координатами: а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья.
Барицентрические координаты («барицентр» означает « центр тяжести») – это система координат, «привязанная» к данному треугольнику. Для каждого базисного треугольника будет своя система координат.
Барицентрические координаты (m1, m2, m3), для которых выполняется условие m1 + m2 + m3 = 1, будем называть абсолютными барицентрическими координатами; они определены уже не с точностью до пропорциональности, а однозначно.
Сформулируем некоторые свойства барицентрических координат треугольника:
✓ Если массы трех материальных точек треугольника увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится.
✓ Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак.
Барицентрические координаты как площади.
Связь барицентрических координат с площадями отражается одной единственной теоремой.
Теорема 1: Пусть точка Р лежит внутри базисного треугольника А1А2А3 и пусть S, S1, S2, S3 – площади треугольников А1А2А3, РА2А3, А1РА3, А1А2Р. Тогда б — координаты точки Р равны f =; g =; h =.
Иными словами, если поместить в вершинах А1А2А3 базисного треугольника массы, численно равные (или пропорциональные) площадям S1, S2, S3 , то их центром масс окажется точка Р.
Найдем барицентрические координаты треугольника. б-координаты центра О окружности, вписанной в базисный треугольник АВС со сторонами a, b, c.
Обозначим через r радиус вписанной окружности. Тогда
S1= , S2 = , S3 = , S =.
Поэтому центр О имеет Б – координаты:
Р – центр масс базисного ∆А1А2А3 f, g, h — барицентрические координаты Р
Доказать f =; g =; h =.
• Поместим в вершины треугольника А1, А2, и А3 массы f, g и h соответственно.
• Р – центр масс по условию. Значит, тока B – объединение точек (А1, f) и (А2, g), то есть (В, (f + g)). Аналогично (С, (g + h)) и (D, (f + h)).
• Рассмотрим отрезок А1С. Точка Р делит его в отношении =
• Пусть длина отрезка РС = y, значит, по свойству барицентрических координат, существует некое число i, такое, что f ∙ i = y. Аналогично рассмотрим отрезки ВР и РD (h ∙ i = x, g ∙ i = z).
Рассмотрим ∆А1А2А3 и ∆РА2А3. Они имеют общее основание. Значит, по первой лемме о площадях = , аналогично = , =.
• = , а т. к f + g + h =1 по условию , то f =. Аналогично и g =; h =.
• Поместим в вершины треугольника А1, А2, и А3 массы f, g и h соответственно.
• Р – центр масс по условию. Значит, тока B – объединение точек (А1, f) и (А2, g), то есть (В, (f + g)). Аналогично (С, (g + h)) и (D, (f + h)).
• Рассмотрим объединение (D, (f + h)). По свойству материальных точек =.
Рассмотрим ∆А1А2Р и ∆РА2А3. Они имеют общее основание. Значит, по первой лемме о площадях =. Аналогично, рассмотрев треугольники: 1. ∆РА2А3 и ∆А1РА3 получаем = ; 2. ∆А1РА3 и ∆PА1А2 получаем =.
• = , = , = ; Отсюда по пропорции: S1∙g = f∙S2 то есть = и S3∙f S1∙h, следовательно =.
• По свойству пропорции: = = = =
• = , следовательно, g =. Аналогично f = , h =.
Применение барицентрических координат
Барицентрические координаты в геометрии
Ранее в докладе уже было продемонстрировано применение барицентрических координат при решении геометрической задачи. Попробуем теперь самостоятельно доказать теорему о медианах треугольника.
Теорема 4 (о медианах треугольника): медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
А3R, А1D, А2P – медианы
Доказать: А1Z:ZD = 2:1, А2Z:ZР = 2:1,
Пусть точка пересечения медиан – центр масс треугольника.
Помещаем в вершину А1 массу, равную единице. Поскольку точка Р делит сторону А1А3 пополам, то и в точку А3 должна быть помещена масса, равная единице. Аналогично и в точку А2, т. к. R – тоже середина. Отсюда следует, что барицентрические координаты точки Z (1, 1, 1).
Точка Р. – объединение двух вершин. Значит в ней сосредоточена масса 2 (1+1).
А масса в третьей вершине осталась нетронутой, поэтому по правилу рычага А2Z:ZР = 2:1. Аналогично и А1Z:ZD = 2:1, А3Z:ZR = 2:1.
Объединяя массы двух вершин в одну точку, ты утверждаем:
1. центр масс треугольника будет лежать на прямой А1D
2. центр масс треугольника будет лежать на прямой А2Р
3. центр масс треугольника будет лежать на прямой А3R
Значит, из теоремы о единственности центра тяжести можно заключить, что центр масс треугольника может находиться только на пересечении данных прямых, а это значит, что они пересекаются в одной точке.
Барицентрические координаты в колориметрии
«Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желанны философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит математика в натуральной философии и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки – сначала выучиться геометрии».
И. Ньютон. Оптика
Еще в конце 17 века Ньютон обнаружил, что белый цвет можно рассматривать как смешение семи различных цветов. В середине 18 века Ломоносов высказал мысль, что путем смешения лишь трех определенных цветов можно получить все возможные цвета и оттенки. Эта гипотеза была уточнена и развита в 19 веке Юнгом и Гельмгольцем. Они разработали теорию трехцветного зрительного аппарата человека. Согласно этой теории в человеческом глазу имеются колбочки только трех различных типов: одни воспринимают днем только красный цвет, другие — только зеленый, третьи — только синий. Любой другой цвет воспринимается как «смешение» этих трех цветов.
Рассмотрим пример. При работе в Paint, Word, Power — Point мы нередко меняем цвет линий, заливки, букв и т. д. , пользуясь при этом спектром.
Нули в окошках RED, GREEN, BLUE означают, что результатом «смешения» будет черный цвет. Если, например, поставить в окошко RED максимальное число (для компьютера цветность 255 — предел), то мы получим чистый красный цвет.
Пропорции, в которых смешиваются три базовых цвета и будут являться барицентрическими координатами искомого цвета. Нахождение этих координат помогает ответить на вопрос, какой цвет получится при смешении двух произвольных цветов и в какой пропорции необходимо смешать базовые цвета для получения искомого цвета.
Некоторые цвета имеют стандартные координаты цветности.
Например, координаты чистого белого цвета (1, 1, 1), а черного (0, 0, 0)
Найдем цвет, который получается при «смешении» в равных пропорциях белого цвета с цветом, получившимся при «смешении» красного и синего цветов в равных пропорциях.
Для решения задачи выберем на плоскости равносторонний (для простоты) треугольник со стороной а.
Барицентрические координаты белого цвета известны (1, 1, 1).
Найдем с помощью программы, какой цвет получится при «смешении» красного и синего цветов в равной пропорции. Это сиреневый цвет (без учета яркости).
Теперь находим цвет Х, который получится при «смешении» белого и сиреневого в равных пропорциях.
Для определения координат получившегося цвета, воспользуемся теоремой о связи барицентрических координат и площадей.
Вычислим площадь треугольника RXB. Мы знаем, что точка, которой соответствует белый цвет, является точкой пересечения медиан, а медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, GW:WV=2:1. GV= =.
Поскольку требуется «смешать» сиреневый и цвет Х в равных пропорциях, то WN = VN.
Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то можно найти площадь треугольника RNB:
Также можно найти площадь всего базисного треугольника:
Треугольники RGN и GNB равны по первому признаку (боковые стороны базисного треугольника равны по условию, GN — общая сторона, а поскольку GV — бис. , то углы между данными сторонами также равны). Значит и площади рассматриваемых треугольников равны. Найдем одну из них:
По теореме о связи барицентрических координат с площадями получаем, что координаты точки N:
(по свойству б — координат мы имеем право разделить координаты на одно и то же число, в данном случае, на а2 ,также умножим данные координаты на знаменатель)
Получим, что координаты точки N: (5, 1, 5).
Проверяем с помощью программы: получается также сиреневый цвет (программа дает ответ без учета яркости, т. к. координаты определены с точностью до пропорциональности). Если воспользоваться обычными красками и палитрой, то мы получим тот же сиреневый цвет, который получился в начале, только светлее.
Данная задача доказывает, что при добавлении белого цвета к какому-либо другому, цвет останется прежним, а меняется только яркость.
Барицентрические координаты в химии.
Рассмотрим применение барицентрических координат в химии на примере задачи.
Имеется 600 г. раствора йода в спирте, причем концентрация йода составляет 18%. Требуется получить 10%-ный раствор йода в спирте. Определим, сколько следует долить чистого спирта.
Сначала решим задачу стандартным школьным способом:
Решение: w1(в-ва) = 18% w2(в-ва) = 10% m(в-ва) = 600 × 0,18 = 108 (г. ) m1 (р-ра) = 600г. m2(р-ра) = 108 : 0,1 = 1080 (г. ) m2(р-ра) — m1(р-ра) -? m2(р-ра) — m1(р-ра) = 1080 — 600 = 480 (г. )
А теперь — с помощью барицентрических координат:
Рассмотрим отрезок АВ длиной I и сопоставим чистому спирту точку А, а чистому йоду — точку В. Тогда данный раствор изобразится в виде материальной точки 600Р, где Р имеет координаты w = 0, 82, v = 0, 18, т. е АР = 0,18. Требуемый раствор изобразиться в виде материальной точки (600 + х)Q, где х — искомое количество спирта в граммах, а Q — центр масс двух материальных точек хА и 600Р. По условию точка Q должна иметь б — координаты k = 0,9, j = 0,1, т. е АQ = 0,1. По правилу рычага имеем: х│АQ│ = 600 │QР│, т. е 0,1 × х = 600 × 0,08. Отсюда х = 480 г.
1. Анализ теоретического материала по геометрии масс позволил установить связь между б – координатами и площадями некоторых треугольников новыми способами
2. Анализ теоретического материала по б – координатам позволил рассмотреть возможность применения б – координат в колориметрии
Геометрия треугольника, наравне со многими другими разделами математики, дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии треугольника имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!
http://www.hintfox.com/article/svjaz-baritsentricheskih-koordinat-c-ploschadjami.html