Уравнение прямой в нормальной форме пучок прямых

Пучок прямых. Уравнение пучка прямых

В данной статье мы рассмотрим понятие пучка прямых. Представим уравнение пучка прямых. Приведем примеры нахождения уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку.

Пучком прямых называется множество прямых, проходящих через данную точку P. P называется центром пучка прямых . Две разные прямые в пучке прямых определяют центр пучка прямых.

Найдем уравнение пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух прямых (Рис.1):

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть (1) и (2) уравнения двух прямых, пересекающихся в точке P, а λ₁ и λ₂ некоторые числа, которые одновременно не равны нулю. Тогда

является уравнением прямой, проходящей через точку P. Обратно, любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3), при некотороых числах λ₁ и λ₂.

Доказательство. Во первых покажем, что уравнение (3) является линейным уравнением (уравнением первого порядка), т.е. уравнением, при котором коэффициент при x или y не равен нулю.

Группируем коэффициенты при x и y:

Тогда, например при λ₁≠0 (по условию теоремы хотя бы один из чисел λ₁ и λ₂ не равен нулю), получим:

(6)

.

(7)

Полученное равенство является условием параллельности прямых, определяемых уравнениями (1) и (2), что противоречит условию теоремы (эти прямые пересекаются и не совпадают). Таким образом хотя бы один из равенств (5) не выполняется, т.е. хотя бы один коэффициент при x и y в уравнении (4) не равен нулю. Отсюда следует, что уравнение (4) является линейным уравнением (уравнением первой степени) и является уравнением некоторой прямой. По условию теоремы, эта прямая проходит через точку P(x₀, y₀), которая является пересечением прямых (1) и (2), т.е. выполняются равенства:

(8)

Из уравнениий (8) следует, что при любых λ₁ и λ₂:

т.е. уравнение (3) проходит через точку P.

Докажем вторую часть теоремы. Покажем, что любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ₁ и λ₂.

Возьмем некоторую прямую проходящую через точки P и M’(x’, y’). Покажем, что данная прямая определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ₁ и λ₂, не равных одновременно нулю.

В первой части доказательства теоремы мы показали, что прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3). Теперь, если эта прямая проходит через еще одну точку M’(x’, y’), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3):

Заметим, что выражения в скобках не могут быть равным нулю одновременно, т.к. это означало бы, что оба уравнения проходят через точки P и M’(x’, y’) и, следовательно, совпадают. Пусть, например, λ₁(A₁x’₀+B₁y’₀+C₁)≠0. Тогда задав λ₂ произвольное число, отличное от нуля, решим (9) относительно λ₁:

Пример 1. Пучок прямых задан уравнениями:

Найти уравнение прямой из пучка прямых, проходящий через точку M(−3, 1).

Решение. Уравнение пучка прямых, заданных прямыми (10) и (11) имеет следующий вид:

Подставим координаты точки M в уравннение (12):

Упростив уравнение (14), получим уравнение из пучка прямых проходящих через точку M(−3, 1):

Пример 2. Построить уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

Решение. Возьмем две различные точки, не совпадающие с точкой M: M₁(2,1), M₂(−1,3). Построим уравнение, проходящие через точки M и M₁. Нормальный вектор n₁ этой прямой должен быть ортогональным вектору , равному разностьям координат точек M и M₁: =<2−4, 1−1>=<−2,0>. Т.е. можно взять n₁=<0,1>. Тогда уравнение прямой с нормальным вектором n₁, проходяще через точку M имеет следующий вид:

Построим уравнение проходящее через точки M и M₂. =<−1−4, 3−1>=<−5,2>. Возмем в качестве нормального вектора второго уравнения n₂=<2, 5>. Тогда второе уравнение имеет слеждующий вид:

Из уравнений (15) и (16) можно записать уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

Заметим, что взяв другие точки M₁ и M₂, мы получим уравнение того же пучка прямых, но с другими двумя прямыми.

Высшая математика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

• 1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение
• 2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых.
• 3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат
• 4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
• 5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость
• 6. Прямая в пространстве

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Смотрите также

Теория бухгалтерского учета. Шпаргалки

Группа авторов, 2010

Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Роман Сиренко, 2009

Как не ошибаться

Джордан Элленберг, 2014

Владимир Фёдорович Власов, 2019

Вычитание смешанных чисел. Тренажер с правилами

Азамат Бекетович Киреев, 2018

Денис Артемьевич Владимиров

Виктор Улин, 2018

Курс подготовки судоводителей маломерных судов

Коллектив авторов, 2019

Ответы на билеты по обществознанию. 9 класс

Демография и статистика населения. Шпаргалка

Галина Сергеевна Шерстнева, 2009

Яков Перельман, 1924

Планер для подготовки к ОГЭ

Право социального обеспечения. Шпаргалки

Мария Кановская, 2010

Бюджетная система России. Шпаргалки

П. Ю. Смирнов, 2011

Как понять сложные законы философии. 47 шпаргалок

Уравнения прямых и кривых на плоскости с примерами решения

Содержание:

Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия — кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета — кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей — кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса — кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса — кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера — кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка — окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Вектор ортогонален прямой, числа А и В одновременно не равны нулю.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

где — угловой коэффициент прямой, то есть величина угла, образованного прямой с осью некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид есть точка пересечения прямой с осью

3. Уравнение прямой в отрезках:

где а и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки —

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

6. Нормальное уравнение прямой:

где — радиус-вектор произвольной точки этой прямой, — единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; — расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

где величина угла, образованного прямой с осью Ох.

Уравнение пучка прямых с центром в точке имеет вид:

где — параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми то его уравнение имеет вид:

где — параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми задается формулой:

Равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если и прямые пересекаются, если Расстояние d от точки до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то — радиус-вектор точки или, в координатной форме,

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным R: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат.

Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Пусть тогда фокусы и находятся на оси Ох на расстоянии от начала координат. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Если же то фокусы находятся на оси

Если а=b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса а.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2а.

Каноническое уравнение гиперболы:

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось в точках — вершинах гиперболы и не пересекает ось Параметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой полуосью. Параметр есть, расстояние от фокуса до начала координат. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых называются асимптотами гиперболы.

Расстояния от точки гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Гипербола, у которой а=b, называется равносторонней, ее уравнение а уравнение асимптот

Гиперболы называются сопряженными. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. — парабола симметрична относительно оси Ох. 2. — парабола симметрична относительно оси Оy. В обоих случаях и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки параболы равен

Уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство а в других — неравенство Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где от части плоскости, где

Прямая, уравнение которой разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем а в какой применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой ) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство Его можно переписать в виде

Уравнение задает окружность с центром в точке С(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр С(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки С в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример:

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и наклоненных к прямой под углом 45°.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде Поскольку прямая проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е.

Величина угла между прямыми определяется формулой Так как угловой коэффициент исходной прямой равен то имеем уравнение для определения

Имеем два значения Находя соответствующие значения b по формуле получим две искомые прямые, уравнения которых:

Пример:

При каком значении параметра t прямые, уравнения которых параллельны ?

Решение:

Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. Решая полученное уравнение, находим t:

Пример:

Найти уравнение общей хорды двух окружностей: и

Решение:

Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений: Решая первое уравнение, находим значения Из второго уравнения -соответствующие значения Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и В(1,3), принадлежащие этой прямой:

Пример:

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

Решение:

Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой х = у, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример:

Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого

Решение:

Пусть — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса откуда значит, сторона квадрата —

Пример:

Зная уравнение асимптот гиперболы и одну из ее точек составить уравнение гиперболы.

Решение:

Запишем каноническое уравнение гиперболы: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями значит, откуда Поскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Учитывая, что а=2b , найдем b: Тогда уравнение гиперболы

Пример:

Вычислить длину стороны правильного треугольника АВС, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение:

Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая АВ образует с осью Оx угол в 30°, то уравнение прямой имеет вид: Следовательно, мы можем найти координаты точки В, решая систему уравнений откуда Значит, расстояние между точками

• Плоскость и прямая в пространстве
• Определитель матрицы
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Производные тригонометрических функции
• Производная сложной функции
• Пределы в математике
• Функции многих переменных

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.