Уравнение прямой в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:

(1)

где a и b числа, отличные от нуля.

Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M₁(a, 0) и M₂(0, b).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:

Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на −20, получим:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках

где A, B, C − отличные от нуля числа.

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Урок 7

общее уравнение Прямой.

неПолное уравнение Первой стеПени. уравнение Прямой в отрезках.

угол между двумя Прямыми.

общее уравнение Прямой.

теорема. в Прямоугольной системе координат оху любая Прямая задается уравнением Первой стеПени ах+ву+с=0 (5), и обратно, уравнение (5) При Произвольных коэффициентах а, в, с (а и в не равны нулю одновременно) оПределяет некоторую Прямую в Прямоугольной системе координат оху.

доказательство. сначала докажем Первое утверждение. если Прямая не ПерПендикулярна оси ох, то, как было Показано в Пункте «уравнение Прямой с угловым коэффициентом», она оПределяется уравнением Первой стеПени: у=kх+b, т.е. уравнением вида (5), где а=k, в=-1; с=b. если же Прямая ПерПендикулярна оси ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого Прямой на оси ох. уравнение этой Прямой имеет вид х=а, т.е. также является уравнением Первой стеПени вида (5), где а=1, в=0, с=-а. тем самым Первое утверждение доказано.

докажем теПерь обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), Причем хотя бы один из коэффициентов а и в не равен нулю. если в не равно 0, то уравнение (5) можно заПисать в виде: у=-а / вх-с / в. Полагая k=-а / в, b = -с / в, Получаем уравнение у=kх+b вида (2), которое оПределяет Прямую. если в=0, то а не равно 0 и уравнение (5) Принимает вид х=-с / а. обозначив с / а через а, Получим х=а, т.е. уравнение Прямой, ПерПендикулярной оси ох. теорема доказана.

линии, оПределяемые в Прямоугольной системе координат уравнением Первой стеПени, называются линиями Первого Порядка . таким образом, каждая Прямая есть линия Первого Порядка и, обратно, каждая линия Первого Порядка есть Прямая.

уравнение вида ах+ву+с=0 называется общим уравнением Прямой (или Полным уравнением Прямой ). При различных значениях а, в, с оно оПределяет всевозможные Прямые.

Пример 1. Прямая задана общим уравнением 12х-5у-65=0. наПисать ее уравнение с угловым коэффициентом.

решение. выразим из этого уравнения у, Получим: 5у=12х-65. разделим Полученное равенство на 5, Получим искомое уравнение: у=2,4х-13. здесь k=2,4 и b=-13.

уравнение Прямой в отрезках. неПолное уравнение Первой стеПени.

рассмотрим три частных случая, когда уравнение ах+ву+с=0 является неПолным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1) с=0; уравнение имеет вид ах+ву=0 и оПределяет Прямую, Проходящую через начало координат.

2) в=0 (а не равно 0); уравнение имеет вид ах+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси оу. как было Показано в Предыдущей теореме, это уравнение Приводится к виду х=а, где а=-с / а, а — величина отрезка, который отсекает Прямая на оси ох (рисунок выше). в частности, есои а=0, то Прямая совПадает с осью оу. таким образом, уравнение х=0 оПределяет ось ординат.

3) а=0 (в не равно 0); уравнение имеет вид ву+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси ох. это устанавливается аналогично Предыдущему случаю. если Положить b=-с / в, то уравнение Примет вид у=b, где b — величина отрезка, который отсекает Прямая на оси оу (см.рисунок) . в частности, если b=0, то Прямая совПадает с осью ох. таким образом, уравнение у=0 оПределяет ось абсцисс.

Пусть теПерь дано уравнение ах+ву+с=0 При условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. введя обозначения а=-с / а, b=-с / в, Получим: (6).

Уравнение (6) называется уравнением Прямой в отрезках . числа а=-с / а, b=-с / в являются величинами отрезков, которые Прямая отсекает на осях координат. эта формула удобна для геометрического Построения Прямой.

Пример 2. Прямая задана уравнением 3х-5у+15=0. составить ее уравнение в отрезках и Построить Прямую.

решение. для данной Прямой уравнение в отрезках имеет вид х/ (-5)+ у / 3=1 (данное уравнение Получим, разделив исходное уравнение на -15). чтобы Построить эту Прямую, отложим на осях координат ох и оу отрезки, величины которых соответственно равны а=-5, b=3, и Проведем Прямую через точки м 1 (-5;0) и м 2 (0;3).

угол между двумя Прямыми.

рассмотрим две Прямые l 1 и l 2 . Пусть уравнение l 1 имеет вид y = k 1 x + b 1 , где k 1 = tga 1 , а уравнение l 2 – вид y = k 2 x + b 2 , где k 2 = tga 2 . далее, Пусть f – угол между Прямыми l 1 и l 2 : 0 .

из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами а 1 , а 2 , f: a 2 =a 1 +f или f=a 2 -a 1 , откуда tgf =tg(a 2 — a 1 )= (tga 2 — tga 1 )/(1+tga 1 tga 2 ) или

tgf = ( k 2 — k 1 ) / (1+ k 1 k 2 ) (7)

формула (7) оПределяет один из углов между Прямыми, другой угол равен П-f.

Пример 3 . Прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими Прямыми.

решение. очевидно, k 1 =2, k 2 =-3, Поэтому согласно формуле (7) находим: tgf =(-3-2) / (1+(-3)2)= 1. таким образом, один из углов между данными Прямыми равен 45 0 , другой угол 180 0 -45 0 =135 0 .

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области