Уравнение прямой в отрезках
В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.
Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:
(1) |
где a и b числа, отличные от нуля.
Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).
Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M1(a, 0) и M2(0, b).
Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.
Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:
. |
. |
Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду
Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:
. |
Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:
Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:
Перевести уравнение к общему виду.
Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
. |
Умножив обе части уравнения на −20, получим:
Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках
где A, B, C − отличные от нуля числа.
Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:
(2) |
Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:
(3) |
Сделаем следующие обозначения:
Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).
Пример 3. Привести общее уравнение прямой
к уравнению прямой в отрезках.
Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:
Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач
Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.
Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры
Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .
Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.
Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.
Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.
На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.
Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Решение
Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.
Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках
Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.
Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .
В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .
Разберем следующий пример.
Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .
Решение
Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Мы получили уравнение прямой в отрезках.
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1
В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.
Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .
x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0
Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.
Решение
Действует по заранее описанному алгоритму:
x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Практическая работа по теме: «Уравнение прямой в отрезках»»
Практическая работа №4
Тема: Уравнение прямой в отрезках
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по выполнению операций над уравнением прямой в отрезке. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
• развитие творческого профессионального мышления;
• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
• углубление теоретической и практической подготовки;
• развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. — М.: Высшая школа, 2012 — 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. — Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
› Изучить теоретический материал по теме «Уравнение прямой в отрезках».
› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
› Выполнить практическую работу по выполнению действий над уравнением прямой в отрезках;
› Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида
Где a и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy , т.е. длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками (предполагается, что прямая не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из осей Ox и Oy ).
Пример . Дано общее уравнение прямой . Записать данное
уравнение прямой в отрезках.
Решение. , разделим на 7, запишем . Это уравнение в отрезках. Оно говорит о том, что данная прямая проходит через точки , , т. е. Отсекает на положительной части оси абсцисс , на отрицательной части оси ординат – (-7).
› Выполнить практическую работу по выполнению действий над уравнением прямых в отрезках.
Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
Построить прямую:
Найти угловой коэффициент прямой: x — 4 x – 7 = 0
Составить уравнения сторон квадрата, диагонали которого лежат на осях координат. Длина стороны квадрата равна a .
Составить уравнение прямой, которая отсекает по отрицательной полуоси Oy отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ox угол φ=
Что такое уравнение прямой в отрезках.
Чем являются a и b ?
Как можно привести общее уравнение прямой к уравнению в отрезках?
› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
1) Наименование и цель практической работы.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Дано общее уравнение прямой . Записать данное уравнение прямой в отрезках.
Построить прямую: .
Найти угловой коэффициент прямой: 3 y + 5 = 0
Составить уравнения сторон квадрата, диагонали которого лежат на осях координат. Длина стороны квадрата равна b .
Составить уравнение прямой, которая отсекает по отрицательной полуоси Oy отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ox угол =
1.Что такое уравнение прямой в отрезках.
2.Чем являются a и b ?
3.Как можно привести общее уравнение прямой к уравнению в отрезках?
› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-v-otrezkah/
http://infourok.ru/prakticheskaya-rabota-po-teme-uravnenie-pryamoy-v-otrezkah-901362.html