Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве
Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.
Уравнение прямой в пространстве: общие сведения
Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.
Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.
Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей
Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.
Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.
Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.
Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .
Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:
x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0
Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.
Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.
Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.
Параметрические уравнения прямой в пространстве
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.
Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:
x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1
Рассмотрим конкретный пример:
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .
Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .
Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве
Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .
Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .
Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .
Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .
Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.
Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.
Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой 
, которая проходит через данную точку 
параллельно направляющему вектору 
.
Пусть, 
– произвольная точка прямой, тогда векторы 
и 
коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:
это и есть канонические уравнения прямой.
Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру 
, запишем параметрические уравнения прямой:
Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.
Итак, через две точки 
и 
можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.
За направляющий вектор возьмём 
, тогда по формуле (1) у нас получается:
уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.
Пусть известны их уравнения:
Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.
Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор и точку 
этой прямой.
Точку находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) 
находим 
, тогда и точку 
. Направляющий вектор , который параллелен к каждой из плоскостей 
и 
и перпендикулярен к их нормальным векторам 
и 
, то есть 
, 
. (см. рис. 1). Поэтому вектор можно найти при помощи векторного произведения 
и 
= 
x 
= 
Найдены координаты и подставим в каноническое уравнение (1).
Например, от общих уравнений прямой:
Перейдём к каноническим, положив в системе 
(при нём относительно больше коэффициенты). найдём 
. Нормальные векторы 
и 
. Тогда направляющий вектор
x = 
,
и канонические уравнения станут:
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Угол между двумя прямыми 
:
и 
равен углу между их направляющими векторами 
и 
, поэтому
= 
Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:
и 
.
Примеры решения задач
Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:
Задача
При точке 
и направляющем векторе 
необходимо:
- составить каноническое уравнение прямой;
- построить эту прямую.
Решение
1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой 
:
= 
.
2) Рассмотрим два способа построения прямой .
Первый способ
В системе координат 
строим вектор и точку и проводим через точку 
прямую параллельную вектору .
Второй способ
По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:
На рисунке видно, что при произвольных значениях из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой . Так при 
находим координаты 
. Через две точки и 
проводим прямую .
Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:
Задача
Найти острый угол между прямыми:
, 
Решение
По формуле (7) получаем:
= 
= 
= 
Так как 
, тогда угол 
тупой, 
, а острый угол 
.
Ответ
.
Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.
Задача
Составить уравнение прямой , которая проходит через точку 
и параллельна прямой 
.
Решение
От параметрического уравнения переходим к каноническому 
При условии параллельности прямых 
то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор 
и по формуле (1) у нас получается:
.
Ответ
.
Прямая на плоскости. Прямая в пространстве
Введение
Высшая математика включает такие разделы, изучение которых дает математический аппарат, наиболее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.
Знание аналитической геометрии необходимо современному менеджеру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляемую в виде различных графиков — это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план производства при заданных ресурсах.
Аналитическая геометрия – это ветвь математики, изучающая геометрические образы средствами алгебры. Для этого прежде всего создается некоторый аппарат, позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Наша работа посвящена одному из разделов аналитической геометрии — прямой на плоскости и в пространстве. Здесь рассматривается определение прямой, общие уравнения прямой на плоскости и в пространстве и т.д. Большое внимание уделяется практическому освоению рассматриваемого материала. Для достижения этой цели в работе приводятся примеры. Их рассмотрение будет способствовать выработке навыков рационального решения типовых примеров и задач.
В конце работы приводится список литературы, в который вошли все источники, использованные в той или иной мере при её написании.
1 Прямая на плоскости
1.1 Определение прямой линии
Прямая линия – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим[1].
1.2 Прямая на плоскости
1.2.1 Общее уравнение прямой
Теорема. В прямоугольной системе координат любя прямая является уравнением первой степени:
и обратно, при произвольных коэффициентах A, B, C ( А и B не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Oxy.
Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она имеет уравнение y = kx + b, где A = k, B = — 1 и C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине a отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox. Уравнение этой прямой имеет вид x = a, т.е. также является уравнением первой степени, где A = 1, B = 0, C = — a. Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение Ax + By + C = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A и B не равен нулю.
Если B ≠ 0, то можно уравнение записать в виде:
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.
Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующем выборе коэффициентов A, B, C.
Пример. Укажем, как решать две задачи, часто возникающие в связи с уравнением прямой.
Задача 1. Чтобы общее уравнение прямой превратить в уравнение с угловым коэффициентом, надо это общее уравнение решить относительно y (разумеется, считается, что y входит в уравнение, т.е. что B ≠ 0. Например, уравнение
переписывается сначала в виде
Стало быть, угловой коэффициент нашей прямой есть m = — 5/3.
Задача 2. Пусть требуется построить на чертеже прямую по уравнению. Если в это уравнение не входит одна из координат, то интересующая нас прямая параллельна одной из осей и ее построение очевидно. Если же в уравнение входят и x, и y, то для построения соответствующей прямой надо найти любые две ее точки и соединить их линейкой. Найти же точку, лежащую на нашей прямой, совсем просто: надо выбрать по своему желанию значение одной из координат (все равно какой), поставить его в уравнение и найти значение второй координаты.
Пример. Построить прямую
Положим y = 1. Тогда уравнение примет вид 2x – 6 = 0, откуда x = 3. Значит, одна точка (3; 1) нами уже найдена. Положив, далее, хотя бы y = 3, получим
откуда x = — 2 и второй точкой будет (- 2; 3).
1.2.2 Уравнение прямой в отрезках
Дано уравнение Ax + By + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:
Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Числа a и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геометрического уравнения прямой.
Пример. Прямая задана уравнением 3x – 5y + 15 = 0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид:
Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = — 5, b = 3, и проведем прямую через точки M1 (-5; 0) и M2 (0; 3).
 источники: http://nauchniestati.ru/spravka/prjamaja-v-prostranstve/ http://znakka4estva.ru/dokumenty/matematika/pryamaya-na-ploskosti-pryamaya-v-prostranstve/ |