Уравнение пуассона для электростатического поля

Вывод уравнения Пуассона в электростатике.

Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля.

Выше мы познакомились со свойствами электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность связан с величиной электрического заряда внутри этой поверхности (теорема Гаусса), а циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна нулю (свойство потенциальности). Локальные проявления описанных свойств напряженности электростатического поля выражаются связью дивергенции вектора напряженности с величиной объёмной плотности электрического заряда

(1)

и связью напряженности с потенциалом электростатического поля (2)

Если второе из рассматриваемых соотношений подставить в первое, можно получить уравнение Пуассона, связывающее потенциал электростатического поля с величиной объёмной плотности электрического заряда:

. (3)

Левую часть уравнения Пуассона обычно записывают с помощью специального оператора «лапласиана скалярной функции»

. (4)

Если ввести в рассмотрение оператор Гамильтона (другое его название – «оператор набла»)

, (5)

где — орты декартовой системы координат, то формально дивергенцию вектора можно рассматривать как результат скалярного произведения «вектора» набла на вектор , а градиент скалярной функции как произведение «вектора» набла на скаляр, только при этом надо помнить, что оператор набла – дифференциальный оператор — при записи операции должен стоять перед функцией, на которую он действует:

(6)

Лапласиан, таким образом, можно рассматривать как последовательное применение оператора Гамильтона (оператора набла):

. (7)

Итак, уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля в вакууме имеет вид:

(8)

В частном случае, когда объёмная плотность электрического заряда равна нулю, т.е. в рассматриваемой области отсутствуют распределенные по объёму электрические заряды, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа

(9)

Уравнение Лапласа в электростатике описывает изменение потенциала в пространстве, свободном от электрических зарядов. Значение уравнений Пуассона и Лапласа для изучения электростатических явлений чрезвычайно велико: в отличие от дифференциальной формы теоремы Гаусса эти уравнения — уравнения для единственной неизвестной функции, решение этих уравнений можно получить при самых общих предположениях о характере распределения в пространстве неподвижных и неизменных по величине электрических зарядов. Конкретные результаты получаются с обязательным учетом «граничных условий», т.е. условий, налагаемых на общее решение уравнения Пуассона спецификой рассматриваемой области пространства, свойств замыкающей область поверхности и особенностей распределения электрических зарядов по этой поверхности.

Выражение для лапласиана скалярной функции (4) записано в декартовой системе координат. В цилиндрической системе координат ( ) уравнение Пуассона принимает вид

, (10)

а в сферической системе координат( ) –

. (11)

В произвольной системе координат можно воспользоваться известными определениями дивергенции вектора и градиента скалярной функции (символическая форма записи).

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 5234 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку ( 2 ) в ( 1 ) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство ( 3 ) принимает вид:

Выражение ( 4 ) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя ( 2 ) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

значение потенциала как непрерывная функция;
потенциал должен быть конечной функцией;
производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения ( 4 ) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Примеры решения задач

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Решение

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln ( r ) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ ( r 2 ) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ ( r 1 ) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Решение

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ ( r ) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C ‘ 2 .

C 1 , C ‘ 1 , C 2 , C ‘ 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 ( 0 ) = 0 . Получим C ‘ 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C ‘ 2 :

C 2 ln R + C ‘ 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Уравнение Пуассона и Лапласа

В случае потенциального поля напряженность поля Е может быть выражена через градиент потенциала. При этом приходим к выражению

содержащему двойную дифференциальную операцию: дивергенцию от градиента. При использовании декартовой системы координат легко записать эту операцию через соответствующие производные. Действительно, представляя в формулу (1) составляющие grad φ как:

Операция div grad носит название лапласиана и обозначается знаком Δ. Используя оператор набла, рассматриваемую операцию можно представить как наблу квадрат, таким образом:

В случае декартовых координат и в применении к скалярной функции можно всегда считать операции ∇ 2 и Δ тождественными.

Уравнение (1) является основным уравнением потенциального электрического поля и носит название уравнения Пуассона.

В области поля, где заряды отсутствуют (где ρ = 0), уравнение (1) упрощается, так как в его правой части оказывается нуль. В последнем случае уравнение называют уравнением Лапласа.