Адиабатический процесс и уравнения адиабаты для идеального газа. Пример задачи
Адиабатический переход между двумя состояниями в газах не относится к числу изопроцессов, тем не менее, он играет важную роль не только в различных технологических процессах, но и в природе. В данной статье рассмотрим, что представляет собой этот процесс, а также приведем уравнения адиабаты идеального газа.
Кратко об идеальном газе
Идеальным называется такой газ, в котором нет взаимодействий между его частицами, и их размеры равны нулю. В природе, конечно же, не существует идеальных на сто процентов газов, поскольку все они состоят из имеющих размеры молекул и атомов, которые взаимодействуют друг с другом всегда как минимум с помощью ван-дер-ваальсовых сил. Тем не менее, описанная модель часто выполняется с достаточной для решения практических задач точностью для многих реальных газов.
Вам будет интересно: Атеизм и антиклерикализм — это. В чем отличие понятий
Главным уравнением идеального газа является закон Клапейрона-Менделеева. Он записывается в следующей форме:
Это уравнение устанавливает прямую пропорциональность между произведением давления P на объем V и количества вещества n на абсолютную температуру T. Величина R — газовая константа, которая играет роль коэффициента пропорциональности.
Что это адиабатический процесс?
Адиабатический процесс — это такой переход между состояниями газовой системы, при котором обмена энергией с внешней средой не происходит. При этом изменяются все три термодинамических характеристики системы (P, V, T), а количество вещества n остается постоянным.
Различают адиабатическое расширение и сжатие. Оба процесса происходят только за счет внутренней энергии системы. Так, в результате расширения давление и особенно температура системы сильно падают. Наоборот, адиабатическое сжатие приводит к положительному скачку температуры и давления.
Чтобы не происходил обмен теплом между окружающей средой и системой, последняя должна обладать теплоизолированными стенками. Кроме того, сокращение длительности протекания процесса значительно уменьшает тепловой поток от и к системе.
Уравнения Пуассона для адиабатического процесса
Первый закон термодинамики записывается в таком виде:
Иными словами, сообщенная системе теплота Q идет на выполнение системой работы A и на повышение ее энергии внутренней ΔU. Чтобы написать уравнение адиабаты, следует положить Q=0, что соответствует определению изучаемого процесса. Получаем:
При изохорном процессе в идеальном газе все тепло идет на повышение внутренней энергии. Этот факт позволяет записать равенство:
Где CV — изохорная теплоемкость. Работа A, в свою очередь, вычисляется так:
Где dV — малое изменение объема.
Помимо уравнения Клапейрона-Менделеева, для идеального газа справедливо следующее равенство:
Где CP — изобарная теплоемкость, которая всегда больше изохорной, так как она учитывает потери газа на расширение.
Анализируя записанные выше равенства и проводя интегрирование по температуре и объему, приходим к следующему уравнению адиабаты:
Здесь γ — это показатель адиабаты. Он равен отношению изобарной теплоемкости к изохорной. Это равенство называется уравнением Пуассона для процесса адиабатического. Применяя закон Клапейрона-Менделеева, можно записать еще два аналогичных выражения, только уже через параметры P-T и P-V:
График адиабаты можно привести в различных осях. Ниже он показан в осях P-V.
Цветные линии на графике соответствуют изотермам, черная кривая — это адиабата. Как видно, адиабата ведет себя более резко, чем любая из изотерм. Этот факт просто объяснить: для изотермы давление меняется обратно пропорционально объему, для изобаты же давление изменяется быстрее, поскольку показатель γ>1 для любой газовой системы.
Пример задачи
В природе в горной местности, когда воздушная масса движется вверх по склону, то ее давление падает, она увеличивается в объеме и охлаждается. Этот адиабатический процесс приводит к снижению точки росы и к образованию жидких и твердых осадков.
Предлагается решить следующую задачу: в процессе подъема воздушной массы по склону горы давление упало на 30 % по сравнению с давлением у подножия. Чему стала равна ее температура, если у подножия она составляла 25 oC?
Для решения задачи следует использовать следующее уравнение адиабаты:
Его лучше записать в таком виде:
Если P1 принять за 1 атмосферу, то P2 будет равно 0,7 атмосферы. Для воздуха показатель адиабаты равен 1,4, поскольку его можно считать двухатомным идеальным газом. Значение температуры T1 равно 298,15 К. Подставляя все эти числа в выражение выше, получаем T2 = 269,26 К, что соответствует -3,9 oC.
Уравнение Пуассона
Определение и формула уравнения Пуассона
Уравнение Пуассона описывает адиабатический процесс, происходящий в идеальном газе. Адиабатический процесс — это процесс, в котором нет теплообмена между рассматриваемой системой и окружающей средой:
Уравнение Пуассона имеет вид:
Здесь V — объем, занимаемый газом, P — его давление, а значение k называется адиабатическим индексом.
Адиабатический индекс в уравнении Пуассона
Адиабатический индекс можно рассчитать как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:
В практических расчетах удобно помнить, что для идеального газа адиабатический индекс равен для двухатомного и для трехатомного .
Что относительно реальных газов, когда силы взаимодействия между молекулами начинают играть важную роль? В этом случае адиабатический индекс для каждого испытательного газа может быть получен экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Климентом и Дезормом. Мы наполняем цилиндр холодным газом, пока давление в нем не достигнет Р1. Затем мы открываем клапан, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в цилиндре падает до атмосферного ПА. После того, как изохорный газ нагрелся до температуры окружающей среды, давление в цилиндре повысится до P2. Тогда адиабатический индекс можно вычислить по формуле:
Адиабатический индекс всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа — как идеального, так и реального — температура газа всегда поднимается до меньшего объема, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемого пневматическим кремнем, используется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется теплом. Напомним первый закон термодинамики: , где — внутренняя энергия системы, а А — выполненная на ней работа. Поскольку работа, выполняемая газом, идет только для изменения ее внутренней энергии — и, следовательно, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчета газовой операции в адиабатическом процессе:
Здесь n — количество газа в молях, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура газа.
Уравнение Пуассона для адиабатического процесса используется не только при расчетах двигателей внутреннего сгорания, но и при проектировании холодильных машин.
Стоит вспомнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатический процесс, состоящий из непрерывно меняющихся состояний равновесия. Если на самом деле мы открываем клапан в цилиндре так, чтобы газ расширялся адиабатически, то возникнет нестационарный переходный процесс с газовой турбулентностью, который будет испаряться из-за макроскопического трения.
Примеры решения проблем
Одноатомный идеальный газ был адиабатически сжат, так что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа?
Адиабатический индекс для одноатомного газа равен . Однако его можно вычислить по формуле:
где R — универсальная газовая постоянная, а і — степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равна 3: это означает, что центр молекулы может выполнять поступательное движение вдоль трех координатных осей.
Поэтому адиабатический индекс:
Представьте себе состояние газа в начале и конце адиабатического процесса через уравнение Пуассона:
Давление уменьшится в 3.175 раз.
100 молей двухатомного идеального газа было адиабатически сжато при 300 К. В то же время давление газа увеличилось в 3 раза. Как изменился газ?
Степень свободы двухатомной молекулы равна i = 5, так как молекула может двигаться постепенно вдоль трех координатных осей и вращаться вокруг двух осей.
Рассчитайте диатомический адиабатический индекс:
Определите, как изменяется объем газа при адиабатическом сжатии, из уравнения Пуассона:
Это означает, что объем газа уменьшился в 2,19 раза.
Вычислите работу газа, используя следующую формулу:
Частные случаи первого закона термодинамики для изопроцессов
При изохорном процессе объем газа остается постоянным, поэтому газ не совершает работу. Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря теплообмену с окружающими телами:
При изотермическом процессе количество теплоты, переданное газу от нагревателя, полностью расходуется на совершение работы:
При изобарном расширении газа подведенное к нему количество теплоты расходуется как на увеличение его внутренней энергии и на совершение работы газом:
Адиабатный процесс — термодинамический процесс в теплоизолированной системе.
Теплоизолированная система — система, не обменивающаяся энергией с окружающими телами.
Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии для тепловых процессов) определяет количественное соотношение между изменением внутренней энергии системы дельта U, количеством теплоты Q, подведенным к ней, и суммарной работой внешних сил A, действующих на систему.
Первый закон термодинамики — Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, подведенного к системе извне, и работы внешних сил, действующих на нее:
Первый закон термодинамики — количество теплоты, подведенное к системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами:
Частные случаи первого закона термодинамики для изопроцессов
При изохорном процессе объем газа остается постоянным, поэтому газ не совершает работу. Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря теплообмену с окружающими телами:
При изотермическом процессе количество теплоты, переданное газу от нагревателя, полностью расходуется на совершение работы:
При изобарном расширении газа подведенное к нему количество теплоты расходуется как на увеличение его внутренней энергии и на совершение работы газом:
Адиабатный процесс — термодинамический процесс в теплоизолированной системе.
Теплоизолированная система — система, не обменивающаяся энергией с окружающими телами.
24.Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённого газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.
Молярная теплоёмкость
Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля идеального газа.
Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах[править | править вики-текст]
Адиабатический[править | править вики-текст]
В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть .
Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: .
Изотермический[править | править вики-текст]
В изотермическом процессе постоянна температура, то есть . При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности:
Изохорный[править | править вики-текст]
В изохорном процессе постоянен объём, то есть . Элементарная работа газа равна произведению изменения объёма на давление, при котором происходит изменение ( ). Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид:
А для идеального газа
где — число степеней свободы частиц газа.
Другая формула: , где γ — показатель адиабаты, R — универсальная газовая постоянная.
Изобарный]
Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как . В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера .
Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить приблизительные значения молярной теплоёмкости для различных газов через значение универсальной газовой постоянной:
- для одноатомных газов , то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
- для двухатомных газов , то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
- для многоатомных газов , то есть около 33.3 Дж/(моль·К).
Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).
Вывод формулы для теплоёмкости в данном процессе[]
Согласно Первому началу термодинамики существует два способа увеличения внутренней энергии тела (в нашем случае идеального газа): передать ему некоторое количество теплоты или совершить над ним работу.
∆U=δQ+δA, где δA — работа внешних сил над газом. О=он- glg
В расчете на 1 моль:
Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает
- электростатическое поле,
- стационарное поле температуры,
- поле давления,
- поле потенциала скорости в гидродинамике.
Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.
Это уравнение имеет вид:
где — оператор Лапласа, или лапласиан, а — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.
В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:
В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:
Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):
Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».
Содержание
- 1Электростатика
- 2Потенциал точечного заряда
- 3Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда
- 4См. также
- 5Ссылки
Электростатика
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:
где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).
В единицах системы СГС:
В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:
и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
Уравнение Пуассона выводится из закона Гаусса и определения статического потенциала:
Потенциал точечного заряда
Потенциал, источником которого служит точечный заряд,
— то есть кулоновский потенциал — есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина
для уравнения Пуассона,
то есть решение уравнения
где — обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а
В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
http://www.homework.ru/spravochnik/uravnenie-puassona/
http://allrefrs.ru/3-34951.html