Уравнение пучка плоскостей проходящих через прямую

Пучок плоскостей

Пучком плоскостей называют — множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую KM (где KM — общая линия (прямая) пересечения плоскостей также называют её осью пучка см. рисунок ниже).

Если известны уравнения двух различных плоскостей P₁ и P₂

принадлежащих пучку, то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида:

Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей
Когда m₁≠0, можно разделить уравнение на m₁. Обозначив m₁:m₂ через λ, получим уравнение:

Пример 1
Даны уравнения
5х-3у=0 и 3z-4x=0
Уравнение пучка есть:
m₁ ⋅ (5х-3у) + m₁ ⋅ (3z-4x )=0
Например, взяв m₁=1, m₂=-2, будем иметь:
1 ⋅ (5х-3у) + (-2) ⋅ (3z-4x )=0
Отсюда получаем:
13x-3y-6z=0
Уравнение представляет одну из плоскостей пучка.

Пример 2
Найти уравнения проекции прямой T
2x+3y+4z+5=0, x-6y+3z-7=0
на плоскость P
2x+2y+z+15=0

Решение

Искомая проекция представляется уравнением вида:
(2x+3y+4z+5)+λ ⋅ (x-6y+3z-7)=0

Чтобы найти λ, представим в виде:
(2+λ) ⋅ х+(3-6λ) ⋅ у+(4+3λ) ⋅ z+5-7λ=0 (1)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей:

Подставляя A=2, B=2, C=1, получаем:
2 ⋅ (2+λ)+2 ⋅ (3-6λ)+1 ⋅ (4+3λ)=0
Отсюда λ=2. Подставляя λ=2 в уравнение (1), получим уравнение плоскости S. Искомая проекция представляется уравнениями:

Пучок плоскостей

Доказательство необходимого условия. Дано: плоскость π₃ принадлежит пучку, образованному плоскостями π₁ и π₂, следовательно, π₁, π₂, π₃ принадлежат одному пучку плоскостей. Так как плоскости π₁ и π₂ различны, то ранг матрицы M≤2. Следовательно, левые части уравнения плоскостей π₁ и π₂ линейно независимы. Поэтому, левая часть в уравнении плоскости π₃ может быть представлена как линейная комбинация плоскостей π₁ и π₂, то есть существуют константы λ и μ, такие, что (1) A₃x+B₃y+C₃z+D₃=λ(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+μ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂), где A₃=λA₁+μA₂, B₃=λB₁+μB₂, C₃=λC₁+μC₂, D₃=λD₁+μD₂.

Докажем достаточные условия теоремы 2. Дано: равенство 1, требуется доказать, что π₁, π₂, π₃ принадлежат одному пучку плоскостей. В самом деле, из равенства 1 следует, что A₃=λA₁+μA₂, B₃=λB₁+μB₂, C₃=λC₁+μC₂, D₃=λD₁+μD₂. Тогда третья строка матрицы M есть линейная комбинация первых двух строк этой матрицы. Следовательно, ранг матрицы M≤2, тогда, в силу теоремы 1, плоскость π₃ принадлежит пучку плоскостей, образованному π₁ и π₂. Следствие из теоремы 2: уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения двух плоскостей π₁ и π₂, заданных своими общими уравнениями относительно ПДСК, имеет вид A₁x+B₁y+C₁z+D₁+α(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0, α=μ/λ≠0.

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:

37. Уравнение пучка плоскостей

Определение: совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется Пучком плоскостей. Существует следующее утверждение: если

Условия двух непараллельных плоскостей, пересекающихся по некоторой линии L, а a и b — какие угодно, неравные нулю числа, то

A (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + B (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую L, а при произвольных a и b – пучок плоскостей.