Пучок плоскостей
Пучком плоскостей называют — множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую KM (где KM — общая линия (прямая) пересечения плоскостей также называют её осью пучка см. рисунок ниже).
Если известны уравнения двух различных плоскостей P1 и P2
принадлежащих пучку, то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида:
Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей
Когда m1≠0, можно разделить уравнение на m1. Обозначив m1:m2 через λ, получим уравнение:
Пример 1
Даны уравнения
5х-3у=0 и 3z-4x=0
Уравнение пучка есть:
m1 ⋅ (5х-3у) + m1 ⋅ (3z-4x )=0
Например, взяв m1=1, m2=-2, будем иметь:
1 ⋅ (5х-3у) + (-2) ⋅ (3z-4x )=0
Отсюда получаем:
13x-3y-6z=0
Уравнение представляет одну из плоскостей пучка.
Пример 2
Найти уравнения проекции прямой T
2x+3y+4z+5=0, x-6y+3z-7=0
на плоскость P
2x+2y+z+15=0
Решение
Искомая проекция представляется уравнением вида:
(2x+3y+4z+5)+λ ⋅ (x-6y+3z-7)=0
Чтобы найти λ, представим в виде:
(2+λ) ⋅ х+(3-6λ) ⋅ у+(4+3λ) ⋅ z+5-7λ=0 (1)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей:
Подставляя A=2, B=2, C=1, получаем:
2 ⋅ (2+λ)+2 ⋅ (3-6λ)+1 ⋅ (4+3λ)=0
Отсюда λ=2. Подставляя λ=2 в уравнение (1), получим уравнение плоскости S. Искомая проекция представляется уравнениями:
Пучок плоскостей
Доказательство необходимого условия. Дано: плоскость π3 принадлежит пучку, образованному плоскостями π1 и π2, следовательно, π1, π2, π3 принадлежат одному пучку плоскостей. Так как плоскости π1 и π2 различны, то ранг матрицы M≤2. Следовательно, левые части уравнения плоскостей π1 и π2 линейно независимы. Поэтому, левая часть в уравнении плоскости π3 может быть представлена как линейная комбинация плоскостей π1 и π2, то есть существуют константы λ и μ, такие, что (1) A3x+B3y+C3z+D3=λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2), где A3=λA1+μA2, B3=λB1+μB2, C3=λC1+μC2, D3=λD1+μD2.
Докажем достаточные условия теоремы 2. Дано: равенство 1, требуется доказать, что π1, π2, π3 принадлежат одному пучку плоскостей. В самом деле, из равенства 1 следует, что A3=λA1+μA2, B3=λB1+μB2, C3=λC1+μC2, D3=λD1+μD2. Тогда третья строка матрицы M есть линейная комбинация первых двух строк этой матрицы. Следовательно, ранг матрицы M≤2, тогда, в силу теоремы 1, плоскость π3 принадлежит пучку плоскостей, образованному π1 и π2. Следствие из теоремы 2: уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения двух плоскостей π1 и π2, заданных своими общими уравнениями относительно ПДСК, имеет вид A1x+B1y+C1z+D1+α(A2x+B2y+C2z+D2)=0, α=μ/λ≠0.
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:
Уравнение пучка плоскостей в пространстве
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрия
Bodrenko.com
Bodrenko.org