Уравнение распространения тепла в стержне

Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q₁ = -kSU_x(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U_x CpS∆x∆U = kSU_x(x + ∆х, t) ∆t — kSU_x(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U_t = a 2 U_xx,
где — коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|_t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g₁(t) ≡ Т₁ и g₂(t) ≡ Т₂, где Т₁ и Т₂ — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т₁= Т₂ = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g₁(t) = g₂(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h₁ > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g₁(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ₂ может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h₁, очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

удолетворяющее граничным условиям

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

Шаг 5. Определим коэффициенты A_n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).

Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения U_t = a 2 U_xx. Оно будет иметь вид

где

Распространение тепла в стержне

Оглавление

1 Уравнения в частных производных. 3

2 Распространение тепла в стержне. 4

3 Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне. 6

4 Решение задачи спектральным методом.. 11

Список источников. 16

Введение

В данной работе рассматриваются методы решения уравнения распространения тепла в стержне. В первой части работы рассматриваются уравнения в частных производных. Эти уравнения называются основными уравнениями математической физики. Они описывают физические процессы, относящиеся к области механики сплошных сред. Именно этим и объясняется название курса «Уравнения математической физики». Во второй части речь идет об основных уравнениях математической физики полученных на основе общих законов физики, описывающие распространение тепла в стержне. Далее, более подробно, рассматривается метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности, так же известный как метод разделения переменных. В заключительной части работы описывается спектральный способ решения данной задачи, с использованием программного обеспечения Matlab/Octave.

Уравнения в частных производных

Уравнением с частными производными относительно функции u(x₁,…,x_n) называется уравнение, содержащее хотя бы одну из частных производных этой функции. Порядком уравнения с частными производными называется порядок наивысшей производной входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если искомая функция и ее частные производные входят в него линейно (т.е. в первой степени) [1]

Решение уравнения в частных производных может содержать произвольные функции, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых может содержать лишь произвольные постоянные.

Очевидно, что функция U(x,y) = j(y) есть решение уравнения , где j(y) произвольная функция от y.

Наибольший практический интерес представляют дифференциальные уравнения второго порядка. В частности, линейное уравнение с частными производными второго порядка с искомой функцией U(x ,x ,…,x ) от n независимых переменных имеет вид:

(1)

Если f(x_1,x₂. x_n) = 0, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением, в противном случае — линейным неоднородным.

Среди уравнений с частными производными второго порядка следует выделить три типа, которые для функций двух независимых переменных имеют

Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)	(2)
Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье (уравнение параболического типа)	(3)
Уравнение Лапласа (уравнение эллиптического вида)	(4)

Распространение тепла в стержне

Основные уравнения математической физики получены на основе общих законов физики. Получим уравнение теплопроводности, рассматривая процесс теплопередачи в однородном ограниченном стержне длиной l. Будем считать,

что боковая поверхность теплоизолирована, а температура в поперечном сечении одинакова. Один конец стержня расположен в точке x = 0, тогда другой конец будет иметь координату x = l.

Пусть T(x,t) — температура в точке x в момент времени t.

Скорость распространения тепла (количество тепла протекающего через поперечное сечение стержня с абсциссой x за единицу времени) установлена опытным путем:

S — площадь сечения стержня;

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссой x₁ и x₂. Обозначим Dx = x₂ – x₁. Через сечение с абсциссой x₁ за время Dt пройдет количество тепла равное .

То же самое, для сечения с абсциссой x₂: ,

где означает при x = x_1, а производная при x = x₂.

Приток тепла в рассматриваемый элемент стержня за время Dt будет:

[ ] – [ ] @ l (5)

В выражении (5) применена теорема Лагранжа .

В результате этого притока тепла температура в рассматриваемом элементе стержня изменяется на величину DT, т.е.

или DQ₁ -DQ₂ @ С× r×Dx×S× (6)

где С – теплоемкость вещества стержня;

r — плотность вещества стержня.

Приравнивая (5) и (6) получим: l = С× r×Dx×S×

Или = . Обозначим

Уравнение теплопроводности в стержне примет вид:

(7)

Это простейшее уравнение параболического типа.

Рассматривая процесс распространения тепла в 3-х мерном пространстве, где температура Т(x,y,z,t) является функцией координат (x,y,z) и времени t, можно получить уравнение теплопроводности в виде:

(8)

Если функция Т(x,y,z,t) не зависит от z, т.е. температура не зависит от z, то получим уравнение распространения тепла на плоскости:

= a 2 ( + ). (9)

Коэффициент a 2 имеет тот же смысл что и в уравнении (7).

Уравнение распространения тепла в стержне

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = .

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

(1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х₁ и х₂ (х₂ – х₁ = х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х₁ за время t, будет равно

(2)

то же самое с абсциссой х₂:

(3)

Приток Q₁ — Q₂ в элемент стержня за время t будет равняться:

(4)

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

(5)

где с – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня (xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим:

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для , следующие:

u (, t) = ψ₂(t). (9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ₁(t) и ψ₂(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле (1))

(10)

где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:

где – направляющие косинусы вектора n, или

Подставляя выражение в формулу (10), получаем:

Q = -k n grad u s.

Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:

Qt = -k n grad u t s.

Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:

(11)

где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим элементарный объем υ. Пусть за время t его температура поднялась на u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента υ, будет равно

где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время t, будет

Но это есть тепло, поступающее в объем V за время t; оно определено формулой (11) . Таким образом, имеет место равенство

Сокращая на t, получаем:

(12)

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, – замкнутая поверхность)

полагая F = k grad u:

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :

(14)

где P (x, y, z) – некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

(15)

Подставляя в уравнение (15), получаем:

(16)

Если k – постоянное, то

и уравнение (15) в этом случае дает:

или, положив

(17)

Коротко уравнение (17) записывается так:

где u – оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело , поверхность которого . В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное условие:

u (x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (18)

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности тела в любой момент времени t – граничное условие:

u (М, t) = ψ (М, t). (19)

(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:

(20)

— уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19), формулируются так:

где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С.

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

— уравнение распространения тепла в стержне.

§2.2. Температурные волны.

Задача о распространении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы.

Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство . Эта задача является характерной задачей без начальных условий, так как при многократном повторении температурного хода на поверхности влияние начальной температуры будет меньше влияния других факторов, которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы). Таким образом, приходим к следующей задаче:

найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

(1)

u (0, t) = A cos t. (2)

Предполагается, что функции u (x, t) и m (t) ограничены всюду, т.е.

Запишем граничное условие в виде

(2’)

Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.

Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию

Итак, рассмотрим задачу:

(3)

Ее решение будем искать в виде

(4)

где и — неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

,

Для u (x, t) имеем:

(5)

Действительная часть этого решения

(6)

удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

(7)

На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем:

1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

,

т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).

2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине