Распределение тепла в трехмерном материале сразрезомпоквадрату Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Глушко Андрей Владимирович, Логинова Екатерина Александровна
Рассматривается задача, описывающая стационарное распределение температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой трехмерное пространство с разрезом по квадрату, моделирующей неоднородный (функционально-градиентный) материал с трещиной в виде плоского квадрата. Неоднородность материала описывается функцией k(x)= G0e kx3, что соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Ox3.Задача сведена к обобщенной задаче, получены тепловые потенциалы и построено решение задачи, изучены их свойства. Найдены асимптотики производных решения по расстоянию до концов разреза. Библиогр. 8 назв.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Глушко Андрей Владимирович, Логинова Екатерина Александровна
THE PROBLEM OF THE DISTRIBUTION OF HEAT IN THE MATERIAL WITH A CUT ON THE SQUARE
The problem of the stationary distribution of the temperature field with a variable coefficient of thermal conductivity in the inner region of a three-dimensional space with a cut on the square, which simulates a heterogeneous material with a crack in the form of a flat square is considered: ∂u(x1,x2,x3) Δu(x1,x2,x3)+ k =0,x∈ R 3\Π; ∂x3 u(x1,x2,+0) u(x1,x2,-0) = q0(x1,x2),x1 ∈ [-1; 1],x2 ∈ [-1; 1]; ∂u(x1,x2,+0) k ∂u(x1,x2,-0) k + u(x1,x2,+0) -u(x1,x2,-0) = q1(x1,x2), ∂x3 2 ∂x3 2 where u(x1,x2,x3) is the temperature at the point with coordinates (x1,x2,x3). The article describes a solution of the problem, studies its properties. The main result of this study is to construct asymptotic representations of the temperature field and the heat flux near the boundary. From the formulas for the first derivatives of the solution, we can conclude that these functions at the boundaries of the crack-square are singular terms of higher order than the inside of the cut. Refs 8.
Текст научной работы на тему «Распределение тепла в трехмерном материале сразрезомпоквадрату»
УДК 517.955.8 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 3
А. В. Глушко, Е. А. Логинова
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛА В ТРЕХМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ С РАЗРЕЗОМ ПО КВАДРАТУ
Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1
Рассматривается задача, описывающая стационарное распределение температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой трехмерное пространство с разрезом по квадрату, моделирующей неоднородный (функционально-градиентный) материал с трещиной в виде плоского квадрата. Неоднородность материала описывается функцией k(x) = Goekxa, что соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Ox 3. Задача сведена к обобщенной задаче, получены тепловые потенциалы и построено решение задачи, изучены их свойства. Найдены асимптотики производных решения по расстоянию до концов разреза. Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: тепловые потенциалы, краевые условия, неоднородный материал с разрезом по квадрату, асимптотические представления.
A. V. Glusgko, E. A. Loginova
THE PROBLEM OF THE DISTRIBUTION OF HEAT IN THE MATERIAL WITH A CUT ON THE SQUARE
Voronezh State University, 1, Universitetskaya square, Voronezh, 394006, Russian Federation
The problem of the stationary distribution of the temperature field with a variable coefficient of thermal conductivity in the inner region of a three-dimensional space with a cut on the square, which simulates a heterogeneous material with a crack in the form of a flat square is considered:
u(xi,x2, +0) — «(xi,x2, -0) = qo(xi,X2), xi € [-1; 1], X2 € [-1; 1]; du(xi,x2, +0) k du(xi,x2, -0) k
where u(xi,x2,x3) is the temperature at the point with coordinates (xi,x2,x3).
The article describes a solution of the problem, studies its properties. The main result of this study is to construct asymptotic representations of the temperature field and the heat flux near the boundary. From the formulas for the first derivatives of the solution, we can conclude that these functions at the boundaries of the crack-square are singular terms of higher order than the inside of the cut. Refs 8.
Keywords: thermal potentials, the non-homogeneous material with a square cut, the asymptotic solution.
Глушко Андрей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: kuchp2@math.vsu.ru
Логинова Екатерина Александровна — кандидат физико-математических наук, преподаватель; e-mail: vangog2007@list.ru
Glushko Audrey Vladimirovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, the head of department; e-mail: mail@angl.vrn.ru
Logiuova Ekateriua Alexaudrovua — candidate of physical and mathematical sciences, lecturer; e-mail: vangog2007@list.ru
1. Введение. Уже несколько десятков лет интерес механиков и математиков вызывают задачи о распределении тепла в материалах с трещиной [1—7]. Большое количество работ, написанных по этой теме, посвящено численным методам решения. В последнее время также появляются статьи, в которых изучаются температурное поле и распределение тепловых потоков в окрестности трещины асимптотическими методами. Однако все эти работы относятся к случаю плоского неоднородного материала с трещиной в виде разреза. В данной статье рассматривается задача о стационарном распределении поля температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой трехмерное пространство с разрезом по квадрату, моделирующей неоднородный материал с трещиной в виде плоского квадрата. Найдено решение поставленной задачи, изучены его свойства. Основным результатом является построение асимптотических представлений температурного поля и теплового потока вблизи границы.
Приведем уравнение стационарной теплопроводности неоднородного материала, которое имеет вид
ё1у(к(х^гаёи(х)) = Г (х).
Здесь к(х) = Оовкх’л — коэффициент внутренней теплопроводности вещества. Приведенное уравнение соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Охз и коэффициент теплопроводности выражен экспонентой. Предположим также, что Г(х) = 0. Введем обозначение: П — множество точек М3, удовлетворяющих представлению П = <хх,х2,хз | хз = 0; Х1 € [—1; 1], Х2 € [—1; 1]>. Областью, в которой рассматривается уравнение, моделирующее наличие трещины, проходящей по квадрату П в М3, является М3\П. С учетом предположений упростим запись уравнения теплопроводности, дополним его граничными условиями и получим задачу
м = е 2 —sgnжз + До(-1,ж2,ж3);
9м / 1 ад0(-1,ж2) 1 . м | Л ,
+Ек(—1,х2,хз), & = 1, 2; 9м ( д!(-1,ж2) /г д0(-1;ж2)
9жз = 6 2 -4—8 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
* .0(1; i) + m 1*31 — Щ^m м, + ад, i,гз).
м = е 2 —sgnx3 + Д0(-1,1,ж3);
dv_ = _e-±|aJ_ 0go(-l;l) 0go(-l;l) g0(-l; 1) _
9xfc 47Г \2 9xfc dx/, |ж3|
— qo(—1; 1) ln Ix3^ + Rk( —1,1, X3), k =1, 2;
ди к Ьт (ж1,ж2,жз) — — г>(ж1,ж2,жз) = 0, ж € М3\П. (2)
Граничные условия будут заданы следующим образом:
«(хьх2, +0) — -у(хьх2, —0) = до(хх,х2), дю(х\,х2, +0) дю(х\,х2, — 0)
хх € [— 1; 1], х2 € [— 1; 1].
Определение 1. Специализированной дельта-функцией назовем такую функцию ¿п € D'(R3), что для функции v(xi, x2, x3), которая на квадрате x € П может иметь разрыв первого рода, причем lim v(xi,x2,x3) = v±(xi:x2), xi € [— 1; 1], x2 €
[—1; 1], и непрерывна при всех x € М3\П, и любой функции ^(xi,x2,x3) € D(R3) справедливо равенство
(v£n, ^(xi,x2,x3)) = J j(v+ (xi,x2) — v_(xi,x2))(^(x3), ^(xi,x2,x3))dxidx2, -1 _i
где 5(x3) — дельта-функция Дирака.
Определение 2. Решением задачи (2), (3) назовем функцию v(xi,x2,x3), принадлежащую множеству функций C2 (М3\П) и удовлетворяющую уравнению (2) в области М3\П, для которой выполнены граничные условия (3), и такую, что
dv(xi,x2,x3) dv(xi,x2, — x3) dv(xi,x2,x3)
в окрестности П.
Утверждение 1. Решение задачи (2), (3) в смысле пространства D'(R3) удовлетворяет уравнению
Доказательство. Рассмотрим результат воздействия оператора Лапласа на обобщенную функцию v € D’ (R3), равную нулю на множестве Пе = [—1 — е1/2; 1 + е1/2] х [—1 — ei/2; 1 + ei/2] х [—е; е] с последующим переходом к пределу при е ^ +0 в пространстве D'(R3). Заметим, что при е ^ +0 параллелепипед Пе стягивается в плоский разрез П. При выполнении ограничений на функцию v(x), сформулированных в определении 2, с использованием результатов работы [8], удается установить, что для произвольной основной функции y(xi,x2,x3) из существует предел
limo(Av(x),^(x)) = limо J v(x)Ap(x)dx = j
+ J J[v(xi, X2, +0) — v(xi, X2, -0)] ^(жз), ду^Ь^жз)^ dxidx2 -i _i
Г Г ду(хих2,+ 0) _ ду(хих2, -0) х.Шх^хо
\ I I [ ^^ ^^ \ Vй) УД 11 11 ) ) ^^ 1 •
Здесь <Д-у(х)>— оператор Лапласа в смысле классических производных, определенный для решения задачи (2), (3) на М3\П. Из последнего равенства с учетом граничных условий (3) получаем требуемое утверждение. Введем обозначения:
Ь(Х1,Х2,хз) = —-—:—:—фундаментальное решение оператора Д—— ;
Ух(хх, х2, хз) = Е(хх, х2, хз) * д\(х\, х2)бп — поверхностный стационарный тепловой потенциал простого слоя;
лг / ^ т?/ N ддо(х\,х2)5п
Vо(Х1,Х2,хз) = Ь(х 1,х2,хз) *—-поверхностный стационарный теп-
ловой потенциал двойного слоя.
Очевидно, что если свертки в определениях потенциалов существуют в Д'(Мз), то решение обобщенной задачи (4) представимо в виде суммы у(хх,х2,хз) = У1(х1,х2,хз) + Уо (хх,х2,хз).
На основании теоремы о свертке с финитным функционалом (см. [8]) устанавливаем справедливость следующего утверждения.
Утверждение 2. Пусть дк(ах,а2) € С2(П), к = 0,1.
Тогда Ук(хх,х2,хз) € Сто(Мз\П) П С(Мз), к = 0,1, и ограничены во всем Мз. Справедливы представления
0 такое, что выполнено неравенство (x1 — a1)2 + (x2 — a2)2 > S2.
rr T iTi^ 1 1 lf(a1; a2; x1; x2; x3)|, ,
Проведем оценку интеграла J по модулю \ J\ ^ J J —a Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
из которой на основании теоремы Лебега о предельном переходе следует, что рассматриваемый интеграл непрерывен по внешним переменным.
2). Пусть (x1; x2) € П. Представим интеграл J в виде суммы: J = J1 + J2, здесь
1 if f (a1; a2; x1; x2; x3)
J\ = — ‘ ‘ ‘ ‘ (¿71 (¿72; B$(XI]X2) G П.
П\Вг(1;*2) V (x1 — a1)2 + (x2 — a2)2 + x3
п \п\ ^ \ г а2;хьх2;хз), ,
Справедлива оценка к/Л ^ J J —сит1сит2, из которой на основа-
нии теоремы Лебега о предельном переходе следует, что рассматриваемый интеграл непрерывен по хх; х2; хз;
Проведем замену интегрирования о\ = x/ + £ cos у, = x2 + £ sin У- Интеграл J2 примет вид
Т2 _ [ í Яхi + gcosy;x2 +gsiny;xi;x2;x3)g_
W ff (xi + £ cos у; X2 + £ sin y; xi; X2; x3)
Оценим IJ21. Пусть K G R3 — произвольный компакт. Тогда
1огаа интеграл Л = -гт;-:-гт;-тт 0, такое, что справедлива оценка (хх — ах)2 + (х2 — а2)2 ^ 52. Благодаря оценке легко получаем неравенство
И Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Проведем замену £2 = р. Получим представление
т2 1 Г Г x3f (xi + С cos у; Х2 + С sin у; xi; Х2; Х3)
■h = 2 J J -FT^l-dpd
из которого следует оценка
|j2| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
((xi — cri)2 + (ж2 — СГ2)2 + Ж§) 2
Пусть (х/;х2) € П, 5 > 0 — таково, что шар Вц(х/,х2) С П. Очевидно, часть интеграла 1/, которая вычисляется по множеству (а/,а2) € П\В^(х/,х2), является непрерывной по совокупности внешних параметров функцией. Поэтому, с точностью до непрерывных слагаемых, будем считать, что интеграл 1х вычисляется по шару Вг(хг,х2) С П.
С помощью выписанного выше разложения получаем представление