Уравнение расстояния от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

,

(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M₀ до прямой L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)
• найти найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

(6)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

Далее находим расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу:

.

(7)

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(−6, 2) до прямой

(8)

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (6):

,

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M₀(-6, 2) и M₁

Упростим и решим:

Расстояние от точки M₀(-6, 2) до прямой (8) :

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

,

(9)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)
• найти расстояние между точками M₀ и M₁.

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

(12)

Подставим значения x и y в (11):

(13)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

Далее вычисляем расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу

,

(14)

которое является расстоянием между точкой M₀ и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой

(15)

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M₁:

,

,

.

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M₀ до прямой (15):

.

Упростим и решим:

.

Расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой (15) :

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = — направляющий вектор прямой l , M₁( x ₁, y ₁, z ₁) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀( x ₀, y ₀, z ₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = — направляющий вектор прямой и M₁( x ₁, y ₁, z ₁) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d , а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s .

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Из уравнения прямой получим:

s = < 2; 1; 2 >— направляющий вектор прямой;
M₁(3; 1; -1) — точка лежащая на прямой.

d = | M₀M₁ × s | | s | = √ 2 2 + (-14) 2 + 5 2 √ 2 2 + 1 2 + 2 2 = √ 225 √ 9 = 15 3 = 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения

Данная статья рассказывает о теме «расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая a и точка М 1 , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b , расположенную перпендикулярно относительно прямой a . Точка пересечения прямых возьмем за Н 1 . Получим, что М 1 Н 1 является перпендикуляром, который опустили из точки М 1 к прямой a .

Расстоянием от точки М 1 к прямой a называется расстояние между точками М 1 и Н 1 .

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку Q , лежащую на прямой a , не совпадающую с точкой М 1 , тогда получим, что отрезок М 1 Q называется наклонной, опущенной из М 1 к прямой a . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М 1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М 1 Q 1 Н 1 , где М 1 Q 1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M 1 H 1 M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.

Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М 1 к прямой a . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости имеется точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a , а необходимо найти расстояние M 1 H 1 , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

Если имеются координаты точки H 1 , равные x 2 , y 2 , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 .

Теперь перейдем к нахождению координат точки Н 1 .

Известно, что прямая линия в О х у соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой a . Прямую обозначим буковой b . Н 1 является точкой пересечения прямых a и b , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M 1 ( x 1 , y 1 ) до прямой a проводится согласно пунктам:

• нахождение общего уравнения прямой a , имеющее вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k 1 x + b 1 ;
• получение общего уравнения прямой b , имеющее вид A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или уравнение с угловым коэффициентом y = k 2 x + b 2 , если прямая b пересекает точку М 1 и является перпендикулярной к заданной прямой a ;
• определение координат x 2 , y 2 точки Н 1 _, являющейся точкой пересечения a и b , для этого производится решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 .

Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Прямоугольная система координат имеет О х у имеет точку M 1 ( x 1 , y 1 ) , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y — p = 0 , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x = x 1 , y = y 1 , значит, что M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 — p .

Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y — p = 0 , тогда n → = ( cos α , cos β ) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , где радиус-вектор точки М 1 — O M 1 → = ( x 1 , y 1 ) . Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M 1 H 1 . Необходимо показать проекции М 2 и Н 2 точек М 1 и Н 2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n → = ( cos α , cos β ) , а числовую проекцию вектора обозначим как O M 1 → = ( x 1 , y 1 ) к направлению n → = ( cos α , cos β ) как n p n → O M 1 → .

Вариации зависят от расположения самой точки М 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Результаты фиксируем при помощи формулы M 1 H 1 = n p n → O M → 1 — p . После чего приводим равенство к такому виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 — p для того, чтобы получить n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , которая является произведением в координатной форме вида n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Значит, получаем, что n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отсюда следует, что M 1 H 1 = n p n → O M 1 → — p = cos α · x 1 + cos β · y 1 — p . Теорема доказана.

Получаем, что для нахождения расстояния от точки M 1 ( x 1 , y 1 ) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

• получение нормального уравнения прямой a cos α · x + cos β · y — p = 0 , при условии, что его нет в задании;
• вычисление выражения cos α · x 1 + cos β · y 1 — p , где полученное значение принимает M 1 H 1 .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

Найти расстояние от точки с координатами M 1 ( — 1 , 2 ) к прямой 4 x — 3 y + 35 = 0 .

Применим первый способ для решения.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b , которая проходит через заданную точку M 1 ( — 1 , 2 ) , перпендикулярно прямой 4 x — 3 y + 35 = 0 . Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные ( 4 , — 3 ) . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М 1 , принадлежит прямой b . Определим координаты направляющего вектора прямой b . Получим, что x — ( — 1 ) 4 = y — 2 — 3 ⇔ x + 1 4 = y — 2 — 3 . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

x + 1 4 = y — 2 — 3 ⇔ — 3 · ( x + 1 ) = 4 · ( y — 2 ) ⇔ 3 x + 4 y — 5 = 0

Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н 1 . Преобразования выглядят таким образом:

4 x — 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y — 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y — 35 4 3 x + 4 y — 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y — 35 4 3 · 3 4 y — 35 4 + 4 y — 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y — 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 — 35 4 y = 5 ⇔ x = — 5 y = 5

Из выше написанного имеем, что координаты точки Н 1 равны ( — 5 ; 5 ) .

Необходимо вычислить расстояние от точки М 1 к прямой a . Имеем, что координаты точек M 1 ( — 1 , 2 ) и H 1 ( — 5 , 5 ) , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

M 1 H 1 = ( — 5 — ( — 1 ) 2 + ( 5 — 2 ) 2 = 25 = 5

Второй способ решения.

Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4 x — 3 y + 35 = 0 . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен — 1 4 2 + ( — 3 ) 2 = — 1 5 , а нормальное уравнение будет вида — 1 5 · 4 x — 3 y + 35 = — 1 5 · 0 ⇔ — 4 5 x + 3 5 y — 7 = 0 .

По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x = — 1 , y = 2 . Тогда получаем, что

— 4 5 · — 1 + 3 5 · 2 — 7 = — 5

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 ( — 1 , 2 ) к заданной прямой 4 x — 3 y + 35 = 0 имеет значение — 5 = 5 .

Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

На плоскости имеется прямоугольная система координат О х у с точкой M 1 ( 8 , 0 ) и прямой y = 1 2 x + 1 . Найти расстояние от заданной точки до прямой.

Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение — 1 , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y = 1 2 x + 1 имеет значение 2 . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( 8 , 0 ) . Имеем, что y — 0 = — 2 · ( x — 8 ) ⇔ y = — 2 x + 16 .

Переходим к нахождению координат точки Н 1 , то есть точкам пересечения y = — 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1 . Составляем систему уравнений и получаем:

y = 1 2 x + 1 y = — 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = — 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 ( 6 , 4 )

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M 1 ( 8 , 0 ) к прямой y = 1 2 x + 1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M 1 ( 8 , 0 ) и H 1 ( 6 , 4 ) . Вычислим и получим, что M 1 H 1 = 6 — 8 2 + ( 4 — 0 ) 2 20 = 2 5 .

Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x — y + 1 = 0 , тогда значение нормирующего множителя будет — 1 1 2 2 + ( — 1 ) 2 = — 2 5 . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид — 2 5 · 1 2 x — y + 1 = — 2 5 · 0 ⇔ — 1 5 x + 2 5 y — 2 5 = 0 . Произведем вычисление от точки M 1 8 , 0 к прямой вида — 1 5 x + 2 5 y — 2 5 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = — 1 5 · 8 + 2 5 · 0 — 2 5 = — 10 5 = 2 5

Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M 1 ( — 2 , 4 ) к прямым 2 x — 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Получаем уравнение нормального вида прямой 2 x — 3 = 0 :

2 x — 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x — 3 = 1 2 · 0 ⇔ x — 3 2 = 0

После чего переходим к вычислению расстояния от точки M 1 — 2 , 4 к прямой x — 3 2 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = — 2 — 3 2 = 3 1 2

Уравнение прямой y + 1 = 0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид — y — 1 = 0 . Переходим к вычислению расстояния от точки M 1 ( — 2 , 4 ) к прямой — y — 1 = 0 . Получим, что оно равняется — 4 — 1 = 5 .

Ответ: 3 1 2 и 5 .

Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям О х и О у .

В прямоугольной системе координат у оси О у имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида х = 0 , а О х — y = 0 . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M 1 x 1 , y 1 до прямых. Это производится, исходя из формул M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Найти расстояние от точки M 1 ( 6 , — 7 ) до координатных прямых, расположенных в плоскости О х у .

Так как уравнение у = 0 относится к прямой О х , можно найти расстояние от M 1 с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что 6 = 6 .

Так как уравнение х = 0 относится к прямой О у , то можно найти расстояние от М 1 к этой прямой по формуле. Тогда получим, что — 7 = 7 .

Ответ: расстояние от М 1 к О х имеет значение 6 , а от М 1 к О у имеет значение 7 .

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , необходимо найти расстояние от точки A до прямой a .

Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М 1 к прямой, где точка на прямой называется Н 1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М 1 на прямую a . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

Из определения имеем, что расстояние от точки М 1 _, расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М 1 Н 1 _, тогда получим, что при найденных координатах точки Н 1 , тогда найдем расстояние между M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и H 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , исходя из формулы M 1 H 1 = x 2 — x 1 2 + y 2 — y 1 2 + z 2 — z 1 2 .

Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М 1 на прямую a . Это производится следующим образом: Н 1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

Значит, алгоритм определения расстояния от точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:

• составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
• определение координат ( x 2 , y 2 , z 2 ) , принадлежавших точке Н 1 , которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ ;
• вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M 1 H 1 = x 2 — x 1 2 + y 2 — y 1 2 + z 2 — z 1 2 .

Из условия имеем прямую a , тогда можем определить направляющий вектор a → = a x , a y , a z с координатами x 3 , y 3 , z 3 и определенной точки М 3 _,принадлежащей прямой a . При наличии координат точек M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 можно произвести вычисление M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = ( x 1 — x 3 , y 1 — y 3 , z 1 — z 3 )

Следует отложить векторы a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 — x 3 , y 1 — y 3 , z 1 — z 3 из точки М 3 , соединим и получим фигуру параллелограмма. М 1 Н 1 является высотой параллелограмма.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Имеем, что высота М 1 Н 1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M 1 H 1 .

Обозначим площадь параллелограмма за букву S , находится по формуле, используя вектор a → = ( a x , a y , a z ) и M 3 M 1 → = x 1 — x 3 . y 1 — y 3 , z 1 — z 3 . Формула площади имеет вид S = a → × M 3 M 1 → . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , являющимся длиной вектора a → = ( a x , a y , a z ) , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M 1 H 1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для нахождения расстояния от точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

• определение направляющего вектора прямой a — a → = ( a x , a y , a z ) ;
• вычисление длины направляющего вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получение координат x 3 , y 3 , z 3 , принадлежавших точке М₃, находящейся на прямой а;
• вычисление координат вектора M 3 M 1 → ;
• нахождение векторного произведения векторов a → ( a x , a y , a z ) и M 3 M 1 → = x 1 — x 3 , y 1 — y 3 , z 1 — z 3 в качестве a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 — x 3 y 1 — y 3 z 1 — z 3 для получения длины по формуле a → × M 3 M 1 → ;
• вычисление расстояния от точки до прямой M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Найти расстояние от точки с координатами M 1 2 , — 4 , — 1 к прямой x + 1 2 = y — 1 = z + 5 5 .

Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ , проходящей через М 1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:

2 · ( x — 2 ) — 1 · ( y — ( — 4 ) ) + 5 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ 2 x — y + 5 z — 3 = 0

Нужно найти координаты точки H 1 , являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогда получаем систему уравнений вида:

x + 1 2 = y — 1 = z + 5 5 ⇔ — 1 · ( x + 1 ) = 2 · y 5 · ( x + 1 ) = 2 · ( z + 5 ) 5 · y = — 1 · ( z + 5 ) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0

Необходимо вычислить систему x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 2 x — y + 5 z — 3 = 0 ⇔ x + 2 y = — 1 5 x — 2 z = 5 2 x — y + 5 z = 3 по методу Крамера, тогда получаем, что:

∆ = 1 2 0 5 0 — 2 2 — 1 5 = — 60 ∆ x = — 1 2 0 5 0 — 2 3 — 1 5 = — 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = — 60 — 60 = 1 ∆ y = 1 — 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 — 60 = — 1 ∆ z = 1 2 — 1 5 0 5 2 — 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 — 60 = 0

Отсюда имеем, что H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) .

Необходимо рассчитать расстояние между точками с координатами M 1 ( 2 , — 4 , — 1 ) и H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) по формуле:

M 1 H 1 = 1 — 2 2 + — 1 — — 4 2 + 0 — — 1 2 = 11

Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a → = 2 , — 1 , 5 является направляющим вектором прямой x + 1 2 = y — 1 = z + 5 5 . Необходимо вычислить длину по формуле a → = 2 2 + ( — 1 ) 2 + 5 2 = 30 .

Понятно, что прямая x + 1 2 = y — 1 = z + 5 5 пересекает точку M 3 ( — 1 , 0 , — 5 ) , отсюда имеем, что вектор с началом координат M 3 ( — 1 , 0 , — 5 ) и его концом в точке M 1 2 , — 4 , — 1 является M 3 M 1 → = 3 , — 4 , 4 . Находим векторное произведение a → = ( 2 , — 1 , 5 ) и M 3 M 1 → = ( 3 , — 4 , 4 ) .

Мы получаем выражение вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 — 1 5 3 — 4 4 = — 4 · i → + 15 · j → — 8 · k → + 20 · i → — 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → — 5 · k →

получаем, что длина векторного произведения равняется a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + — 5 2 = 330 .

Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11