Уравнение равномерного движения в векторной форме график

Уравнение равномерного движения в векторной форме график

§ 12. Уравнения равномерного прямолинейного движения

1. Уравнение в векторной форме.

Знаем, что одна из основных задач механики заключается в нахождении положения точки в любой момент времени при движении. Знаем, что положение точки может быть определено радиус-вектором, и в любом движении конечный радиус-вектор имеет вид:

.

— задан, а наиболее просто находить в равномерном прямолинейном движении с помощью скорости и времени.

— это и есть уравнение равномерного прямолинейного движения в векторной форме.

2. Уравнение в координатной форме.

Знаем, что векторы находят с помощью проекций на оси координат. Поэтому от векторного уравнения движения перейдём к проекциям векторных величин на оси координат.

Если , то:

.

Проекции радиусов равны соответствующим координатам. Поэтому:

.

Если траектория известна, то мы совмещаем траекторию с осью координат OX и пользуемся вместо трёх всего одним первым уравнением.

Никакую часть этого материала ни в каких целях, включая образовательные и научные, нельзя без письменного разрешения владельца авторских прав дублировать в сети Интернет и воспроизводить в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая запись на магнитный или электронный носитель, вывод на печать, фотокопирование.

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант. — 1973. — № 11. — С. 57-60.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант».

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:

где — перемещение, — скорость движения, t — время.

Движение материальной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в данной задаче принимается за неподвижное и называется телом отсчета. С ним связывается система координат; вместе с телом отсчета они образуют систему отсчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например ОХ. Тогда положение точки будет определяться его координатой х. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:

где x₀ — координата точки в момент времени t = 0.

Правильный выбор системы отсчета часто существенно облегчает решение задачи. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью υ₁ = 72 км/ч, видит встречный поезд, идущий со скоростью υ₂ = 31,4 км/ч, в течение 10 секунд. Определить длину встречного поезда.

За тело отсчета примем пассажира, а ось координат направим по направлению скорости встречного поезда. Величины скоростей υ₁ и υ₂ заданы относительно некоторой неподвижной системы отсчета, например земли. По отношению же к пассажиру, движущемуся со скоростью υ₁, встречный поезд имеет так называемую относительную скорость υ_2отн, которая равна

или в скалярной форме

Тогда искомая длина встречного поезда l равна

Задача 2. Рыбак плывет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он это обнаружил и, повернув назад, догнал шляпу в 5 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак, двигаясь вверх и вниз по реке, греб одинаково?

Свяжем систему отсчета с водой в реке, то есть со шляпой. Рыбак удаляется от шляпы и приближается к ней с одной и той же скоростью, следовательно, он догонит ее через полчаса после того, как обнаружил потерю, или через час после падения шляпы в воду. За это время шляпа относительно земли проплыла 5 км. Значит, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Равнопеременное прямолинейное движение

Если скорость материальной точки не постоянна, но в любые равные промежутки времени она изменяется на одну и ту же величину, то в этом случае говорят о равнопеременном движении. Движение называют равноускоренным, если скорость увеличивается, и равнозамедленным, если скорость уменьшается.

Для решения задач на эту тему достаточно знать уравнения для скорости и перемещения. В скалярной форме они записываются так:

Здесь υ₀ — начальная скорость точки, х₀ — начальная координата, а — ускорение, υ и х — соответственно скорость и координата точки в момент времени t. Величины υ₀, a, υ и х будем считать положительными, когда их направление совпадает с положительным направлением выбранной оси координат ОХ, отрицательными — в противном случае.

Начинать решение задачи полезно с краткой записи ее условия, по возможности полностью переводя задачу на язык условных обозначений. При этом надо следить за тем, чтобы единицы измерения всех величин были даны в одной и той же системе единиц. Все расчеты лучше проводить в общем виде, то есть в буквенных обозначениях, а численные значения подставлять в окончательный результат.

Решим следующие задачи.

Задача 3. Два велосипедиста едут друг другу навстречу: один из них, имея скорость 5,4 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,2 м/с 2 ; другой, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору с ускорением — 20 см/с 2 . Через сколько времени они встретятся?

Пусть начало координат совпадает с начальным положением первого велосипедиста, а положительное направление оси координат — с направлением его начальной скорости. Тогда краткая запись условия задачи будет выглядеть так:

υ₀₁ = 5,4 км/ч = 1,5 м/с

Запишем уравнения движения для каждого велосипедиста:

(1)

(2)

причем а₁ = а₂ по условию. В момент встречи

(3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), получим

На этом можно было бы закончить решение, но в данном случае следует убедиться в том, что полученный ответ имеет физический смысл. Для этого найдем скорость второго велосипедиста через 30 с после начала движения:

= –5 м/с + 0,2 м/с 2 • 30 с = 1 м/с.

Оказывается, что второй велосипедист к этому времени будет скатываться с горы, а не подниматься в гору. Очевидно, что данная задача составлена некорректно.

Задача 4. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением 2,45 м/с 2 . Через 8 секунд от начала движения из его гондолы выпадает предмет. Через сколько времени и с какой скоростью этот предмет упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Так как сначала предмет движется вместе с аэростатом, то через t₁ = 8 с он поднимется на некоторую высоту h₁ и будет иметь скорость υ₁ причем

и

Дальнейшее движение предмета можно описать по-разному.

Часто задачи такого типа решаются в два этапа. Сначала рассматривается замедленное движение предмета вверх до наибольшей высоты, затем — свободное падение на землю. Задача, однако, решается проще, если считать, что предмет одновременно участвует в двух независимых друг от друга движениях: он равномерно со скоростью υ₁ поднимается вверх и свободно падает. Свяжем систему отсчета с землей, а ось координат направим вверх. Тогда уравнение движения предмета с высоты h₁ до земли запишется так:

(t₂ — время движения предмета). Подставляя в это уравнение выражения для h₁ и υ₁, получим

Задача 5. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Когда оно достигло высшей точки подъема на высоте Н = 100 м от земли, из того же начального пункта и с той же начальной скоростью брошено второе тело. На какой высоте они встретятся? Какие они будут иметь скорости в момент встречи? С какой начальной скоростью были брошены тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рассмотрим сначала некоторые особенности движения тела, брошенного вертикально вверх. Это сложное движение является суммой двух простых — равномерного движения и свободного падения. Причем каждое движение происходит независимо от другого и от того, поднимается или опускается тело. Поэтому можно сказать, что время прохождения телом одного и того же участка пути вверх и вниз одно и то же и что скорости тела на некоторой высоте при движении вверх или вниз одинаковы по величине.

Покажем, например, что время подъема тела до максимальной высоты равно времени падения до начального положения и что конечная скорость по величине равна начальной скорости. Пусть начальная скорость тела равна υ₀. Запишем уравнения для скорости и координаты (начало координат свяжем с точкой бросания и ось координат направим вверх):

В точке максимального подъема υ = 0, поэтому

Теперь тело начинает свободно падать. Обозначим время падения t’, а конечную скорость υ’ и запишем уравнения для свободного падения

Теперь вернемся к нашей конкретной задаче. Согласно сказанному выше, время подъема второго тела до высоты h (рис. 1), равное времени падения первого тела с высоты H — h, составляет половину времени свободного падения первого тела с высоты Н до земли, то есть

Скорости тел в момент встречи одинаковы по величине и равны

Начальная скорость .

В заключение рассмотрим задачу на построение графиков.

Задача 6. Дан график зависимости скорости движения тела от времени (рис. 2, а). Построить графики ускорения, перемещения и пути.

Прежде всего, посмотрим, как движется тело в различные моменты времени. Из графика скорости видно, что на первом этапе (от 0 до t₁) тело движется равноускоренно; на втором (от t₁ до t₂) — равнозамедленно; на третьем (от t₂ до t₃) — равноускоренно, но в обратном направлении; на четвертом (от t₃ до t₄) — равнозамедленно; на пятом (от t₄ до t₅) — равноускоренно в первоначальном направлении и т. д. Графики зависимости ускорения, перемещения и пути от времени показаны на рисунках 2, б, в и г соответственно.

1. По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский — длиной 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длиной 400 м со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пассажирский поезд будет обгонять товарный?

2. Замыкающий колонны войск, растянувшейся на 2,5 км и идущей со скоростью 5 км/ч, послал мотоциклиста с извещением командиру, находящемуся во главе колонны. Командир принимал извещение и писал ответ, стоя на обочине дороги, в. течение трех минут. Определить среднюю скорость мотоциклиста, если он вернулся к замыкающему через 9 мин 27 с.

3. Два велосипедиста едут навстречу друг другу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,30 м/с 2 ; другой, имея скорость 36 км/ч, поднимается с ускорением —0,20 м/с 2 . Каково было расстояние между велосипедистами в начальный момент, если они встретились через 0,5 минуты? При какой наибольшей длине горы задача имеет решение?

4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд после начала падения первого тела удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Вертолет поднимается вверх со скоростью 10 м/с. На высоте 100 м из него выбрасывается вверх предмет со скоростью 2 м/с относительно вертолета. Найти наибольшую высоту, которой достигнет предмет, а также через сколько времени и с какой скоростью предмет упадет на землю.

6. Тело бросают вверх со скоростью 20 м/с. Какова высота точки, которую тело проходит дважды с промежутком 3 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Дан график зависимости ускорения от времени (рис. 3). Построить график зависимости величины перемещения от скорости.

Равномерное прямолинейное движение

теория по физике 🧲 кинематика

Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.

Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение. Проекция скорости на ось ОХ: s_x — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы). Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.

Дополнительные единицы измерения

• 1 км/ч (километр в час) = 1000 м/3600 с.
• 1 км/мин (километр в минуту) = 1000 м/60 с.
• 1 км/с (километр в секунду) = 1000 м/с.
• 1 м/мин (метр в минуту) = 1 м/60 с.
• 1 см/с (сантиметр в секунду) = 0,01 м/с.

Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.

График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику скорости

• Если график скорости лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
• Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
• Если график скорости совпадает с осью времени, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.

Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.

График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:

Теперь нужно разделить километры на часы:

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.

При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:

Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения: Внимание!

При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.

Формула проекции перемещения:

График проекции перемещения

График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику проекции перемещения

• Если луч лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
• Если луч лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
• Если луч совпадает с этой осью, тело покоится.

Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси s_x.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси s_x меньше.

График координаты

График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:

Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Определение направления движения тела по графику координаты

• Если с течением времени координата увеличивается (график идет снизу вверх), тело движется в направлении оси ОХ. На картинке выше этому соответствуют графики тел 1 и 2.
• Если с течением времени координата уменьшается (график идет сверху вниз), тело движется противоположно направлению оси ОХ. На картинке выше этому соответствует график тела 3.
• Если координата не изменяется, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.

Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.

Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:

1. На участке 1 скорость тела постоянна, а на участке 2 равна нулю.
2. Проекция ускорения тела на участке 1 положительна, а на участке 2 — отрицательна.
3. На участке 1 тело движется равномерно, а на участке 2 оно покоится.
4. На участке 1 тело движется равноускорено, а на участке 2 оно движется равномерно.
5. Проекция ускорения тела на участке 1 отрицательна, а на участке 2 — положительна.

На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.

Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?

Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:

Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:

Скорость во время движения от В к А равна:

Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.

На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v₂ больше скорости первого тела v₁ в n раз, где n равно…

Алгоритм решения

1. Выбрать любой временной интервал.
2. Выбрать для временного интервала начальные и конечные пути для каждого из графиков.
3. Записать формулу скорости и вычислить ее для 1 и 2 тела.
4. Найти n — отношение скорости второго тела к скорости первого тела

Решение

Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:

• Для графика 1: начальный путь s₁₀ = 0 м. Конечный путь равен s₁ = 80 м.
• Для графика 2: начальный путь s₂₀ = 0 м. Конечный путь равен s₂ = 120 м.

Скорость определяется формулой:

Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет вид:

Скорость первого тела:

Скорость второго тела:

Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.

Какой из графиков соответствует зависимости от времени для проекции υ x скорости этого тела на ось Ox ?

Алгоритм решения

1. Записать уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении.
2. Выразить из уравнения проекцию скорости.
3. Определить начальную и конечную координаты, а также время, в течение которого двигалось тело.
4. Вычислить проекцию скорости.
5. Выбрать соответствующий график.

Решение

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда проекция скорости равна:

Начальная координата x_o = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.

Вычисляем проекцию скорости:

Этому значению соответствует график «в».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
2. Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
3. Записать исходные данные.
4. Записать формулу определения искомой величины.
5. Произвести вычисления.

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

1. От t₁ = 0 c до t₂ = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
2. От t₁ = 10 c до t₂ = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
3. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

1. От t₁ = 20 c до t₂ = 30 с — с равномерным движением.
2. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с — с равнозамедленным движением.

• Для первого участка. Начальный момент времени t₁ = 20 c. Конечный момент времени t₂ = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
• Для второго участка. Начальный момент времени t₁ = 30 c. Конечный момент времени t₂ = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.

Записываем формулу искомой величины:

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁и s₂, а затем сложим их:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить