Уравнение равномерного прямолинейного движения кинематики

Равномерное прямолинейное движение

1. Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Слова «любые равные» означают, что за каждый час, за каждую минуту, за каждые 30 минут, за каждую секунду, за каждую долю секунды тело совершает одинаковые перемещения.

Равномерное движение — идеализация, поскольку практически невозможно создать такие условия, чтобы движение тела было равномерным в течение достаточно большого промежутка времени. Реальное движение может лишь приближаться к равномерному движению с той или иной степенью точности.

2. Изменение положения тела в пространстве при равномерном движении может происходить с разной быстротой. Это свойство движения — его «быстрота» характеризуется физической величиной, называемой скоростью.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную физическую величину, равную отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Если за время ​ \( t \) ​ тело совершило перемещение ​ \( \vec \) ​, то скорость его движения ​ \( \vec \) ​ равна ​ \( \vec=\frac<\vec>\) ​.

Единица скорости: \( [\,v\,]=\frac<[\,s\,]> <[\,t\,]>\) ; \( [\,v\,]=\frac<1\,м><1\,с>=1\frac<м> <с>\) . За единицу скорости принимается 1 м/с — скорость такого равномерного движения, при котором тело за 1 с совершает перемещение 1 м.

Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение за любой промежуток времени: \( \vec=\vect \) . Вектор скорости и вектор перемещения направлены в одну сторону — в сторону движения тела.

3. Поскольку основной задачей механики является определение в любой момент времени положения тела, т.е. его координаты, необходимо записать уравнение зависимости координаты тела от времени при равномерном движении.

Пусть \( \vec \) — перемещение тела (рис. 11). Направим координатную ось ОХ по направлению перемещения. Найдем проекцию перемещения на координатную ось ОХ. На рисунке ​ \( x_0 \) ​ — координата начальной точки перемещения, ​ \( x \) ​ — координата конечной точки перемещения. Проекция перемещения равна разности координат конечной и начальной точек: ​ \( \vec_x=x-x_0 \) ​. С другой стороны, проекция перемещения равна проекции скорости, умноженной на время, т.е. \( \vec_x=\vec_xt \) . Откуда ​ \( x-x_0=\vec_xt \) ​ или \( x=x_0+\vec_xt \) . Если начальная координата ​ \( x_0 \) ​ = 0, то ​ \( x=\vec_xt \) ​.

Полученная формула позволяет определить координату тела при равномерном движении в любой момент времени, если известны начальная координата и проекция скорости движения.

Проекция скорости может быть как положительной, так и отрицательной. Проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси ОХ (рис. 12). В этом случае ​ \( x>x_0 \) ​. Проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси ОХ (рис. 12). В этом случае \( x .

4. Зависимость координаты от времени можно представить графически.

Предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси ОХ с постоянной скоростью. Проекция скорости на ось ОХ равна 4 м/с. Уравнение движения в этом случае имеет вид: ​ \( x \) ​ = 4 м/с · ​ \( t \) ​. Зависимость координаты от времени — линейная. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 13).

Для того чтобы её построить, необходимо иметь две точки: одна из них ​ \( t \) ​ = 0 и ​ \( x \) ​ = 0, а другая ​ \( t \) ​ = 1 с, ​ \( x \) ​ = 4 м. На рисунке приведён график зависимости координаты от времени, соответствующий данному уравнению движения.

Если в начальный момент времени координата тела ​ \( x_0 \) ​ = 2 м, а проекция его скорости ​ \( v_x \) ​ = 4 м/с, то уравнение движения имеет вид: ​ \( x \) ​ = 2 м + 4 м/с · ​ \( t \) ​. Это тоже линейная зависимость координаты от скорости, и её графиком является прямая линия, проходящая через точку, для которой ​ \( t \) ​ = 0, ​ \( x \) ​ = 2 м (рис. 14).

В том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид: \( x \) ​ = 2 м – 4 м/с · ​ \( t \) ​. График зависимости координаты такого движения от времени представлен на рисунке 15.

Таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т.е. с помощью уравнения движения (уравнения зависимости координаты тела от времени), и графически, т.е. с помощью графика зависимости координаты тела от времени.

График зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения от времени представлен на рисунке 16.

5. Ниже приведён пример решения основной задачи кинематики — определения положения тела в некоторый момент времени.

Задача. Два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один со скоростью 15 м/с, другой — со скоростью 12 м/с. Определите время и место встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 270 м.

При решении задачи целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

1. Кратко записать условие задачи.
2. Проанализировать ситуацию, описанную в условии задачи:
   — выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;
   — сделать рисунок, изобразив на нём векторы скорости;
   — выбрать систему отсчёта — тело отсчёта, направления координатных осей, начало отсчёта координат, начало отсчёта времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.
3. Записать в общем виде уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.
4. Записать уравнение движения для каждого тела с учётом начальных условий и знаков проекций скорости.
5. Решить задачу в общем виде.
6. Подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.
7. Проанализировать ответ.

Применим эту последовательность действий к приведённой выше задаче.

Дано: ​ \( v_1 \) ​ = 15 м/с ​ \( v_2 \) ​= 12 м/с ​ \( l \) ​= 270 м. Найти: ​ \( t \) ​ – ? \( x\) ​ – ?

Автомобили можно считать материальными точками, поскольку расстояние между ними много больше их размеров и размерами автомобилей можно пренебречь

Система отсчёта связана с Землёй, ось ​ \( Ox \) ​ направлена в сторону движения первого тела, начало отсчёта координаты — т. ​ \( O \) ​ — положение первого тела в начальный момент времени.

Начальные условия: ​ \( t \) ​ = 0; ​ \( x_ <01>\) ​ = 0; \( x_ <02>\) = 270.

Уравнение в общем виде: ​ \( \vec=\vect \) ​; ​ \( x=x_0+v_xt \) .

Уравнения для каждого тела с учётом начальных условий: ​ \( x_1=v_1t \) ​; ​ \( x_2=l-v_2t \) ​. В месте встречи тел ​ \( x_1=x_2 \) ; следовательно: ​ \( v_1t=l-v_2t \) ​. Откуда ​ \( t=\frac\cdot t \) ​. Подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей: ​ \( x \) ​ = 150 м.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. Чему равна проекция скорости равномерно движущегося автомобиля, если проекция его перемещения за 4 с равна 80 м?

1) 320 м/с
2) 80 м/с
3) 20 м/с
4) 0,05 м/с

2. Чему равен модуль перемещения мухи за 0,5 мин., если она летит со скоростью 5 м/с?

1) 0,25 м
2) 6 м
3) 10 м
4) 150 м

3. Автомобиль «Рено» проезжает за 1 мин. путь 1,2 км. Автомобиль «Пежо» проезжает за 20 с путь 0,2 км. Сравните значения скорости «Рено» — ​ \( v_1 \) ​ и скорости «Пежо» — \( v_2 \) .

1) ​ \( v_1=v_2 \) ​
2) ​ \( v_1=2v_2 \) ​
3) \( 2v_1=v_2 \)
4) \( 1,2v_1=10v_2 \)

4. На рисунке приведена столбчатая диаграмма. На ней представлены значения пути, которые при равномерном движении пролетают за одно и то же время муха (1) и воробей (2). Сравните их скорости ​ \( v_1 \) ​ и \( v_2 \) .

1) ​ \( v_1=v_2 \) ​
2) ​ \( v_1=2v_2 \) ​
3) \( 3v_1=v_2 \)
4) \( 2v_1=v_2 \)

5. На рисунке приведён график зависимости модуля скорости равномерного движения от времени. Модуль перемещения тела за 2 с равен

1) 20 м
2) 40 м
3) 80 м
4) 160 м

6. На рисунке приведён график зависимости пути, пройденного телом при равномерном движении от времени. Модуль скорости тела равен

1) 0,1 м/с
2) 10 м/с
3) 20 м/с
4) 40 м/с

7. На рисунке приведены графики зависимости пути от времени для трёх тел. Сравните значения скорости ​ \( v_1 \) ​, \( v_2 \) и \( v_3 \) движения этих тел.

1) ​ \( v_1=v_2=v_3 \) ​
2) \( v_1>v_2>v_3 \) ​
3) \( v_1 ​
4) ​ \( v_1=v_2 \) , \( v_3

8. Какой из приведённых ниже графиков представляет собой график зависимости пути от времени при равномерном движении тела?

9. На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени. Чему равна координата тела в момент времени 6 с?

1) 9,8 м
2) 6 м
3) 4 м
4) 2 м

10. Уравнение движения тела, соответствующее приведённому в задаче 9 графику, имеет вид

1) ​ \( x=1t \) ​ (м)
2) \( x=2+3t \) (м)
3) \( x=2-1t \) (м)
4) \( x=4+2t \) (м)

11. Установите соответствие между величинами в левом столбце и зависимостью значения величины от выбора системы отсчёта в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ВЕЛИЧИНА
A) перемещение
Б) время
B) скорость

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА
1) зависит
2) не зависит

12. На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени. Какие выводы можно сделать из анализа графика? Укажите два правильных ответа.

1) тело двигалось все время в одну сторону
2) в течение четырёх секунд модуль скорости тела уменьшался, а затем увеличивался
3) проекция скорости тела все время была положительной
4) проекция скорости тела в течение четырёх секунд была положительной, а затем — отрицательной
5) в момент времени 4 с тело остановилось

Часть 2

13. Два автомобиля движутся друг за другом равномерно и прямолинейно: один со скоростью 20 м/с, другой — со скоростью 15 м/с. Через какое время второй автомобиль догонит первый, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 100 м?

Равномерное движение

Равномерное движение

Равномерное движение — движение вдоль прямой линии с постоянной (как по модулю, так и по направлению) скоростью. При равномерном движении пути, которые тело проходит за равные промежутки времени, также равны.

Для кинематического описания движения расположим ось OХ вдоль направления движения. Для определения перемещения тела при равномерном прямолинейном движении достаточно одной координаты Х. Проекции перемещения и скорости на координатную ось можно рассматривать, как алгебраические величины.

Пусть в момент времени t 1 тело находилось в точке с координатой x 1 , а в момент времени t 2 — в точке с координатой x 2 . Тогда проекция перемещения точки на ось OХ будет запишется в виде:

В зависимости от направления оси и направления движения тела эта величина может быть как положительной, так и отрицательной. При прямолинейном и равномерном движении модуль перемещения тела совпадает с пройденным путем. Скорость равномерного прямолинейного движения определяется по формуле:

v = ∆ s ∆ t = x 2 — x 1 t 2 — t 1

Если v > 0 , тело движется вдоль оси OX в положительном направлении. Иначе — в отрицательном.

Математическое описание равномерного прямолинейного движения

Закон движения тела при равномерном прямолинейном движении описывается линейным алгебраическим уравнением.

Уравнение движения тела при равномерном прямолинейном движении

x ( t ) = x 0 + v t

v = c o n s t ; x 0 — координата тела (точки) в момент времени t = 0 .

Пример графика равномерного движения — на рисунке ниже.

Здесь два графика, описывающих движение тел 1 и 2. Как видим, тело 1 во время t = 0 находилось в точке x = — 3 .

От точки x 1 до точки x 2 тело переместилось за две секунды. Перемещение тела составило три метра.

∆ t = t 2 — t 1 = 6 — 4 = 2 с

Зная это, можно найти скорость тела.

v = ∆ s ∆ t = 1 , 5 м с 2

Есть еще один способ определения скорости: из графика ее можно найти как отношение сторон BC и AC треугольника ABC.

v = ∆ s ∆ t = B C A C .

Причем, чем больше угол, который образует график с осью времени, тем больше скорость. Говорят также, что скорость равна тангенсу угла α .

Аналогично вычисления проводятся для второго случая движения. Рассмотрим теперь новый график, изображающий движение с помощью отрезков прямых. Это так называемый кусочно-линейный график.

Движение, изображенное на нем — неравномерное. Скорость тела меняется мгновенно в точках излома графика, а каждый отрезок пути до новой точки излома тело движется равномерно с новой скоростью.

Из графика мы видим, что скорость менялась в моменты времени t = 4 c , t = 7 с , t = 9 с . Значения скоростей также легко находятся из графика.

Отметим, что путь и перемещение не совпадают для движения, описываемого кусочно-линейным графиком. Например, в интервале времени от нуля до семи секунд тело прошло путь, равный 8 метрам. Перемещение тела при этом равно нулю.

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант. — 1973. — № 11. — С. 57-60.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант».

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:

где — перемещение, — скорость движения, t — время.

Движение материальной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в данной задаче принимается за неподвижное и называется телом отсчета. С ним связывается система координат; вместе с телом отсчета они образуют систему отсчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например ОХ. Тогда положение точки будет определяться его координатой х. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:

где x₀ — координата точки в момент времени t = 0.

Правильный выбор системы отсчета часто существенно облегчает решение задачи. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью υ₁ = 72 км/ч, видит встречный поезд, идущий со скоростью υ₂ = 31,4 км/ч, в течение 10 секунд. Определить длину встречного поезда.

За тело отсчета примем пассажира, а ось координат направим по направлению скорости встречного поезда. Величины скоростей υ₁ и υ₂ заданы относительно некоторой неподвижной системы отсчета, например земли. По отношению же к пассажиру, движущемуся со скоростью υ₁, встречный поезд имеет так называемую относительную скорость υ_2отн, которая равна

или в скалярной форме

Тогда искомая длина встречного поезда l равна

Задача 2. Рыбак плывет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он это обнаружил и, повернув назад, догнал шляпу в 5 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак, двигаясь вверх и вниз по реке, греб одинаково?

Свяжем систему отсчета с водой в реке, то есть со шляпой. Рыбак удаляется от шляпы и приближается к ней с одной и той же скоростью, следовательно, он догонит ее через полчаса после того, как обнаружил потерю, или через час после падения шляпы в воду. За это время шляпа относительно земли проплыла 5 км. Значит, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Равнопеременное прямолинейное движение

Если скорость материальной точки не постоянна, но в любые равные промежутки времени она изменяется на одну и ту же величину, то в этом случае говорят о равнопеременном движении. Движение называют равноускоренным, если скорость увеличивается, и равнозамедленным, если скорость уменьшается.

Для решения задач на эту тему достаточно знать уравнения для скорости и перемещения. В скалярной форме они записываются так:

Здесь υ₀ — начальная скорость точки, х₀ — начальная координата, а — ускорение, υ и х — соответственно скорость и координата точки в момент времени t. Величины υ₀, a, υ и х будем считать положительными, когда их направление совпадает с положительным направлением выбранной оси координат ОХ, отрицательными — в противном случае.

Начинать решение задачи полезно с краткой записи ее условия, по возможности полностью переводя задачу на язык условных обозначений. При этом надо следить за тем, чтобы единицы измерения всех величин были даны в одной и той же системе единиц. Все расчеты лучше проводить в общем виде, то есть в буквенных обозначениях, а численные значения подставлять в окончательный результат.

Решим следующие задачи.

Задача 3. Два велосипедиста едут друг другу навстречу: один из них, имея скорость 5,4 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,2 м/с 2 ; другой, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору с ускорением — 20 см/с 2 . Через сколько времени они встретятся?

Пусть начало координат совпадает с начальным положением первого велосипедиста, а положительное направление оси координат — с направлением его начальной скорости. Тогда краткая запись условия задачи будет выглядеть так:

υ₀₁ = 5,4 км/ч = 1,5 м/с

Запишем уравнения движения для каждого велосипедиста:

(1)

(2)

причем а₁ = а₂ по условию. В момент встречи

(3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), получим

На этом можно было бы закончить решение, но в данном случае следует убедиться в том, что полученный ответ имеет физический смысл. Для этого найдем скорость второго велосипедиста через 30 с после начала движения:

= –5 м/с + 0,2 м/с 2 • 30 с = 1 м/с.

Оказывается, что второй велосипедист к этому времени будет скатываться с горы, а не подниматься в гору. Очевидно, что данная задача составлена некорректно.

Задача 4. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением 2,45 м/с 2 . Через 8 секунд от начала движения из его гондолы выпадает предмет. Через сколько времени и с какой скоростью этот предмет упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Так как сначала предмет движется вместе с аэростатом, то через t₁ = 8 с он поднимется на некоторую высоту h₁ и будет иметь скорость υ₁ причем

и

Дальнейшее движение предмета можно описать по-разному.

Часто задачи такого типа решаются в два этапа. Сначала рассматривается замедленное движение предмета вверх до наибольшей высоты, затем — свободное падение на землю. Задача, однако, решается проще, если считать, что предмет одновременно участвует в двух независимых друг от друга движениях: он равномерно со скоростью υ₁ поднимается вверх и свободно падает. Свяжем систему отсчета с землей, а ось координат направим вверх. Тогда уравнение движения предмета с высоты h₁ до земли запишется так:

(t₂ — время движения предмета). Подставляя в это уравнение выражения для h₁ и υ₁, получим

Задача 5. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Когда оно достигло высшей точки подъема на высоте Н = 100 м от земли, из того же начального пункта и с той же начальной скоростью брошено второе тело. На какой высоте они встретятся? Какие они будут иметь скорости в момент встречи? С какой начальной скоростью были брошены тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рассмотрим сначала некоторые особенности движения тела, брошенного вертикально вверх. Это сложное движение является суммой двух простых — равномерного движения и свободного падения. Причем каждое движение происходит независимо от другого и от того, поднимается или опускается тело. Поэтому можно сказать, что время прохождения телом одного и того же участка пути вверх и вниз одно и то же и что скорости тела на некоторой высоте при движении вверх или вниз одинаковы по величине.

Покажем, например, что время подъема тела до максимальной высоты равно времени падения до начального положения и что конечная скорость по величине равна начальной скорости. Пусть начальная скорость тела равна υ₀. Запишем уравнения для скорости и координаты (начало координат свяжем с точкой бросания и ось координат направим вверх):

В точке максимального подъема υ = 0, поэтому

Теперь тело начинает свободно падать. Обозначим время падения t’, а конечную скорость υ’ и запишем уравнения для свободного падения

Теперь вернемся к нашей конкретной задаче. Согласно сказанному выше, время подъема второго тела до высоты h (рис. 1), равное времени падения первого тела с высоты H — h, составляет половину времени свободного падения первого тела с высоты Н до земли, то есть

Скорости тел в момент встречи одинаковы по величине и равны

Начальная скорость .

В заключение рассмотрим задачу на построение графиков.

Задача 6. Дан график зависимости скорости движения тела от времени (рис. 2, а). Построить графики ускорения, перемещения и пути.

Прежде всего, посмотрим, как движется тело в различные моменты времени. Из графика скорости видно, что на первом этапе (от 0 до t₁) тело движется равноускоренно; на втором (от t₁ до t₂) — равнозамедленно; на третьем (от t₂ до t₃) — равноускоренно, но в обратном направлении; на четвертом (от t₃ до t₄) — равнозамедленно; на пятом (от t₄ до t₅) — равноускоренно в первоначальном направлении и т. д. Графики зависимости ускорения, перемещения и пути от времени показаны на рисунках 2, б, в и г соответственно.

1. По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский — длиной 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длиной 400 м со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пассажирский поезд будет обгонять товарный?

2. Замыкающий колонны войск, растянувшейся на 2,5 км и идущей со скоростью 5 км/ч, послал мотоциклиста с извещением командиру, находящемуся во главе колонны. Командир принимал извещение и писал ответ, стоя на обочине дороги, в. течение трех минут. Определить среднюю скорость мотоциклиста, если он вернулся к замыкающему через 9 мин 27 с.

3. Два велосипедиста едут навстречу друг другу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,30 м/с 2 ; другой, имея скорость 36 км/ч, поднимается с ускорением —0,20 м/с 2 . Каково было расстояние между велосипедистами в начальный момент, если они встретились через 0,5 минуты? При какой наибольшей длине горы задача имеет решение?

4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд после начала падения первого тела удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Вертолет поднимается вверх со скоростью 10 м/с. На высоте 100 м из него выбрасывается вверх предмет со скоростью 2 м/с относительно вертолета. Найти наибольшую высоту, которой достигнет предмет, а также через сколько времени и с какой скоростью предмет упадет на землю.

6. Тело бросают вверх со скоростью 20 м/с. Какова высота точки, которую тело проходит дважды с промежутком 3 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Дан график зависимости ускорения от времени (рис. 3). Построить график зависимости величины перемещения от скорости.