Равноускоренное движение: формулы, примеры
Равноускоренное движение
Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.
Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.
Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.
Формулы для равноускоренного движения
Формула для скорости при равноускоренном движении:
Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.
Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.
Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.
a = v — v 0 t = B C A C
Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.
Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .
Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .
По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?
Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .
Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .
Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.
Закон равноускоренного движения
y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.
Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:
s = v 2 — v 0 2 2 a .
По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:
v = v 0 2 + 2 a s .
При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Равноускоренное движение.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение — это движение с постоянным вектором ускорения . Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.
Зависимость скорости от времени.
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.
Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
В нашем случае имеем . Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор ? Разумеется, функцию . Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,
Каков смысл константы ? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Поэтому, полагая в формуле (2) , получим:
Итак, константа — это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:
В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:
Формула для третьей компоненты скорости, если она необходима, выглядит аналогично.)
Закон движения.
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:
Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3) :
Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6) . Это несложно. Чтобы получить , надо продифференцировать функцию . Чтобы получить , нужно продифференцировать . Не забудем добавить и произвольную константу :
Ясно, что — это начальное значение радиус-вектора в момент времени . В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
Формулы (8) — (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Снова вернёмся к закону движения (7) . Заметим, что — перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:
Прямолинейное равноускоренное движение.
Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось . Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:
где — проекция перемещения на ось .
Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:
и подставим в формулу для перемещения:
После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:
Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
Свободное падение.
Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.
Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения , направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают м/с .
Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи км.
Решение. Направим ось вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой
Имеем: — искомая скорость приземления, . Получаем: , откуда . Вычисляем: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с. Найти его скорость через c.
Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
Здесь , так что . Вычисляем: м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задача. С балкона, находящегося на высоте м, бросили вертикально вверх камень со скоростью м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
Имеем: так что , или . Решая квадратное уравнение, получим c.
Горизонтальный бросок.
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты . Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат так, как показано на рис. 1 .
 |
| Рис. 1. Горизонтальный бросок |
В нашем случае . Получаем:
Время полёта найдём из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:
Дальность полёта — это значение координаты в момент времени :
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11) . Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:
Получили зависимость от , которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
Бросок под углом к горизонту.
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат так, как показано на рис. 2 .
 |
| Рис. 2. Бросок под углом к горизонту |
Начинаем с уравнений:
В нашем случае . Получаем:
Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость от снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:
Векторные уравнения в кинематике
Как известно, при равноускоренном движении зависимости скорости \(\overrightarrow \upsilon\) и перемещения \(\overrightarrow S\) тела от времени задаются формулами
\[\overrightarrow \upsilon = \overrightarrow <<\upsilon _0>> + \overrightarrow a t\;\;\;\;(1)\]
где начальная скорость \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) и ускорение тела \(\overrightarrow a\) — не зависящие от времени векторы.
Упражнение 1. Из формул (1) и (2) получите следующие выражения:
\[\overrightarrow S = \frac<<\overrightarrow <<\upsilon _0>> + \overrightarrow \upsilon >><2>t\]
\[ <\upsilon ^2>– \upsilon _0^2 = 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow S\;\;\;\;(3)\]
Упражнение 2. Убедитесь, что из формулы (2) после дифференцирования по времени получается выражение (1).
Среди всевозможных случаев равноускоренного движения особое место занимает свободное падение тел в поле тяжести. Решение большинства задач на эту тему сводится, как правило, к применению формул (1), (2) и (3). На этом примере мы и рассмотрим основные методы работы с векторными уравнениями.
Задача 1
Тело, брошенное с поверхности земли под углом \(\alpha\) к горизонту, упало на расстоянии \(L\) от места броска. Определите время полета тела.
Рисунок 1
Решение 1. Выберем оси координат \(X\) и \(Y\) так, как показано на рисунке 1, и запишем векторное уравнение (2) в проекциях на эти оси:
Пусть \(\tau\) — искомое время полета. Из условия задачи следует, что при \(t = \tau\) тело имеет координаты \(X = L\) и \(Y = 0\). Уравнения (4), записанные для момента падения тела, дают систему из двух уравнений с двумя неизвестными
Отсюда, исключив \(\upsilon_0\), находим
Мы решили задачу стандартным методом, который можно назвать «проектированием на оси». С его помощью векторное уравнение сводится к системе скалярных, которая затем решается обычным образом. Именно так абитуриенты обычно и решают подобные задачи, однако при ответе даже несложные вопросы зачастую ставят их в тупик. Например, такие:
1) Какая разница между системами уравнений (4) и (5)?
2) Почему из трех уравнений (1) — (3), описывающих равноускоренное движение, для проектирования выбрано второе?
3) Почему именно так направлены оси координат?
Упражнение 3. Прежде чем читать ответы, подумайте, как бы вы ответили на эти вопросы.
Вы, конечно же, решали задачи с числовыми данными и знаете, что обычно требуется сначала получить буквенный ответ, или, как принято говорить, ответ в общем виде, а потом подставить в него числа. Понятно, что в буквенном ответе содержится несоизмеримо больше информации, чем в числовом. Так вот, система (4) находится примерно в таком же отношении к системе (5), как и буквенный ответ к числовому. Так, если первая система верна всегда, т. е. из нее можно найти координаты тела в любой момент времени, то вторая верна только для момента падения тела.
По поводу второго вопроса заметим, что три изменяющиеся со временем величины \(\overrightarrow \upsilon\), \(\overrightarrow S\) и \(t\) в уравнения (1) — (3) входят парами. В нашей задаче известна дальность \(\left( <\overrightarrow S >\right)\), а найти нужно время \(\left( t \right)\), поэтому мы и выбрали уравнение с парой \(\overrightarrow S\), \(t\), т. е. второе.
Упражнение 4. Как нужно переделать условие задачи, чтобы она решалась с помощью уравнений (1) или (3)?
Заметим, что эти соображения легко переносятся на задачи из любого раздела физики. Ведь все встречающиеся в задаче величины можно разбить на три группы: известные величины; неизвестные величины, которые необходимо найти; неизвестные величины, которые не требуется находить. Ясно, что если в формулы не входят первые два типа, то задачу не решить, а вот от третьих желательно по возможности избавиться.
Что касается третьего вопроса, то вы, наверное, посчитаете его глупым и скажете, что, конечно же, именно эти оси координат самые удобные. Вообще в такой задаче мысль направить оси куда-нибудь еще выглядит крамольной. И это легко обосновать. Действительно, естественно считать метод удобнее, если он позволяет получить ответ при меньшем количестве вычислений. В этом смысле наибольшие неприятности в уравнении (2) сулит член \(\frac<<\overrightarrow g
Рисунок 2
Решение 2. Направим ось \(Z\) перпендикулярно начальной скорости \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) (рис. 2). В проекциях на эту ось вместо уравнения (2) получим
При \(t = \tau\) \(z = L\sin \alpha\). Отсюда получаем ответ:
Это решение стало возможным потому, что величина третьего типа (по нашей классификации) \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) — векторная, и от нее можно избавиться удачным выбором оси координат, получив тем самым одно уравнение с одним неизвестным.
Впрочем, можно вообще обойтись без всяких осей…
Рисунок 3
Решение 3. Формула (2) утверждает, что при равноускоренном движении вектор перемещения тела в любой момент времени равен сумме векторов \(\overrightarrow <<\upsilon _0>> t\) и \(\frac<<\overrightarrow g
Рисунок 4
«Нарисуем» формулу (2) для момента падения тела \(\tau\) (рис. 4). Из получившегося прямоугольного треугольника легко найдем
Рисунок 5
Упражнение 5. Тело бросают под углом \(\beta\) к горизонту со склона горы, наклоненной под углом \(\alpha\) к горизонту. Тело упало на расстоянии \(L\) от места броска. 1) Напишите уравнения движения тела (уравнение (2)) в проекциях на оси 1—5 (рис. 5) для момента падения тела на склон горы. 2) Выберете любые два из этих уравнений и покажите, что оставшиеся можно получить из этих двух. 3) Для каждого из полученных уравнений придумайте задачу, в которой это уравнение сразу приводит к цели.
Задача 2
На гладкую неподвижную наклонную плоскость с углом наклона \(\alpha\) налетает стальной шарик под углом \(\beta\) к плоскости (рис. 6). При каких значениях \(\beta\) шарик сможет вернуться в точку его первого удара о плоскость? Все соударения считать упругими.
Рисунок 6
Ограничимся одним — наиболее разумным, с нашей точки зрения, решением этой задачи.
Решение. Движение шарика в целом в этом случае не является равноускоренным из-за ударов о плоскость. Однако в промежутках между ударами шарик движется под действием только силы тяжести и, следовательно, равноускоренно. Поэтому для каждого промежутка можно использовать формулы (1) — (3), правда для этого всякий раз нам придется искать начальную скорость.
Как известно, при упругом ударе составляющая скорости шарика, параллельная плоскости, не изменяется, а перпендикулярная плоскости составляющая лишь меняет знак, также не изменяясь по величине. Тогда, зная скорость шарика \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\) перед первым ударом, найдем скорость после этого удара и подставим ее в формулу (2) для первого участка равноускоренного движения. Затем по формуле (1) найдем скорость шарика перед вторым ударом, и т. д. Другими словами, формулы (1) — (3) плюс условия упругого удара полностью определяют движение шарика.
Рисунок 7
Осталось только определиться с выбором осей. Если, по традиции, направить оси горизонтально и вертикально, то мы, конечно, выиграем при написании уравнений движения для отдельных участков (так как проекция шарика на горизонтальную ось движется равномерно), но зато очень сложными станут условия отскока шарика. Поэтому направим оси \(X\) и \(Y\) так, как показано на рисунке 7, и запишем уравнение (2) в проекциях на эти оси:
Шарик ударится о плоскость второй раз, когда координата \(y\) станет равна нулю (еще одно преимущество выбранных нами осей). Решив уравнение
найдем, что второй удар произойдет через время
Чтобы найти скорость шарика перед вторым ударом (т. е. через время \(\tau\)), запишем в проекциях на наши оси уравнение (1):
Подставляя \(t = \tau = \frac<<2<\upsilon _<0y>>>><< –
Рисунок 8
Ответить на вопрос задачи теперь удобнее всего, нарисовав друг под другом графики зависимости координат шарика от времени (рис. 8). Шарик вернется в ту же точку, если в некоторый момент \(x = y = 0\), что может быть, только если \(T = n\tau\), где \(n\) — целое число. Итак,
Интересно, что при четных и нечетных \(n\) шарик ведет себя несколько по-разному. При четных \(n\) средний удар шарика (всего ударов \(n + 1\)) происходит перпендикулярно плоскости, и шарик возвращается обратно по той же траектории. Если же \(n\) нечетно, то после половины ударов шарик летит вертикально вверх, падает обратно и также возвращается, повторяя весь пройденный путь.
Задача 3
В область пространства, где создано горизонтальное электрическое поле с напряженностью \(\overrightarrow E\), запускают шарик, масса которого \(m\), а заряд \(q\), со скоростью \(\overrightarrow <<\upsilon _0>>\), направленной вертикально вверх. Какова минимальная скорость шарика в процессе движения?
Вас не удивило присутствие здесь «электрической» задачи? Нет? И правильно, эта задача, конечно же, имеет прямое отношение к кинематике.
Обсудим два решения.
Рисунок 9
Решение 1. На шарик в полете действуют две постоянные силы: сила тяжести \(m\overrightarrow g\) и электрическая сила \(\overrightarrow E q\) (рис. 9). По второму закону Ньютона ускорение шарика постоянно и равно
Рисунок 10
На рисунке 10 показано, как изменяется со временем вектор скорости шарика («нарисована» формула (1)). Ясно, что минимальной скорость будет через время
и ее величина будет равна
Если вам хочется побольше формул, можно сделать по-другому.
Рисунок 11
Решение 2. Направим оси координат перпендикулярно и параллельно ускорению (рис. 11) и запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:
(Сравните co свободным падением тела, брошенного под углом к горизонту.) Так как оси перпендикулярны,
Так как \(<\left( <<\upsilon _0>\sin \alpha – at> \right)^2> \geq 0\),
Подставляя сюда выражение для \(\cos \alpha\), получим прежний ответ.
Если вы располагаете большим количеством свободного времени и чистой бумаги, убедитесь, что при другом выборе осей решение, мягко говоря, проще не становится.
Задачи для самостоятельной работы
- Шарик свободно падает с высоты \(H\) на наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha\) с горизонтом (рис. 12). Найдите отношение расстояний между точками, в которых подпрыгивающий шарик касается наклонной плоскости. Соударения шарика с плоскостью считать абсолютно упругими.
Рисунок 12
- Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если время их полета \(\tau\)? Угол наклона горы к горизонту \(\beta\), миномет стреляет под углом \(\alpha\) к горизонту.
- Со стола высотой \(H\) сбрасывают упругий шарик, сообщая ему некоторую горизонтальную скорость. В момент, когда шарик испытывает одно из бесчисленных упругих соударений с полом, с того же стола горизонтально сбрасывают другой шарик, сообщая ему такую скорость, чтобы он столкнулся с первым шариком. На какой высоте произойдет встреча?
- Электрон влетает в плоский конденсатор, параллельно его пластинам, со скоростью \( <\upsilon _0>= 2 \cdot <10^6>\) м/с. Найдите модуль скорости электрона в момент его вылета из конденсатора. Напряженность поля в конденсаторе \(E = 100\) В/м, длина пластин \(L = 8\) см, заряд электрона \(e = 1,6 \cdot <10^< – 19>>\) Кл, его масса \(m = 9,1 \cdot <10^< – 34>>\) кг.
Источник: Журнал “Квант”, №2 1991 г. Автор: Д. Александров.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/ravnouskorennoe-dvizhenie/
http://easyfizika.ru/articles/vektornye-uravneniya-v-kinematike/