Уравнение равновесия для якорной цепи

3.2. ЯКОРНАЯ ЦЕПЬ ДВИГАТЕЛЯ

Силовая цепь электромеханического преобразования энергии включает полупроводниковый преобразователь U, электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением M и промежуточную передачу механического движения рабочему органу механизма.

Полупроводниковый преобразователь в цепи якоря рассматривается как управляемый эквивалентный генератор ЭДС с внутренним активным сопротивлением и внутренней индуктивностью, не зависящими от нагрузки преобразователя. Ток нагрузки считается непрерывным; пульсирующие составляющие ЭДС и тока нагрузки преобразователя не учитываются.

Питающая сеть считается бесконечно мощной, т.е. связанные с изменением нагрузки колебания напряжения питания преобразователя отсутствуют. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением представляется в виде генератора противо-ЭДС с внутренним активным сопротивлением и индуктивностью, не зависящими от нагрузки. Влияние реакции якоря на возбуждение двигателя не учитывается.

Механическая часть рассматривается как абсолютно жесткая приведенная одномассовая система с постоянной величиной момента инерции. Предполагается, что момент статического сопротивления механизма содержит в общем случае реактивную и активную составляющие.

При построении математической модели силовой части приняты следующие условные обозначения параметров и сигналов :

К _п – коэффициент усиления силового полупроводникового преобразователя в цепи якоря двигателя;

R _я – суммарное активное сопротивление цепи якоря электропривода;

L _я — суммарная индуктивность цепи якоря электропривода;

Т_я = L _я / R _я — электромагнитная постоянная времени цепи якоря;

Т_м = J R _я /(CФ) 2 — электромеханическая постоянная времени электропривода;

J — суммарный момент инерции механической системы;

С — конструктивная постоянная двигателя;

Ф — магнитный поток возбуждения двигателя;

U_у — управляющий сигнал на входе преобразователя;

Е_п – ЭДС полупроводникового преобразователя;

Е_пм – максимальная ЭДС преобразователя;

Е_д – противо -ЭДС якоря двигателя;

I_я – ток якоря двигателя;

М – электромагнитный момент двигателя;

Ώ – угловая скорость вращения якоря двигателя;

θ – угол поворота вала двигателя;

М_с – момент статического сопротивления механизма;

М_а – активная составляющая момента сопротивления механизма;

М_р – модуль реактивной составляющей момента сопротивления при движении механизма;

М_тр— модуль реактивной составляющей момента сопротивления при трогании механизма.

При этих условиях и допущениях математическая модель главной цепи электропривода описывается следующими уравнениями:

Первое уравнение описывает характеристику преобразователя как безынерционного управляемого источника питания в цепи якоря двигателя. Второе – это уравнение электрического равновесия цепи якоря. Последующие уравнения описывают связи электрической части с механической и движение последней.

Отметим существенную особенность моделирования нагрузки на валу элекродвигателя. Момент статического сопротивления механизма целесообразно представить как нелинейную функцию четырех переменных

Эта функция математически может быть выражена следующим образом

Вспомогательная нелинейная функция определяет полный момент сопротивления механизма в состоянии покоя (Мс=0). Здесь же дано условие трогания в случае превышения совокупности активных состовляющих момента (т.е. способных вызвать движ
ение механизма) М и нагрузки М_а над величиной реактивного момента трогания М_тр, обусловленного силами трения и неупругой деформации.

Очень часто параметры и переменные состояния электропривода представляются в относительных единицах. Общая формула перехода к относительным единицам имеет вид:

где Х — значение физической величины (параметра, воздействия, переменной состояния и др.) в исходной системе единиц; Х₆ — базисное значение, выраженное в той же исход

ной системе и принятое в качестве единицы измерения величины Х в системе относительных единиц; х – значение величины в системе относительных единиц.

За основные базисные величины для силовой части обычно принимают:

U_б = Е_Я._Н — номинальная ЭДС якоря двигателя;

I_б=I_ЯН — номинальный ток якоря двигателя;

Ф_б = Ф_Н — номинальный поток возбуждения;

Ώ₆ = Ώ_Н — номинальная скорость двигателя;

М_б = М_Н — номинальный электромагнитный момент двигателя.

Производные базисные величины:

Θ = Ώ_б Т_б – базисный угол поворота вала двигателя.

Для регулирующей части электропривода вводится собственная система базисных величин, соизмеримых с уровнями рабочих напряжений и токов элементов регулирующей части:

U _{б р} = U _{б р} / I _б.р – базисное сопротивление.

Уравнения модели записанные в системе относительных единиц будут иметь вид:

В приведенных уравнениях относительные переменные определяются как:

Отметим, что в дифференциальных уравнениях модели аргумент t выражен не в относительных, а в физических единицах. Это дает возможность изображать процессы в реальном времени и оперировать со следующими временными константами: Т_Я и Т_j..

Первая константа представляет собой электромагнитную постоянную времени цепи якоря, а вторая – механическую постоянную времени электропривода. Эти константы характеризуют скорость протекания переходных процессов соответственно в главной цепи системы «преобразователь – двигатель» и в механической системе «электродвигатель – механизм». В частности, величина численно равна времени разгона механизма от состояния покоя до номинальной скорости под действием постоянного динамического момента, равного номинальному электромагнитному моменту двигателя.

Электромеханическая постоянная времени связана с механической постоянной времени соотношением

Структурная схема, соответствующая приведенным уравнениям показана на рис 3.1.

Рис. 3.1. Математическая модель силовой части электропривода

Представленная математическая модель характеризует силовую цель электропривода постоянного тока в общем случае как нелинейную систему с внутренней обратной связью по ЭДС. Модель приемлема для описания процессов, как при постоянном, так и при переменном возбуждении двигателя. В последнем случае она должна быть дополнена моделью цепи возбуждения.

Основные уравнения двигателя постоянного тока (ДПТ)

В этой статье описаны основные формулы, величины и их обозначения которые относятся ко всем двигателям постоянного тока.

В результате взаимодействия I_я тока якоря в проводнике L обмотки якоря с внешним магнитным полем возникает электромагнитная сила создающая электромагнитный момент М который приводит якорь во вращение с частотой n.

Противо ЭДС двигателя E_я

При вращении якоря пазовый проводник пресекает линии поля возбуждения с магнитной индукцией B и в соответствии с явлением электромагнитной индукции в проводнике наводится ЭДС E_я направленная навстречу I_я. Поэтому эта ЭДС называется противо ЭДС и она прямо пропорциональна Ф магнитному потоку и частоте вращения n.

C_e — постоянный коэффициент определяемой конструкцией двигателя.

Применив второй закон Кирхгофа получаем уравнение напряжения двигателя.

где ∑R — суммарное сопротивления обмотки якоря включающая сопротивление :

• обмотки якоря
• добавочных полюсов
• обмотки возбуждения (для двигателей с последовательным возбуждением)

Ток якоря I_я

Выразим из формулы 2 ток якоря.

Частота вращения якоря

Из формул 1 и 2 выведем формулу для частоты вращения якоря.

Электромагнитная мощность двигателя

Электромагнитный момент

где: ω = 2*π*f — угловая скорость вращения якоря, C_м — постоянный коэффициент двигателя (включает в себя конструктивные особенности данного двигателя)

Момент на валу двигателя, т.е. полезный момент, где М₀ момент холостого хода;

Уравнение электрического равновесия для якорной цепи в двигательном режиме

Уравнение электрического равновесия для якорной цепи

в двигательном режиме.

Uя – напряжение, приложенное к якорю,

E – ЭДС двигателя,

Rя – омическое сопротивление якоря.

Rц – полное сопротивление цепи

Rн – электрический резистивный эквивалент полезной механической нагрузки на валу двигателя.

Е = Keω – ЭДС пропорциональна круговой циклической частоте вращения вала.

М = KmIя – момент на валу двигателя пропорционален току.

Ke, Km – коэффициенты, определяемые конструкцией двигателя.

Рполн = Рнагруз + Рпотерь

Где: Рполн = UяIя; – полная мощность.

Рнагруз = EIя; – механическая нагрузка на валу двигателя.

Рпотерь =(Iя)2Rя; – потери на нагрев якоря.

Рнагруз = EIя,

Из механики : Рнагруз = ωМ – механическая нагрузка на валу двигателя,

тогда: EIя = ωМ;

или: Keω Iя = ωМ,

М = KeIя,

М = KmIя,

Ke = (NФ)/(2пи), где N – количество активных проводников ротора,

Ф – магнитный поток

Выведем дополнительную формулу определения Rя при условии постоянного Uя = Udc и двух разных моментах на валу:

Из уравнения Uя = E + IяRя

напишем: E = Uя — IяRя

или: Keω = (Uя — IяRя)

пусть: ω1 = (Uя — Iя1Rя)/Ke

ω2 = (Uя — Iя2Rя)/Ke

тогда: dω = ω2 – ω1 = (- Iя2Rя)/Ke — (- Iя1Rя)/Ke

dω = dIяRя/Ke

dЕ = dIяRя

Обороты двигателя при рабочем моменте М можно определить как:

Рполн = Рнагруз + Рпотерь

UяIя = EIя + (Iя)2Rя

UяM/Km = ωM + Rя(M/Km)2,

ωM = UяM/ Km — Rя(M/Km)2

Uя/Km = ω0 (при М = 0) ω = Uя/Km — RяM(1/Km)2

ω = ω0 — |dE/dIя|M(1/Km)2

ω = ω0 — |dωKm /dIя|M(1/Km)2

ω = ω0 — |dω/dM|M

ω – круговая циклическая частота вращения вала двигателя (рад/сек),

ω0 – обороты двигателя на холостом ходу при полном моменте на валу равном нолю

(dω/dM)M — есть абсолютное значение изменения оборотов при моменте М.

Определим величину граничных ω0i оборотов при любом звене питания Udci и любом изменении момента M от ноля до Mi, после приложения которого, машина полностью останавливается.

Исходя из постановки вопроса, формально зададим, что ω = 0,

ω0i = (dω/dM)M,

ω0i = <(dE/Ke)/(KmdIя)>KmIя,

dE – приращение ЭДС

dE/dIя = Rя – сопротивление якоря,

ω0i = Iя(Rя/Ke)

Также из Uя = E + Iя*Rя можно определить Udc — напряжение питания якоря, при моменте М и заторможенном двигателе (Е = 0).

Uя = Udc = IяRя

На Рис.1 показана статическая (при определённом Udc) механическая характеристика двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

На Рис.2 показано семейство статических механических характеристик

двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при разных напряжениях питания.