Уравнение разность квадратов 7 класс

Разность квадратов двух выражений

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений :

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать:

Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106\cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200\cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1\cdot0,462 = 0,462 $

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Формулы сокращённого умножения.
2. Разность квадратов.
3. Разложение многочлена на множители.
4. Тождественные преобразования.
5. Вычисление значения числовых выражений.

• упрощение умножения многочленов;

• разложение многочлена на множители;

• вычисление значения числового выражения;

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы знаете формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну формулу и покажем её справедливость, применив это правило.

Формула разности квадратов.

Получено равенство, которое называют формулой разности квадратов.

Формулу разности квадратов используют:

• для упрощения умножения многочленов;

• для разложения многочлена на множители;

• для упрощения вычислений.

На рисунке выделена красным контуром, состоит из желтого и зеленого прямоугольников.

Площади составлены из одинаковых прямоугольников, значит, они равны.

Для преобразования выражений используют тождество:

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Вычисление значений числовых выражений.

В первом случае вы, вероятно, находили квадрат числа умножением в столбик, во втором случае устно.

Урок на тему: «Формула разности квадратов» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Формула разности квадратов ( из Стандарта)

Цель: выработать умение применять формулу разности квадратов для тождественных преобразований выражений (раскладывать многочлены на множители; применять формулу для вычислений).

Из Стандарта основного общего образования:

· Как используются математические формулы;

· Примеры их применения для решения математических задач;

· Выполнять расчеты по формуле;

· Выполнять разложение многочленов на множители.

1. Организовать деятельность учащихся на самостоятельный вывод формулы разности квадратов.

2. Способствовать развитию познавательного интереса учащихся.

3. Способствовать развитию умения анализировать, обобщать, делать выводы, развивать математическую речь обучающихся (устную и письменную); формировать навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

4. Способствовать выработке умению анализировать проделанную работу и адекватно её оценивать.

Тип урока : урок изучения но вого материала

Методы : объяснительно — ил люстративный , частично — поиско вый .

Формы урока : индивидуаль ная , фронтальная , групповая .

1. Оргмомент . Настрой уча щихся на урок .

2. Актуализация знаний .

3. Изучение нового материа ла :

· запись формулы справа на лево ;

4. Подведение итогов урока .

5. Домашнее задание , оцен ка за урок .

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил:

«Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!».

II этап Постановка проблемы

Учитель : На доске записаны 3 примера:

79*81
102*98
1003*997

— Сможете ли вы найти произведения данных чисел быстро, не используя вычисления в столбик или на калькуляторе? (пауза) Я могу сразу назвать ответы ко всем примерам. А как я это смогла сделать, и какой рациональный способ при этом применила, хотели бы узнать сегодня на уроке?

— Как вы думаете, чем я воспользовалась, чтобы быстро так сосчитать (законы, формулы)

Формулировка темы урока «Формула разности квадратов»

Девиз урока :

«Не бойтесь формул!
Учитесь владеть этим инструментом Человеческого гения!
В формулах заключено величие и могущество разума…»
Марков А.А.

(Открываем тетради, записываем число 11.04, классная работа, тему урока)

III этап Постановка цели обучающимися

— Кто может сказать, какую из целей мы будем достигать на уроке?

— Как ты понял данную цель? Объясни её смысл.

— Как будем проверять, достигли ли цели?

ИНСТРУКЦИЯ (для обучающегося)

Определение целей учения на занятие.

Сегодня на уроке я хочу

IV этап Актуализация

Учитель: Для достижения цели, сначала вспомним то, что уже знаем:

— с какими выражениями вы работаете на уроках в последнее время? (предполагаемый ответ – одночлены, многочлены)

— Какие действия вы умеете выполнять с многочленами и одночленами? (предполагаемый ответ-сложение, вычитание, возведение в степень, умножение, деление).

— Приведите примеры одночленов;

— Что такое многочлен?

— Как умножить многочлен на многочлен?

— Прокомментируйте умножение (3 – в)(х + 4)

— Что значит возвести выражение в квадрат? 6 2 =? ; (5в) 2 =?

На доске записано задание для устной работы:

Учитель . Прочитайте выражение

Учитель : Математический диктант ( в тетради)

I Вариант II Вариант

1. Возведите в квадрат выражения:

2. Квадрат какого выражения равен

(…) 2 = 16x 2 ; (…) 2 = 49y 2 ;

(…) 2 = 0,04b 6 ; (…) 2 = 0,09c 4

Поменяйтесь с соседом тетрадями, возьмите в руки карандаши и проверьте м.д.

Оцените: 0 ош. Оценка «5»

Более 3 ош. Оценка «2»

V этап «Открытие» новых знаний с помощью исследовательской работы.

— Ребята, давайте проведём исследование

Цель работы: Установить, чему равно произведение разности двух выражений и их суммы.

Одни учащиеся находят значения выражений

— Вычислите левую часть и правую часть

(6 – 4) • (6 + 4) и 6 2 – 4 2 ,

(9 + 3) • (9 – 3) и 9 2 – 3 2 ,

(2 – 8) • (8 + 2) и 2 2 — 8 2 .

В результате учащиеся получают, что

(6 – 4) • (6 + 4) = 6 2 – 4 2 ,

(9 + 3) • (9 – 3) = 9 2 – 3 2 ,

(2 – 8) • (8 + 2) = 2 2 — 8 2 .

Другие учащиеся записывают произведение следующих многочленов и, используя правило умножения многочлена на многочлен, упрощают их

Учитель . Какую закономерность вы заметили? (вопрос к 1 группе обучающихся)

Далее ученики анализируют результаты наблюдений и выдвигают гипотезу: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Учитель. А что нам скажут учащиеся другой группы?

Ученики. Используя правило умножения многочлена на многочлен имеем, что

(a – b) • (a + b) = a 2 – ab + ab – b 2 = a 2 – b 2 .

Итак, гипотеза доказана.

Учитель . А теперь сформулируйте полученное правило.

Ученики проговаривают соответствующее правило.

Учитель . Как вы знаете правило, записанное с помощью букв, называется формулой.

Вывод: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Запишите новую формулу в тетрадь как с помощью переменных, так и с помощью условных знаков.

Учитель . Оказывается, еще в древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. А вы сегодня сами сумели вывести эту формулу, которая так и называется формулой сокращенного умножения. Ну, а теперь вы сможете догадаться, какой способ я использовала при решении этих примеров?

Учитель показывает на доске решение одного из примеров с помощью учащихся:

Остальные примеры доделаете дома.

Рассмотрим пример, раскройте скобки с помощью этой формулы:

(9 – m )(9+ m ) = 9 2 – m 2

(4а+1)(4а-1) = (4а) 2 – 1 2 =16а 2 – 1.

Как вы думаете, важен ли порядок множителей в произведении? Почему?

Поэтому, когда мы работаем с формулой важно обращать внимание на разность выражений .

VI этап Физкультминутка .

Быстро встали, улыбнулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.

Учитель . А теперь в формуле сокращенного умножения поменяем местами правую и левую часть: а 2 — b 2 =(a-b)(a+b).

Как вы думаете, для чего нам понадобится эта формула в этом виде?

Учащиеся дают варианты ответов.

Учитель . Эта формула применяется при разложении многочлена на множители и называется формулой разности квадратов.

Запишите формулу в своих тетрадях как с помощью переменных, так и с помощью условных знаков.

a 2 — b 2 =( a — b )( a + b )

Ребята, откройте, пожалуйста, учебник на странице 217, проверим, так ли мы сделали, правильный ли сделали вывод?

Приведите пример с применением данной формулы:

10 2 – 5 2 = (10 – 5)(10+5)

x 2 – y 2 = ( x — y )( x + y )

VII этап Первичное закрепление

— Устно. Выполните умножение.

— Разложите на множители.

VIII этап Проверочная работа

Вариант 1 Вариант 2

1. Выполните умножение:

( c + a )( c — a ) (у-х)(у+х)

2. Разложите на множители:

3. Разложите на множители:

64х 2 -36у 2 9х 2 -0,49у 2

0,04х 2 -у 2 0,09 a 2 — 9b 2

4. Вычисли , используя формулу разности квадратов

54² — 46² 76 2 — 34 2 ;

Учитель : Все постарались, кто как мог, подведём всему итог.

Чем мы занимались на уроке?

1) Начните ваш ответ словами: Мне удалось

2) Соотнесите результаты вашей работы с поставленными целями.

Вопросы в помощь:

Достигли вы поставленной цели?

Если да, то что способствовало этому? Если нет, то что мешало?

Какого рода трудности испытываете?

Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства Храма. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»

— Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

— Кто возил камни? (подним. жёлтые жетоны)

— Кто добросовестно работал? (подним.синие жетоны)

— Кто строил храм? (подним.красные жетоны)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 260 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Формула разности квадратов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 07.02.2021
• 260
• 20

• 07.02.2021
• 298
• 24

• 07.02.2021
• 325
• 38

• 07.02.2021
• 786
• 165

• 07.02.2021
• 467
• 40

• 07.02.2021
• 232
• 1

• 07.02.2021
• 184
• 6

• 07.02.2021
• 255
• 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.02.2021 872
• DOCX 93 кбайт
• 70 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Зеленова Марина Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 2 года и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1673
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.