Уравнение разность целых чисел 6 класс

Вычитание или разность целых чисел.

Понятие вычитания или разности целых чисел.

Разность или вычитание целых чисел напрямую связана с темой сложение целых чисел. Ведь зная сумму и одно из слагаемых, можно найти второе слагаемое. Рассмотрим пример:

У нас есть 10 яблок в корзине. В первый раз в корзину добавили 2 яблока, сколько во-второй раз добавили яблок в корзину, чтобы в итоге получить 10 яблок?
Обозначим за переменную x – количество яблок, добавленных во второй раз. Если мы прибавим к переменной x два яблока, то получим 10 яблок. Математически запись будет выглядеть так:

чтобы найти переменную x нужно из корзины убрать 2 яблока или от суммы 10 отнять одно известное слагаемое 2.

То есть переменная x=8.

Определение:
Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.

Разность целых чисел a и b обозначается как a-b.

Разность a-b это сумма чисел a и противоположного числа b.
a-b=a+(-b)

где b и –b – это противоположные числа.

Вычитание целых положительных чисел в примерах.

Пример:
Выполните вычитание из целого числа 12 число 5.

Решение:
По правилу разности мы должны заменить вычитаемое 5 заменить на противоположное число, то есть -5 и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

Пример:
Из числа 37 выполните вычитание числа 56.

Решение:
Нужно вычитаемое число 56 заменить на противоположное число, то есть число -56 и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

Пример:
Из числа -4 нужно вычесть число 7.

Решение:
Заменяем вычитаемое число 7 на противоположное число -7 и складываем из по правилу сложения целых отрицательных чисел.

Вычитание целых отрицательных чисел в примерах.

Пример:
Найдите разность чисел 6 и -8.

Решение:
По правилу разности нужно заменить вычитаемое -8 на противоположное число +8 или 8 и посчитать сумму целых чисел. Получим:

Из целого числа -14 вычтите число -10.
Нужно вычитаемое -10 заменить на противоположное число +10 или 10 по правилу вычитания целых чисел и потом выполнить сложение.

Вычитание нуля из целых чисел.

Если вычесть нуль из целого числа, то число не измениться.

a-0=a

Если вычесть нуль из нуля, то получим нуль.

Вычитание одинаковых целых чисел.

Рассмотрим задачу:
Миша получил от мамы 2 конфеты и он тут же угостил своего друга Сашу двумя конфетами. Сколько осталось конфет у Миши?

Решение:
Миша получил 2 конфеты и отдал 2 конфеты, математически можно записать так:

Ответ: у Миши осталось 0 конфет.

То есть если выполнить вычитание равных чисел в результате получим нуль.

a-a=0

Проверка результата вычитания.

Как проверить правильно ли вы нашли разность двух целых чисел?
Ответ прост он заключается в самом определении разности двух целых чисел. Нужно разность сложить с вычитаемым получим уменьшаемое. Словесная формула будет выглядеть так:

Разность+Вычитаемое=Уменьшаемое

19 – это у нас уменьшаемое;
5 – вычитаемое;
14 – разность.

Выполним проверку:
К разности прибавим уменьшаемое, если правильно выполнили вычитание, то получим уменьшаемое.

Еще пример:
Выполните проверку вычитания 12-23=-11

12 – уменьшаемое;
23 – вычитаемое;
-11 – разность.

Выполним проверку вычитания:
Разность+Вычитаемое=Уменьшаемое

Математика. 6 класс

Конспект урока

Разность целых чисел. Часть 1

Перечень рассматриваемых вопросов:

Рассмотреть правила вычитания целых чисел одного знака.

Научиться применять правила для вычисления разности.

Научиться выполнять числовые подстановки в разность и находить соответствующие им значения.

Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем правила вычитания целых чисел.

Зная сумму и одно из слагаемых, можно найти второе слагаемое.

В корзине лежали яблоки. К ним добавили 3 яблока. Стало 12 яблок в корзине. Сколько яблок было в корзине, если в итоге получилось 12 яблок? Обозначим переменной x количество яблок, которые были в корзине.

Обозначим за x – количество яблок, которые были в корзине

Ответ: в корзине лежало 9 яблок.

Сформулируем определение.

Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Разность целых чисел a и b обозначается как

Разность a – b есть сумма числа a и числа, противоположного числу b.

a – b = a + (– b)

где b и (–b) – это противоположные числа

a – b = a + (– b)

a + (– b) и b.

(a + (– b)) + b = a + ((– b)+b) = а + 0 = а

Таким образом, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

a – b = a + (– b)

Пример1.Вычтите из целого числа 5 число 7.

По правилу разности мы должны заменить вычитаемое 7на противоположное число, то есть на минус 7, и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

Пример 2. Выполните вычитание из числа -47 число -64.

Решение. Нужно вычитаемое число -64 заменить на противоположное число, то есть на число 64, и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

– 47 – (– 64) = – 47 + 64 = 17

По правилу разности мы должны заменить вычитаемое 6 на противоположное число, то есть на минус 6, и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

Получим ответ: — 6.

Вычтите из 0 число 0.

По правилу разности мы должны заменить вычитаемое 0 на противоположное число, то есть на минус 0, и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

Получим ответ: 0.

Отметим, что во множестве натуральных чисел нельзя было вычесть из меньшего числа большее. Во множестве целых это возможно.

Заменим 8 на (– 8) и выполним сложение целых чисел с разными знаками

4 – 8 = 4 + (– 8) = – 4

Таким образом, на этом уроке мы сформулировали правила вычитания.

Рассмотрели, как вычитаются числа с одинаковыми знаками.

Научились находить значения выражений, используя эти правила.

Разбор заданий тренировочного модуля

1. Какие законы, свойства и правила записаны в формулах?

Разместите нужные подписи под изображениями

а + (b + с) = (а + b) + с

a – b = a + (– b)

а + (b + с) = (а + b) + с – Сочетательный закон

a – b = a + (– b) –Правило вычитания

а + b = b + a – Переместительный закон

а + 0 = а – Свойство нуля

2. Вставьте в текст нужные слова.

Разностью двух целых чисел называется ____ число, которое в____ с ____ даёт ____.

Варианты слов для вставки:

вычитаемым

уменьшаемым

целое

сумме

вычитаемое

уменьшаемое

Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Вычитание целых чисел: правила, примеры

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

Разность – результат выполненного действия вычитания.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа a и b , и при вычитании из первого второго получается число c , действие вычитания запишется следующим образом: a – b = c .

Выражение вида a – b также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что c — b = a и c — a = b , если a + b = c , где a , b , c – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

— пусть мы знаем, что — 5 + 11 = 6 , тогда разность 6 — 11 = — 5 ;

— допустим, известно, что — 13 + ( — 5 ) = — 18 , тогда — 18 – ( — 5 ) = — 13 , а — 18 – ( — 13 ) = — 5 .

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т.е. a – b = a + ( — b ) , где a и b – целые числа; b и – b – противоположные числа.

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к a + ( — b ) вычитаемое b и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства ( a + ( — b ) ) + b = a . На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: ( a + ( — b ) ) + b = a + ( ( — b ) + b ) = a + 0 = a , она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Необходимо выполнить вычитание из целого числа 15 целого положительного числа 45 .

Решение

Согласно правилу, чтобы из заданного числа 15 вычесть целое положительное число 45 , нужно к уменьшаемому 15 прибавить число — 45 , т.е. противоположное заданному 45 . Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел 15 и — 45 . Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число — 30 . Т.е. итогом вычитания числа 45 из числа 15 будет число — 30 . Запишем все решение в одну строку: 15 — 45 = 15 + ( — 45 ) = — 30 .

Ответ: 15 — 45 = — 30 .

Необходимо вычесть из целого отрицательного числа — 150 целое положительное число 25 .

Решение

Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу — 150 число — 25 (т.е. противоположное заданному вычитаемому 25 ). Найдем сумму целых отрицательных чисел: — 150 + ( — 25 ) = — 175 . Таким образом, искомая разность равна . Все решение запишем так: — 150 — 25 = — 150 + ( — 25 ) = — 175 .

Ответ: — 150 — 25 = — 175 .

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. a — 0 = a, где a – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

a — 0 = a + ( — 0 ) = a + 0 = a .

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность 61 — 0 равна 61 . Если же из целого отрицательного числа — 874 вычесть нуль, то получится — 874 . Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Необходимо вычесть из целого числа 0 целое отрицательное число — 324 .

Решение

Согласно правилу вычитания определение разности 0 — ( — 324 ) необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу 0 числа, противоположного вычитаемому — 324 . Тогда: 0 — ( — 324 ) = 0 + 324 = 324

Ответ: 0 — ( — 324 ) = 324

Определить разность — 6 — ( — 13 ) .

Решение

Произведем вычитание из целого отрицательного числа — 6 целого отрицательного числа — 13 . Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого — 6 и числа 13 (т.е. противоположного заданному вычитаемому — 13 ). Получим: — 6 — ( — 13 ) = — 6 + 13 = 7 .

Ответ: — 6 — ( — 13 ) = 7 .

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е. a — a = 0 , где a – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел a — a = a + ( — a ) = 0 , что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел — 54 и — 54 равна нулю; совершая действие вычитания из числа 513 числа 513 , получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Было произведено вычитание целого числа — 112 из целого числа — 300 , при этом получена разность — 186 . Верно ли было произведено вычитание?

Решение

Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: — 186 + ( — 112 ) = — 298 . Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

Вычитание целых чисел на координатной прямой

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: a — b = a + ( — b ) , тогда геометрическое толкование вычитания чисел a и b будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и – b . Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа b , необходимо:

— сдвинуться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;

— сдвинуться из точки с координатой a на | b | (модуль числа b ) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;

— остаться в точке с координатой a , если b = 0 .

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа — 2 целое положительное число 2 . Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на 2 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой — 4 , т.е. — 2 — 2 = — 4 .

Еще один пример: вычитаем из целого числа 2 целое отрицательное число — 3 . Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на | — 3 | = 3 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой 5 . Получаем равенство: 2 — ( — 3 ) = 5 и иллюстрацию к нему: