Уравнение реакции для двух балок

iSopromat.ru

Пример решения задачи по расчету опорных реакций балки, закрепленной на двух шарнирных опорах и нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.

Задача

Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций.

Расчетная схема балки показана на рис.1

Длина пролета балки 3м. Длина консольной части – 1,5м.

Пример решения

Рекомендуем посмотреть наш видеоурок. В нем мы постарались подробно показать порядок расчета реакций в опорах балки.

Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-z, выбрав ее начало например в т. A (рис.2)

Обе опоры балки являются шарнирными, поэтому в каждой из них будет возникать только сила, обозначим их соответственно R_A и R_C

Так как все заданные нагрузки раположены исключительно в вертикальной плоскости (плоский поперечный изгиб) и не дают проекций на ось z, то опорные реакции будут тоже только вертикальными.

Вообще говоря, реакции в опорах являются такими силами, которые необходимы для удержания балки с приложенными к ней нагрузками, в статичном (неподвижном) состоянии. В данном случае эти силы не позволяют ей вращаться и перемещаться в вертикальной плоскости.

Данная балка является статически определимой, т.к. уравнений равновесия достаточно для определения неизвестных усилий в опорах балки.

Для составления уравнений статики, опорные реакции R_A и R_C предварительно направляются произвольно, например, вверх (рис.3).

Для определения двух неизвестных реакций потребуется два уравнения.

1. Балка не перемещается по вертикали, т.е. сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:

Здесь сумму моментов лучше записывать относительно точки расположенной на опоре (например, A), т.к. в этом случае соответствующая реакция R_A в уравнении не участвует.

Из выражения (2) определяем R_C:

и подставив его в выражение (1) находим R_A:

Направление и величина реакций, как правило, необходимы для дальнейших расчетов балки на прочность и жесткость, поэтому во избежание возможных ошибок рекомендуется выполнять проверку найденных значений.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Опорные реакции простой балки

Калькулятор вычисляет опорные реакции балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок.

Данный онлайн калькулятор предназначен для нахождения опорных реакций в простейшей балке, находящейся под воздействием поперечных сил. Простая балка — прямолинейный брус, закрепленная на двух опорах: одной — шарнирно-неподвижной (опора А), другой — шарнирно-подвижной (опора В). Калькулятор выводит опорные реакции V_A и V_B, уравнения равновесия в символьном виде и показывает модель нагрузок. Обратите внимание, что если требуется задать нагрузку действующую левее опоры A, то расстояние от опоры нужно задать со знаком минус. Теорию и формулы расчета можно найти ниже под калькулятором.

Опорные реакции простой балки

Нагрузка

 Расстояние от опоры A Нагрузка Значение Направление Направление момента Протяженность Изменение

Нагрузка

Импортировать данные Ошибка импорта

Реакции опор

Под воздействием нагрузок в опорах балки возникают уравновешивающие силы, называемые реакциями опор. Эти силы зависят от вида нагрузки и типа самих опор.

Шарнирно подвижная опора ( в нашей модели обозначена как «B») позволяет балке свободно перемещаться в горизонтальной плоскости и препятствует вертикальному перемещению, поэтому при любой нагрузке она имеет только вертикальную реакцию V_B.

Шарнирно неподвижная опора крепится к балке, что препятствует её горизонтальному и вертикальному перемещению. При наличии сил, действующих на балку в горизонтальной плоскости, эта опора дает еще и горизонтальную реакцию. Однако в нашей модели все силы действуют поперечно балке, поэтому горизонтальная реакция опоры A всегда будет равна нулю. Вертикальную реакцию опоры A обозначим V_A.

Уравнения равновесия

Как мы знаем из статики, все силы и моменты сил в неподвижной системе, уравновешены. Поэтому суммы сил и моментов в любой точке этой системы равны нулю.
Все силы при поперечной нагрузке на простую балку действуют параллельно оси Y, поэтому можно составить только два независимых уравнения равновесия для проекции сил и моментов на ось Y. Этого вполне достаточно для нахождения двух неизвестных реакций опор V_A и V_B.
При составлении уравнений у нас есть выбор:

• составить одно уравнение равновесия проекции сил и одно уравнение равновесия моментов в некоторой точке
• составить два уравнения равновесия моментов в двух точках.

Воспользуемся вторым способом, а первый оставим для проверки полученного результата.
Удобнее всего составлять уравнения для точек А и B, в которых находятся опоры:

Напомним, что моментом силы в определенной точке называется произведение силы F на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы (плечо) l:

Исходя из этого, уравнения равновесия моментов в точках А и B для системы поперечных сил F₁. F_n, действующих на балку приобретают вид:

Где F_i — модуль приложенной силы или реакции опоры в Ньютонах. l_iA и l_iB — длина рычага в метрах (кратчайшее расстояние от точки приложения силы i до опоры A и B соответственно). s_iA и s_iB — знак момента силы i в точке A и B соответственно.
Правило выбора знаков момента сил: знак положительный (+1) для момента, закручивающего балку вокруг выбранной точки по часовой стрелке ↻ и отрицательный (-1) для противоположного направления ↺. Можно выбрать и противоположные значения. Уравнения примут немного другой вид, но результат от этого не изменится.

Например, для системы сил, показанной на рисунке выше, уравнения равновесия можно записать следующим образом:

Вычисляя, получаем значения реакций опор: V_A = 15.42 и V_B = 14.58. Проверим, что сумма всех сил равна нулю (для сил действующих вниз — знак положительный, для действующих вверх — отрицательный):

Составляя уравнения, мы исходили из того, что реакции обеих опор направлены вверх. При расчетах может получиться так, что реакция опоры окажется отрицательной. Это означает, что реакция такой опоры направлена вниз (сумма моментов сил, действующих на балку, пытается оторвать её от опоры).

Распределенная нагрузка

В расчетах, иногда требуется задать нагрузку, которая распределена определенным образом по участку длины a. Для вычисления реакций опор такую нагрузку можно заменить её равнодействующей силой. Точкой приложения такой силы считается центр масс распределенной нагрузки, а модуль вычисляется как интеграл от функции распределения нагрузки на заданном участке. Для простых функций модуль легко выразить через заданную интенсивность нагрузки.

В таблице ниже представлены формулы для модуля сосредоточенной равнодействующей силы и точек её приложения для всех видов распределенных нагрузок, поддерживаемых калькулятором:

Нагрузка	Модуль	Точка приложения
Равномерная	1/2 a
Линейно убывающая	1/3 a
Линейно возрастающая	2/3 a

В формулах q — это интенсивность нагрузки в Н/м, a — диапазон действия распределенной нагрузки, точка приложения силы отсчитывается от начала диапазона действия распределенной нагрузки. Интенсивность для линейно распределенной нагрузки задается для участка максимума нагрузки ( полагаем, что в точке минимума, интенсивность = 0).
После вычисления модуля и плеча равнодействующей распределенной нагрузки их можно подставить в уравнения моментов, точно так же, как мы это делали с сосредоточенными силами.

Сосредоточенный момент

Еще один способ задания нагрузки в калькуляторе — при помощи момента в Нм, приложенного к некоторой точке. Значение сосредоточенного момента добавляется к уравнениям равновесия со знаком, определяемым направлением момента в соответствии с правилом знаков. Точка приложения сосредоточенного момента для вычисления реакций опор в простой балке значения не имеет.

Как определить реакции в опорах?

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 03.02.2016 · Обновлено 15.05.2018

Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата. Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Что такое реакция опоры?

Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.

В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции. Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять. Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока. Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!

Что вы должны уже уметь?

В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.

Должны уметь находить сумму проекций сил

Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!

Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки

Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:

На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

• Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
• Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.

Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.

Должны разбираться в основных видах опор

Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как R_i, где i — точка крепления опоры.

Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.

Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.

Примеры определения сил реакций опор

Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.

Определение реакций опор для балки

Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:

Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия:
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.

Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как R_A и R_B:

Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила R_B поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию R_B.

Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

После нахождения реакций, делаем проверку:

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Определение опорных реакций для плоской рамы

Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

• заменяем опоры на реакции;
• сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
• вводим глобальную систему координат x и y.

Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:

Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:

Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию H_A:

И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию R_A:

Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.

Расчет же показал, что R_A, направленна в другую сторону:

В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

На этом заканчиваю данный урок. Если у Вас остались какие-то вопросы по нахождению опорных реакций, смело задавайте их в комментариях к этой статье. Обязательно на все отвечу!

Спасибо за внимание! Если понравилась данная статья, расскажите о ней своим одногруппникам, не жадничайте 🙂

Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы быть в курсе обновлений материалов проекта.