Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.
Регрессионный анализ- это процесс определения аналитического выражения функции связи, в котором изменение результативной или зависимой переменной происходит под влиянием факторной или независимой переменной. Построение модели парной регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между результативной и факторной переменной.
В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлён тремя методами:
— графическим;
— аналитическим;
Экспериментальным.
Графический метод достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей:
а) линейная; б) квадратичная; в) гипербола;
г) кубическая; д) степенная; е) показательная;
; ; ;
; ; ;
Аналитический методоснован на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.
Пусть изучается потребность предприятия в электроэнергии y в зависимости от объёма выпускаемой продукции. Выделим две части:
— не связанная с производством продукции а;
— непосредственно связанная с объёмом выпускаемой продукции bx.
Тогда: если обе части уравнения поделить почленно на x, то получим выражение зависимости удельного расхода электроэнергии на единицу продукции от объёма выпущенной продукции, (равносторонняя гипербола).
Затраты:
— условно-переменные, изменяющиеся пропорционально изменению объёма продукции (расход материала, оплата труда);
— условно-постоянные, не зависящие от объёма продукции (арендная плата, содержание администрации и др.).
Зависимость затрат на производство y от объёма продукции x, характеризуется линейной функцией , зависимость себестоимости единицы продукции z от объёма .
При обработке информации на компьютере выбор УР осуществляется экспериментально, путём сравнения остаточной дисперсии (Дост) при разных моделях. Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при , фактическое значение результата признака совпадает с теоретическим . Дост=0, то есть обусловлено влиянием только х. На практике наблюдается рассеивание точек относительно линии регрессии
.
Если дисперсии равны, то предпочтение отдаётся долее простым видам функции. Число наблюдений в 6-7 раз должно превышать число рассчитываемых параметров.
После того, как модель специфицирована (т. е. определен вид функциональной зависимости между переменными), для полного построения регрессионной модели необходимо решить следующие, по сути, математико-статистические, проблемы:
I) оценить параметры модели по имеющимся наблюдаемым данным зависимой и независимых переменных;
2) провести статистический анализ полученных оценок, изучить их свойства, установить степень их надежности;
3) провести статистический анализ модели в целом и таким образом установить степень адекватности созданной модели имеющимся статистическим данным или, иными словами, проанализировать уровень доверия к построенной модели;
4) оценить прогнозные возможности модели, степень надежности и достоверности прогнозов, т. е. насколько правильно модель объясняет поведение изучаемого объекта.
Без решения вышеперечисленных проблем задача построения модели не может считаться полностью завершенной. Для решения каждой из них в эконометрической теории в настоящее время разработано множество различных методов и подходов, основные из которых и являются предметом исследования в дальнейшем. Здесь же заострим внимание на роли информационного обеспечения моделей. Необходимо четко представлять, что никакие, даже самые изощренные математические методы, не заменят достоверной, постоянно обновляемой статистической информации об изучаемом объекте или процессе. Полноценное информационное наполнение модели — основа успеха при эконометрическом моделировании. Нельзя получать достоверные выводы, опираясь на недостоверную информацию.
Поэтому сбор и оценка качества статистических данных являются, вполне вероятно, самыми важными этапами построения эконометрической модели. Необходимо также хорошо представлять, насколько достоверными являются имеющиеся данные. Если нельзя получить другие, более качественные данные, скажем, из-за высокой стоимости дополнительных статистических исследований, или недоступности качественной информации, нужно правильно оценить принципиальную возможность построения адекватной модели на основе таких данных, в том числе используя формально-математические методы. Надо четко представлять границы применимости таких моделей. Именно для понимания и правильного решения этих проблем следует основательно изучать курс «Эконометрика». Специалист, владеющий эконометрическими методами, получает преимущество и на рынке труда и при ведении собственного бизнеса.
Дата добавления: 2016-05-16 ; просмотров: 1258 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
R — значит регрессия
Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.
Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.
Введение в регрессионный анализ
Если имеется корреляционная зависимость между переменными y и x , возникает необходимость определить функциональную связь между двумя величинами. Зависимость среднего значения называется регрессией y по x .
Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.
Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.
Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.
- k — число коэффициентов в системе уравнений регрессии.
Чаще всего используется модель линейной регрессии, а все нелинейные зависимости приводят к линейному виду с помощью алгебраических ухищрений, различных преобразования переменных y и x .
Линейная регрессия
Уравнения линейной регрессии можно записать в виде
В матричном виде это выгладит
- y — зависимая переменная;
- x — независимая переменная;
- β — коэффициенты, которые необходимо найти с помощью МНК;
- ε — погрешность, необъяснимая ошибка и отклонение от линейной зависимости;
Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:
- — полная дисперсия (TSS).
- — объясненная часть дисперсии (ESS).
- — остаточная часть дисперсии (RSS).
Еще одно ключевое понятие — коэффициент корреляции R 2 .
Ограничения линейной регрессии
Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.
- Линейность, собственно. Увеличение, или уменьшение вектора независимых переменных в k раз, приводит к изменению зависимой переменной также в k раз.
- Матрица коэффициентов обладает полным рангом, то есть векторы независимых переменных линейно независимы.
- Экзогенность независимых переменных — . Это требование означает, что математическое ожидание погрешности никоим образом нельзя объяснить с помощью независимых переменных.
- Однородность дисперсии и отсутствие автокорреляции. Каждая εi обладает одинаковой и конечной дисперсией σ 2 и не коррелирует с другой εi. Это ощутимо ограничивает применимость модели линейной регрессии, необходимо удостовериться в том, что условия соблюдены, иначе обнаруженная взаимосвязь переменных будет неверно интерпретирована.
Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.
Неоднородность дисперсии
При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.
Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.
Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.
- Автокорреляция проверяется статистикой Дарбина-Уотсона (0 ≤ d ≤ 4). Если автокорреляции нет, то значения критерия d≈2, при позитивной автокорреляции d≈0, при отрицательной — d≈4.
- Неоднородность дисперсии — Тест Уайта, , при \chi<^2>_<\alpha;m-1>$» data-tex=»inline»/> нулевая гипотеза отвергается и констатируется наличие неоднородной дисперсии. Используя ту же можно еще применить тест Бройша-Пагана.
- Мультиколлинеарность — нарушения условия об отсутствии взаимной линейной зависимости между независимыми переменными. Для проверки часто используют VIF-ы (Variance Inflation Factor).
В этой формуле — коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.
Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.
Как преодолеть эти ограничения
Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.
- Нелинейность регрессии может быть преодолена преобразованием переменных, например через функцию натурального логарифма ln .
- Таким же способом возможно решить проблему неоднородной дисперсии, с помощью ln , или sqrt преобразований зависимой переменной, либо же используя взвешенный МНК.
- Для устранения проблемы мультиколлинеарности применяется метод исключения переменных. Суть его в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные устраняются из регрессии, и она заново оценивается. Критерием отбора переменных, подлежащих исключению, является коэффициент корреляции. Есть еще один способ решения данной проблемы, который заключается в замене переменных, которым присуща мультиколлинеарность, их линейной комбинацией. Этим весь список не исчерпывается, есть еще пошаговая регрессия и другие методы.
К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.
Линейная регрессия плюсов на Хабре
Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.
Загружает данные из tsv файла.
- points — Рейтинг статьи
- reads — Число просмотров.
- comm — Число комментариев.
- faves — Добавлено в закладки.
- fb — Поделились в социальных сетях (fb + vk).
- bytes — Длина в байтах.
Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.
Теперь собственно сама модель, используем функцию lm .
В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points
. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points
reads , набор переменных — points
Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.
- Intercept — Если у нас модель представлена в виде , то тогда — точка пересечения прямой с осью координат, или intercept .
- R-squared — Коэффициент детерминации указывает насколько тесной является связь между факторами регрессии и зависимой переменной, это соотношение объясненных сумм квадратов возмущений, к необъясненным. Чем ближе к 1, тем ярче выражена зависимость.
- Adjusted R-squared — Проблема с в том, что он по любому растет с числом факторов, поэтому высокое значение данного коэффициента может быть обманчивым, когда в модели присутствует множество факторов. Для того, чтобы изъять из коэффициента корреляции данное свойство был придуман скорректированный коэффициент детерминации .
- F-statistic — Используется для оценки значимости модели регрессии в целом, является соотношением объяснимой дисперсии, к необъяснимой. Если модель линейной регрессии построена удачно, то она объясняет значительную часть дисперсии, оставляя в знаменателе малую часть. Чем больше значение параметра — тем лучше.
- t value — Критерий, основанный на t распределении Стьюдента . Значение параметра в линейной регрессии указывает на значимость фактора, принято считать, что при t > 2 фактор является значимым для модели.
- p value — Это вероятность истинности нуль гипотезы, которая гласит, что независимые переменные не объясняют динамику зависимой переменной. Если значение p value ниже порогового уровня (.05 или .01 для самых взыскательных), то нуль гипотеза ложная. Чем ниже — тем лучше.
Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.
Проверим значения параметров линейной регрессии.
Как видим в целом отзывчивость модели возросла, параметры подтянулись и стали более шелковистыми , F-статистика выросла, так же как и скорректированный коэффициент детерминации .
Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.
И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.
В заключение
Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.
Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.
Реферат: Уравнение регрессии
Название: Уравнение регрессии Раздел: Рефераты по маркетингу Тип: реферат Добавлен 12:45:18 01 июля 2011 Похожие работы Просмотров: 1700 Комментариев: 19 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать |