Уравнение регрессии в модели шарпа связывает

Метод Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины — независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно

модель Шарпа называют рыночной моделью,

а норму отдачи rm — рыночной

Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm²,…, rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2,…, riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = αi + βirm,t + εi,t (4)

где: ri,t — доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

αi — параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

βi — параметр линейной регрессии, называемый «бета»,

показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t — доходность рыночного портфеля в момент t;

εi,t — случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру βi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

(5)

где Wi — вес каждой ценной бумаги в портфеле

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(6)

Цели инвестора сводятся к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля при следующих начальных условиях

(7)

(8)

(9)

шарп дисперсия портфель ковариация

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri,t каждой ценной бумаги.

) По рыночному индексу вычислить рыночные доходности rm,t для того же промежутка времени.

) Определить величину дисперсии рыночного показателя σm, а также значения ковариаций σi,m доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины βi:

(10)

4) Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги E(ri) и рыночной доходности E(rm) и вычислить параметр αi:

αi = E(ri) — βiE(rm) (11)

5) Вычислить дисперсии σ2ε,i ошибок регрессионной модели

) Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель. [1]

Модель оценки капитальных активов (модель Шарпа)

Ожидаемую доходность актива можно определить с помощью так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х гг. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

где E(r_i ) – ожидаемая доходность актива; γ_i – доходность актива в отсутствие воздействия на него рыночных факторов; β_i – коэффициент в актива; Ε(r_m) – ожидаемая доходность рыночного портфеля; Ε_i , – независимая случайная (переменная) ошибка.

Независимая случайная ошибка показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней величины равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию ковариации с доходностью рынка, равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов, равную нулю.

Приведенное уравнение является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (Ε) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

где Ε(r_p) – ожидаемая доходность портфеля; β_ρ – β портфеля; γ_ρ – доходность портфеля в отсутствие воздействия на него рыночных факторов.

Модель Шарпа. САРМ.

Ожидаемую доходность актива можно определить с помощью так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

либо

, где

µi – доходность i-ого актива

µm – рыночная доходность

α – оценка рынком перспектив компании – надбавка за хорошее управление компанией

r – безрисковая ставка

β – коэффициент чувствительности актива к ситуации на рынке ( )

ε – независимая случайная ошибка (индивидуальный риск актива)

Приведенное уравнение является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (ei) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь.

CAPM (Capital assets pricing model) – модель оценки индивидуального актива. Модель связывает ожидаемую доходность и систематический риск (бета актива) и демонстрирует, как рынок должен оценить индивидуальный актив в зависимости от его рискового класса. CAPM предполагает, что существует только один вид риска отдельного актива, от которого зависит его доходность – это чувствительность к рыночному риску. Таким образом, все многообразие рисков, которым подвергается любой конкретный актив, сведено только к одному риску — рыночному.

Графиком CAPM является SML (security market line). SML является графиком отдельного актива.

Теперь мы видим, от чего зависит доходность ценной бумаги. Она зависит от:

r – безрисковой доходности;

μm – доходности рыночного портфеля;

– вариации рыночного портфеля;

– ковариации доходности i-го актива с доходностью рынка в целом.

Причем, первые три фактора являются одинаковыми абсолютно для всех активов. Единственное, чем активы различаются, – это величинами ковариации. Следовательно, различия в доходностях активов могут быть объяснены исключительно этим параметром и ничем больше.

Поскольку приведенное выше уравнение представляет собой уравнение прямой, то графически зависимость выражается так называемой линией рынка ценных бумаг, которую можно изобразить следующим образом.

бета – это мера того, насколько поведение акции похоже на поведение рынка в целом.

Бета измеряет вклад актива в портфельный риск. Бета средней акции равна единице.

β > 1 – агрессивные акции. Сильно зависят от рыночной конъюнктуры.

β = 1 – средние акции. Средне зависят от рыночной конъюнктуры

2. САРМ предполагает, что рынок находится в равновесии. Однако это, во-первых, гипотеза, во-вторых, можно задать различные типы равновесия, причем все они будут эмпирически неопределимы.

3. Модель САРМ основывается на гипотезе о поведении инвестора и, в частности, о форме кривой безразличия. Поскольку в модели появляются полезности, то она непроверяема по той причине, что еще никто эти полезности не измерил.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав