Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе онлайн

Уравнение множественной регрессии

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

• уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
• множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Кроме этого проводится проверка на автокорреляцию остатков и гетероскедастичность.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1. теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
2. количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа — однофакторного, если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность — тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение.
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

1	5	14.5
1	12	18
1	6	12
1	7	13
1	8	14

Матрица Y

9

13

16

14

21

Транспонируем матрицу X, получаем X T :

1	1	1	1	1
5	12	6	7	8
14.5	18	12	13	14

Умножаем матрицы, X T X =

5 38 71,5 38 318 563,5 71,5 563,5 1043,25

В матрице, (X T X) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, X T Y =

73 563 1032,5

Находим обратную матрицу (X T X) -1

13.99	0.64	-1.3
0.64	0.1	-0.0988
-1.3	-0.0988	0.14

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

(X T X) -1 X T Y = y(x) =

13,99 0,64 -1,3 0,64 0,1 -0,0988 -1,3 -0,0988 0,14

*

73 563 1032,5

=

34,66 1,97 -2,45

Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X₁-2.45X₂
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
R 2 = 1 — s 2 _e/∑(y_i — y_ср) 2 = 1 — 33.18/77.2 = 0.57
F = R 2 /(1 — R 2 )*(n — m -1)/m = 0.57/(1 — 0.57)*(5-2-1)/2 = 1.33
Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 5 — 2 -1 = 2, Fkp(2;2) = 19
Поскольку фактическое значение F = 1.33 Пример №2 . Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы Y (%), производительности труда X₁ (%), а также по уровню инфляции X₂ (%).

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X1	3,5	2,8	6,3	4,5	3,1	1,5	7,6	6,7	4,2	2,7	4,5	3,5	5,0	2,3	2,8
X2	4,5	3,0	3,1	3,8	3,8	1,1	2,3	3,6	7,5	8,0	3,9	4,7	6,1	6,9	3,5
Y	9,0	6,0	8,9	9,0	7,1	3,2	6,5	9,1	14,6	11,9	9,2	8,8	12,0	12,5	5,7

Решение. Подготовим данные для вставки из MS Excel (как транспонировать таблицу для сервиса см. Задание №2) .

Включаем в отчет: Проверка общего качества уравнения множественной регрессии (F-статистика. Критерий Фишера, Проверка на наличие автокорреляции),

После нажатия на кнопку Дале получаем готовое решение.
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии):
Y = 0.2706 + 0.5257X₁ + 1.4798X₂
Скачать.

Качество построенного уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера (п. 6 отчета).

Пример №3 .
В таблице представлены данные о ВВП, объемах потребления и инвестициях некоторых стран.

ВВП	16331,97	16763,35	17492,22	18473,83	19187,64	20066,25	21281,78	22326,86	23125,90
Потребление в текущих ценах	771,92	814,28	735,60	788,54	853,62	900,39	999,55	1076,37	1117,51
Инвестиции в текущих ценах	176,64	173,15	151,96	171,62	192,26	198,71	227,17	259,07	259,85

Решение:
Для проверки полученных расчетов используем инструменты Microsoft Excel «Анализ данных» (см. пример).

Пример №4 . На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (b-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Решение. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X

1	3.9	10
1	3.9	14
1	3.7	15
1	4	16
1	3.8	17
1	4.8	19
1	5.4	19
1	4.4	20
1	5.3	20
1	6.8	20
1	6	21
1	6.4	22
1	6.8	22
1	7.2	25
1	8	28
1	8.2	29
1	8.1	30
1	8.5	31
1	9.6	32
1	9	36

Матрица Y

7
7
7
7
7
7
8
8
8
10
9
11
9
11
12
12
12
12
14
14

Матрица X T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3.9	3.9	3.7	4	3.8	4.8	5.4	4.4	5.3	6.8	6	6.4	6.8	7.2	8	8.2	8.1	8.5	9.6	9
10	14	15	16	17	19	19	20	20	20	21	22	22	25	28	29	30	31	32	36

Умножаем матрицы, (X T X)

Умножаем матрицы, (X T Y)

Находим определитель det(X T X) T = 139940.08
Находим обратную матрицу (X T X) -1

Уравнение регрессии
Y = 1.8353 + 0.9459X ₁ + 0.0856X ₂
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y — X*s

0.62
0.28
0.38
0.01
0.11
-1
-0.57
0.29
-0.56
0.02
-0.31
1.23
-1.15
0.21
0.2
-0.07
-0.07
-0.53
0.34
0.57

se 2 = (Y — X*s) T (Y — X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σ*(X T X) -1

k(x) = 0.36

0,619 -0,0262 -0,0183 -0,0262 0,126 -0,0338 -0,0183 -0,0338 0,0102

=

0,222 -0,00939 -0,00654 -0,00939 0,0452 -0,0121 -0,00654 -0,0121 0,00366

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 _i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X сильная
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х_i при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции — последовательно берутся пары yx1,yx2. , x1x2, x1x3.. и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.97 2 = 0.95, т.е. в 95% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл: T_табл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Поскольку Tнабл Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Построение парной регрессионной модели

Рекомендации к решению контрольной работы.

Статистические данные по экономике можно получить на странице Россия в цифрах.
После определения зависимой и объясняющих переменных можно воспользоваться сервисом Множественная регрессия. Регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными можно построить используя матричный метод нахождения параметров уравнения регрессии или метод Крамера для нахождения параметров уравнения регрессии.

Пример №3 . Исследуется зависимость размера дивидендов y акций группы компаний от доходности акций x₁, дохода компании x₂ и объема инвестиций в расширение и модернизацию производства x₃. Исходные данные представлены выборкой объема n=50.

Тема I. Парная линейная регрессия
Постройте парные линейные регрессии — зависимости признака y от факторов x₁, x₂, x₃ взятых по отдельности. Для каждой объясняющей переменной:

1. Постройте диаграмму рассеяния (поле корреляции). При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
2. Вычислите коэффициенты уравнения выборочной парной линейной регрессии (для вычисления коэффициентов регрессии воспользуйтесь встроенной функцией ЛИНЕЙН (функция находится в категории «Статистические») или надстройкой Пакет Анализа), коэффициент детерминации, коэффициент корреляции (функция КОРЕЛЛ), среднюю ошибку аппроксимации.
3. Запишите полученное уравнение выборочной регрессии. Дайте интерпретацию найденным в предыдущем пункте значениям.
4. Постройте на поле корреляции прямую линию выборочной регрессии по точкам .
5. Постройте диаграмму остатков.
6. Проверьте статистическую значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента (табличное значение определите с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР) и всего уравнения в целом по критерию Фишера (табличное значение F_табл определите с помощью функции FРАСПОБР).
7. Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Дайте им интерпретацию.
8. Постройте прогноз для значения фактора, на 50% превышающего его среднее значение.
9. Постройте доверительный интервал прогноза. Дайте ему экономическую интерпретацию.
10. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемого фактора на показатель.

Тема II. Множественная линейная регрессия
1. Постройте выборочную множественную линейную регрессию показателя на все указанные факторы. Запишите полученное уравнение, дайте ему экономическую интерпретацию.
2. Определите коэффициент детерминации, дайте ему интерпретацию. Вычислите среднюю абсолютную ошибку аппроксимации и дайте ей интерпретацию.
3. Проверьте статистическую значимость каждого из коэффициентов и всего уравнения в целом.
4. Постройте диаграмму остатков.
5. Постройте доверительные интервалы коэффициентов. Для статистически значимых коэффициентов дайте интерпретации доверительных интервалов.
6. Постройте точечный прогноз значения показателя y при значениях факторов, на 50% превышающих их средние значения.
7. Постройте доверительный интервал прогноза, дайте ему экономическую интерпретацию.
8. Постройте матрицу коэффициентов выборочной корреляции между показателем и факторами. Сделайте вывод о наличии проблемы мультиколлинеарности.
9. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемых факторов на показатель.

Расчет линейной регрессии онлайн

Быстрая навигация по странице:

Общая характеристика линейной регрессии

Под линейной регрессией понимается функция вида Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … a_nX_n, объясняющая изменение величины зависимой (или эндогенной) переменной Y от изменения величин объясняющих (независимых) переменных X₁, X₂, … X_n. В том случае, когда в построенной функции объясняющая переменная (или фактор) X только одна, то тогда такую регрессию называют парной, если же в модели используется несколько факторных переменных X – то множественной регрессией. Особенностью линейной регрессии является то, что изменение (приращение) зависимой переменной Y пропорционально изменению объясняющих факторов X, а графиком такой регрессии является прямая линия. Расчет параметров линейной регрессии выполняется, как правило, при помощи метода наименьших квадратов (МНК). Качество построенной модели во многом зависит от количества значений наблюдений, используемых для построения уравнения линейной регрессии.

Размещено на www.rnz.ru

Формулы уравнения и коэффициентов линейной регрессии

Общая формула парной линейной регрессии следующая:

Y^ = a + b*x + ε
где: Y^ — теоретические (расчетные) значения зависимого показателя (зависимой переменной), получаемые по построенному уравнению;
a — свободный член уравнения регрессии;
b — коэффициент уравнения регрессии

Для нахождения параметров (коэффициентов) линейной регрессии существует множество формул. Приведем некоторые из них:

— формулы для нахождения свободного члена уравнения регрессии a:

— формулы для нахождения коэффициента регрессии b:

Для расчета параметров уравнения регрессии также можно решить следующую систему уравнений:

Пример расчета уравнения регрессии

Приведем пример расчета параметров уравнения регрессии для значений, приведенных в следующей таблице (пример условный):

По семи территориям Уральского региона известны значения двух признаков за 201_ год:

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, y	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская республика	66.3	41.5
Свердловская область	59.9	57.7
Республика Башкортостан	57.3	55.8
Челябинская область	53.1	59.4
Пермский край	51.7	56.7
Курганская область	50.7	44.6
Оренбургская область	48	52.7

1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии;
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и дать его интерпретацию;
3. Рассчитать коэффициент детерминации и дать его интерпретацию;
4. Рассчитать коэффициент эластичности для линейной парной регрессии и дать его интерпретацию.

Для построения уравнения парной линейной регрессии составим таблицу вспомогательных расчетов, где будут произведены необходимые промежуточные вычисления:

№ района	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, y	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х	yx
1	66.3	41.5	2751.45
2	59.9	57.7	3456.23
3	57.3	55.8	3197.34
4	53.1	59.4	3154.14
5	51.7	56.7	2931.39
6	50.7	44.6	2261.22
7	48	52.7	2529.6
Итого	387	368.4	20281.37
Среднее значение	55.29	52.63	2897.34
σ	5.84	6.4	—
σ 2	34.06	40.93	—

Далее рассчитаем коэффициенты уравнения парной линейной регрессии.

Коэффициент b вычислим по формуле:

Формула расчета коэффициента b уравнения парной линейной регрессии

Пример расчета коэффициента b уравнения парной линейной регрессии: b = (2897.34-55.29*52.63)/40.93 = -0.31

Коэффициент a вычислим по формуле:

Формула расчета коэффициента a уравнения парной линейной регрессии

Пример расчета коэффициента a уравнения парной линейной регрессии: a = 55.29 — -0.31*52.63 = 71.61

Получим следующее уравнение парной линейной регрессии:

Линейный коэффициент парной корреляции рассчитаем по формуле:

Формула расчета линейного коэффициента парной корреляции

Пример расчета линейного коэффициента парной корреляции:

r_yx = -0.31*6.4 / 5.84 = -0.3397

Далее вычислим коэффициент детерминации по формуле:

Формула расчета коэффициента детерминации

Пример расчета значения коэффициента детерминации:

r 2 _yx = -0.3397*-0.3397 = 0.1154 или 11.54%

Интерпретация значения коэффициента детерминации: согласно полученному значению коэффициента детерминации вариация расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах только на 11.54% определяется вариацией среднедневной заработной платой одного работающего, что является низким показателем.

Далее рассчитаем коэффициент эластичности для линейной регресии по формуле:

Формула расчета коэффициента эластичности для линейной регрессии

Пример расчета величины коэффициента эластичности для линейной регрессии:

Интерпретация значения коэффициента эластичности для линейной регрессии: полученное значение коэффициента эластичности показывает, что с изменением среднедневной заработной платы одного работающего на 1% от своего среднего значения величина расходов на покупку продовольственных товаров изменится на -0.295% в среднем по совокупности.

Далее рассчитаем значение F-критерия Фишера для построенного уравнения парной линейной регрессии. Расчет F-критерия Фишера выполним по формуле:

Формула расчета F-критерия Фишера

Пример расчета F-критерия Фишера: F = 0.1154 / 0.8846*5 = 0.65.

Интерпретация значения F-критерия Фишера. Так как полученное значение F-критерия Фишера меньше табличного критерия, то полученное уравнение парной линейной регрессии является статистически незначимым и не пригодным для описания зависимости доли расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах только от величины среднедневной заработной платой одного работающего. Показатель тесноты связи также признается статистически незначимым.

Онлайн калькулятор расчета уравнения регрессии

В заключении приводим небольшой онлайн калькулятор расчета параметров уравнения линейной регрессии, используя который, Вы можете самостоятельно определить значения соответствующих коэффициентов и построить линейную регрессии онлайн. При заполнении приведенной формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить построить уравнение регрессии онлайн быстро и точно. В приведенной форме онлайн калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как это работает. Для определения значений соответствующих показателей по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн калькулятора и нажмите кнопку «Выполнить вычисления». При заполнении формы соблюдайте размерность показателей! Дробные числа записываются с точной, а не запятой!

Приведенная форма рассчитана на ввод максимум 10 значений. Если у вас их меньше, то обязательно оставьте «лишние» поля формы пустыми!

Онлайн-калькулятор расчета коэффициента корреляции:

Заказать решение задач на построение уравнения регрессии

Мы можем помочь Вам выполнить построение различных уравнений регрессии, как линейных, так и нелинейных:

МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики

Данный онлайн-сервис позволяет найти с помощью метода наименьших квадратов уравнения линейной, квадратичной, гиперболической, степенной, логарифмической, показательной, экспоненциальной регрессии и др., коэффициенты и индексы корреляции и детерминации. Показываются диаграмма рассеяние и график уравнения регрессии. Также калькулятор делает оценку значимости параметров уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера, t-критерия Стьюдента и критерия Дарбина-Уотсона.

Можно задать уровень значимости и указать, до какого знака после запятой округлять расчётные величины.

Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.

Линейная регрессия
Степенная регрессия
Квадратичная регрессия
Кубическая регрессия

Гиперболическая регрессия
Показательная регрессия
Логарифмическая регрессия
Экспоненциальная регрессия

Очистить

Округлять до
-го
знака после запятой.