В традиционной постановке задача синтеза оптимального управления в пространстве состояний предусматривает определение вектора управляющих сигналов u0(t) на основании минимизации некоторого критерия качества и формулируется следующим образом.
Для объекта управления, который описывается векторными дифференциальным и ал-гебраическими уравнениями
необходимо найти закон управления u0(t), при котором достигается минимум квадратичного функционала качества
который подробно представлен в лекции 7.
Общая математическая постановка указанной задачи приводит к уравнению Беллма-на, которое имеет следующий вид:
Вывод уравнения Беллмана, характеристики входящих в него переменных и функций приведены в приложении 1.
Решение уравнения (9.3) для объекта управления, который описывается векторно-матричной моделью (9.1), позволяет определить закон оптимального управления в виде
где , P(t) — решение матричного дифференциального уравнения Рик-кати
c граничным условием .
Вывод уравнения Риккати приведен в приложении 2.
В соответствии с вышеизложенным алгоритм синтеза оптимального уравнения пред-ставляет собой следующую последовательность действий:
1) построение векторно-матричной модели ОУ (9.1);
2) выбор элементов весовых матриц F, Q(t), R(t) в (9.2), при которых переходные процессы в системе управления удовлетворяют заданным требованиям;
3) решение матричного дифференциального уравнения Риккати (9.5);
4) анализ динамических характеристик в оптимальной системе управления и оценка ее качества.
Основные трудности возникают здесь при решении матричного дифференциального уравнения Риккати. Интегрирование этого уравнения удобно выполнять в обратном времени . В этом случае задача сводится к задаче Коши с начальными условиями . Ввиду симметричности матрицы P(t) уравнение (9.5) равносильно системе n(n+1)/2 обыкно-венных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными во вре-мени коэффициентами.
Для стационарных систем, в которых A, B, Q, R — коэффициентные матрицы и , матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое
решением которого является симметричная положительно определенная матрица Р.
Решение уравнения (9.28) для стационарных систем при и имеет предел
Поэтому матрицу Р можно вычислить как предельное значение решения уравнения (9.5) при достаточно большом Т.
По аналогии с (9.4) оптимальное управление определится из выражения
Пример 9.1. Для электромеханического объекта с упругой передачей механического движения от вала электродвигателя к валу рабочего механизма, численные значения пара-метров которого приведены в табл. 9.1., выполним синтез оптимального управления (9.4) и безынерционного регулятора состояния.
Таблица 9.1. Параметры электромеханического объекта
Результатом серии вычислительных экспериментов явились:
внутреннее содержание весовых матриц Q, и R
временные характеристики
полученные в результате решения уравнения Риккати (9.5) в обратном времени, которые приведены на рис. 9.1
Для постановки имитационных экспериментов используем приведенные в табл. 9.2 постоянные расчетные значения коэффициентов обратных связей, соответствующие t=0, и значения реализации.
Таблица 9.2. Значения коэффициентов обратных связей
Рис. 9.1. Динамические характеристики K0(t)
Сравнительные динамические характеристики (см. рис. 9.2), систем управления, в ко-торых параметры регулятора соответствуют значениям реализации коэффициентов обратных связей (табл. 9.2) и значениям регулятора состояния, синтезированного при использовании в качестве критерия качества биномиального распределения корней (), подтвер-ждают корректность алгоритмического и программного обеспечения синтеза оптимального управления.
Рис. 9.2. Сравнительные динамические характеристики систем управления с регулятором состояния
Контрольные вопросы к лекции № 9.
1. Укажите основные особенности численного решения матричного дифференциального уравнения Риккати?
2. При каких условиях матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое?
3. Какие значения должны принимать коэффициенты обратных связей для «точной» реализации оптимального управления?
ОТВЕТЫ
Интегрирование уравнения Риккати, как правило, выполняется в обратном времени .
Для стационарных систем, в которых A, B, Q, R — коэффициентные матрицы и , матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое
Значения коэффициентов обратных связей должны непрерывно изменяться во времени в соответствии с результатом решения уравнения Риккати .
Дифференциальное уравнение Риккати
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл
Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Свойства уравнения Риккати
1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.
В самом деле, положим
где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем
откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим
Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение Риккати
зная его частное решение .
Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим
Таким образом, общее решение уравнения (4) .
Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка
которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .
2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.
Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество
представим уравнение (1) в виде
Для второго частного решения аналогично находим
Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем
Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.
Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения
Дифференциальное уравнение Риккати
Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.
Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении
Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати: (1) . Пусть известно его частное решение :
Тогда подстановкой уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли: ; ; ; ; . Это уравнение Бернулли с n = 2 .
При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.
Вид общего решения
Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:
И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.
Упрощение уравнения Риккати
Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати: (1) . Подстановкой , где А – постоянная, оно приводится к виду: (2) , где .
Далее, подстановкой
оно приводится к виду: (3) где .
Упрощенное уравнение Риккати
Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида: (4) , где A, B – постоянные. Оно интегрируется при , где – целое.
Покажем это. Сделаем подстановку: ; . Подставляем в (4): . Умножаем на : (5) . Но . Подставляем в (5):
Или (6) где . Уравнение (6) интегрируется при . Для этого разделим его на и перепишем в следующем виде: ; ; . Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.
При уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.
Подстановкой , где , оно преобразуется к виду: .
Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:
Таким образом, при , где n — целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.
Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.