Уравнение ромба на координатной плоскости

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

Уравнение многоугольника

Составление и решение уравнений многоугольников

Скачать:

Предварительный просмотр:

Автор работы: Шпакова Маргарита Андреевна, г.о. Тольятти, МБУ СОШ

Научный руководитель: Владимирова Ольга Ивановна, учитель математики первой категории МБУ СОШ № 58.

В школьном курсе математики учащиеся часто встречаются с алгебраическими уравнениями, уравнениями прямых, уравнениями окружностей, квадратными уравнениями и т.д. Что собой представляют уравнения многоугольников, учащиеся не знают.

Как, например, выглядит уравнение треугольника? Можно ли по фигуре на плоскости составить уравнение? Можно ли рассчитать площадь фигуры по заданному уравнению? Можно ли по заданному уравнению определить, что за многоугольник? Решение этих вопросов меня и заинтересовало. В них есть проблема моей исследовательской работы.

Цель работы: изучить и исследовать на примерах методы, которые дают возможность получить уравнение с модулем любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны. Найти взаимосвязь площади фигуры от ее уравнения.

Основные ЗАДАЧИ исследования:

1. Познакомиться с некоторыми видами уравнений прямых на плоскости (уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости);
2. Научиться составлять уравнение прямой через заданную точку и параллельную другой прямой;
3. Научиться составлять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;
4. Научиться по уравнению строить многоугольник на плоскости и наоборот, по чертежу составлять уравнение многоугольника;
5. Изучить метод областей при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Как известно из курса геометрии, любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида

Подобное уравнение называют линейным. Уравнение такого вида называют также общим уравнением прямой на плоскости.

Если ax+by+c = 0 — уравнение некоторой прямой m, то уравнение ax+by+c = p, где р ≠ 0, задает прямую m`, параллельную m. Это следует из того, что данные два уравнения не имеют общих решений, а значит, прямые не имеют общих точек.

У параллельных прямых

Пример1 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М (1;-2) и параллельной прямой 3x-4y+5=0

Подставляя координаты точки М в левую часть уравнения, получаем значение 16. Значит, искомым уравнением прямой будет 3x+4y+5=16 или окончательно 3x+4y-11=0.

Пусть известны координаты двух точек М 1 (x 1 ;y 2 ), М 2 (x 2 ;y 2 ), лежащих на данной прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0

Пример 2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (3;1) и М 2 (2;2).

Получаем такое уравнение (x-3)(2-1)-(y-1)(2-3)=0

после преобразований выходит х+у-4=0.

Если известны координаты (а;0) и (0;b) точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, то для этой прямой проще всего записать уравнение в отрезках + = 1.

Рассмотрим на координатной плоскости ху треугольник с вершинами в точках А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ). Уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ этого треугольника, можно записать в виде

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0.

Подставим координаты третьей вершины С (х 3 ;у 3 ) в левую часть этого уравнения,

получим некоторое значение

q=(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )

Чтобы понять геометрический смысл числа q, заметим, что уравнение

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 1 )(х 2 -х 1 )=q задает прямую, параллельную стороне АВ данного треугольника. Поэтому для каждой точки этой прямой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения тот же, что и для точки C (х 3 ;у 3 ), и дает число q. Значит, то же значение получится и для точки С 1 (х 4 ;у 1 ) пересечения упомянутой прямой с прямой у=у 1 , параллельной оси абсцисс и проходящей через вершину A треугольника. Но в этой точке

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 2 )(х 2 -х 1 ) = (х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 ). Геометрический смысл последнего выражения понять уже несложно: |(х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 )| площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС 1 . Длина стороны АС 1 равна |х 4 -х 1 |, а длина высоты параллелограмма, опущенной из вершины B на эту сторону, есть |у 2 -у 1 |. Поэтому |q| есть площадь ΔАВС 1 , но она такая же, что и у ΔАВС. В результате приходим к следующей формуле для площади треугольника

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|. (3, стр. 169).

Если треугольник задан в декартовой системе координат и имеет своими вершинами точки А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ), то можно составить уравнение треугольника:

|(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )| + |(x-x 2 )(y 3 -y 2 )-(y-y 2 )(x 3 -x 2 )| +

+ |(x-x 3 )(y 1 -y 3 )—(y-y 3 )(x 1 -x 3 )| = 2S, где

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|.

Пример 3 . Составим уравнение треугольника, изображенного на рисунке. Для этого составим уравнения прямых, которые являются его сторонами, по формуле

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0, задающей уравнение прямой по двум ее точкам. При этом допустимым считаем раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых и недопустимым – умножение обеих частей уравнения на некоторое число (за исключением -1) .

Уравнения сторон имеют вид: х-у+1=0, х+у-1=0, 2у=0. Сложив модули левых частей этих уравнений, и приравняв полученное выражение к удвоенной площади ΔАВС, равной в данном случае 1, приходим к искомому уравнению |x-y+1|+|x+y-1|+2|y|=2.

Описанный метод дает возможность получить уравнение любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.

Уравнение квадрата, ромба

Пример 4 . Составить уравнение квадрата:

|x-1| + |y-1| + |x| + |y| = 1. Площадь равна 1.

Пример 5 . Составить уравнение ромба:

Через точки с координатами (1;0), (0;1) уравнение прямой: x +y -1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;1) уравнение прямой: x – y + 1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;-1) уравнение прямой: x + y + 1 = 0.

Через точки с координатами (0;-1), (1;0) уравнение прямой: -x + y + 1 = 0.

Получили: | x + y — 1| + | x – y + 1| + | x + y + 1| + | -x + y + 1 | = 4.

Этот же ромб имеет другое уравнение: |х| + |у| = 1, которое лучше решать «методом областей». Площадь ромба равна 2.

Пример 6 . Докажите, что уравнения: |x + y| + |x — y| = 2 и |x + 1| + |y + 1| + |x -1| +|y — 1| =4 относятся к одному квадрату.

Первое уравнение лучше решать «методом областей», где вся плоскость разбивается прямыми у =-х и у=х на четыре области, значит, искомая фигура четырехугольник, стороны которого параллельны осям координат. Из уравнений каждой области у=1, х=1и т.д. понимаем, что это квадрат, площадь которого равна 4.

Второе уравнение наглядно изображено, подтверждая первое.

Пример 7. Определить вид многоугольника по уравнениям:

|х| + 3|у| = 6; |х-3| + |у+3| = 3; |х-1| + 7|у| = 1.

Во всех случаях даны уравнения ромба .

Пример 8 . Изобразить на плоскости многоугольник по данному уравнению: |x|+|y|+|x+y|=4.

Из данного уравнения следует, что х=0, у=0, х= -у –прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей.

Найдем уравнение прямой, стороны многоугольника, в каждой из областей:

Уравнение ромба на координатной плоскости

Помощь для выполнения домашнего задания.

1. — прямая. Соответственно, решением неравенства , является полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой.

2. — гипербола, т.к. отсюда . Эта гипербола делит плоскость на 3 (. ) области, поэтому знак неравенства надо проверять в каждой из них.

3. — «лежачая парабола», т.е. парабола, повернутая на 90 по часовой стрелке. Делит плоскость на 2 части (внутри параболы и вне ее.)

4. — окружность с центром в начале координат, радиуса R (где R>0). Решением неравенства является круг (т.е. вся область, лежащая внутри окружности, вместе с границей), а неравенства — область вне круга.

5. — при а > 0 – квадрат с вершинами в точках (а;0), (0; а), (-а; 0), (0; -а). Соответственно, решением неравенства является область внутри квадрата, а неравенства — область вне квадрата.

Преобразования графиков:
1. Чтобы построить график уравнения f(x-a; y-b)=0, надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0, а затем сместить его на а единиц по оси Ох, и на b единиц по оси Оy.
2. Чтобы построить график уравнения , надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Оy (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую левее оси Оy).
3. Чтобы построить график уравнения , надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Ох (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую ниже оси Ох).
4. Соответственно, чтобы построить график уравнения , надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0 (т.е. убрать все модули) в первой четверти, а затем выполнить симметрию этого графика относительно всех осей.
Неравенства с двумя переменными.

Чаще всего для решения используют «метод областей». То есть сначала в неравенстве заменяют знак неравенства на знак «=» и изображают полученный график на координатной плоскости. Затем «методом пробной точки» проверяют знак неравенства в каждой из образовавшихся областей.

Кроме этого, отдельно можно рассмотреть неравенства вида и . Для их решения сначала строят график функции . Тогда решением первого неравенства будут точки, лежащие ниже этого графика, а решением второго, соответственно, точки, лежащие выше.

Можно еще выделить неравенства вида . (Знак неравенства может быть и другим). Чтобы его решить, нужно сплошной линией изобразить график уравнения и пунктирной линией — график уравнения и проверить знак неравенства в каждой получившейся области(выбрав любую точку из каждой области).

Изобразите решение неравенства и определите все значения а, при которых данное неравенство имеет хотя бы одно решение.

Данное неравенство равносильно следующему: .

1. Построим график уравнения .

Для этого сначала построим график уравнения .

а) В свою очередь, для построения этого графика воспользуемся правилом 4 преобразования графиков. Здесь f(x; a) = 5x + 2a . Графиком этого уравнения является прямая, пересекающая оси координат в точках (2, 0 ) и (0, 5). Т.к. мы рассматриваем случай без модулей (т.е. x и y ), то возьмем только часть этой прямой, лежащую в первой четверти.

б) чтобы построить график уравнения , выполним симметрию полученного отрезка относительно всех координатных осей и начала координат. Получим ромб с «центром» в начале координат.

б) Теперь сместим этот график на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Получили график уравнения

1. Видим, что координатная плоскость оказалась разбита на 2 области, внутри ромба и вне его. Видим, что, например, точка (3,-1) принадлежит внутренней области. Подставим ее координаты в неравенство. Убеждаемся, что неравенство в данной точке выполнено. Значит, все точки этой области удовлетворяют неравенству. Для проверки подставим и точку из внешней области в неравенство. Например, это точка (0, 8). При данных значениях переменных неравенство обращается в неверное числовое неравенство, а, значит, никакая точка из внешней области не удовлетворяет неравенству. Окончательно получаем, что решением неравенства является «внутренность» ромба . Показываем это штриховкой.

1. Теперь надо ответить на второй вопрос задачи. Проводя горизонтальные прямые при различных значениях а, видим, что данное неравенство имеет хотя бы одно решение при .

Ответ: данное неравенство имеет решение при

Пример 2. Изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

1. Построим линии, ограничивающие график неравенства. Это будут линии, которые являются изображением множеств тех точек, в которых числитель и знаменатель обращаются в 0. Т.е. построим графики уравнений

(А)

и (Б)

А) Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (2, -3) и радиусом, равным 4 – изображается сплошной линией, т.к. неравенство нестрогое.

Б) График этого уравнения – «лежачая парабола», опущенная на 1 единицу вниз – изображается пунктирной линией в силу область определения неравенства.

2. Пусть , . Тогда наше неравенство принимает вид .

Окружность и парабола разбивают координатную плоскость на 4 области.

Заметим, что область внутри окружности соответствует неравенству , т.е. . Область вне окружности – неравенству , т.е. .

Аналогично, область «внутри», или правее параболы соответствует неравенству или , а область «вне», или левее параболы – неравенству или .

3. Выясним, какой знак принимает дробь в каждой из областей.

Точки, принадлежащие области I, лежат внутри параболы, но вне круга, значит, для этих точек выполняется и . Значит, для всех этих точек выполняется , и область I является решением неравенства.

В области II , но , значит, и неравенство здесь не выполняется.

В области III и , тогда . Значит, область III тоже входит в решение неравенства.

И, наконец, в области IV и , т.е. дробь неположительна и неравенство не выполнено.

Таким образом, решением неравенства является объединение областей I и III.

Соответственно, решением неравенства, является полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой

23 09 2014
1 стр.

Обоснование выбора темы: Варианты решений часто встречающихся уравнений с модулями

15 09 2014
1 стр.

Панель графики содержит для создания объектов, позволяющих составить графическое произведение

08 10 2014
1 стр.

Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений

13 10 2014
1 стр.

Преобразование целых выражений. Системы линейных уравнений. Решение уравнений и задач. Признаки равенства треугольников. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Сумма уг

26 09 2014
5 стр.

Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений

11 10 2014
4 стр.

С 01 декабря по 15 декабря 2011 года в мбоу мук для учащихся 5-11 классов проводился виртуальный конкурс компьютерной графики «Пиксель-арт»

26 09 2014
1 стр.

Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов и эквивалентного источника). Машинный метод решения