Уравнение с дробями 5 класс смешанные числа

Как решать смешанные числа 5 класс. Дроби 5 класс вычитание и сложение смешанных чисел

Примеры с целой частью и дробным остатком заставляют паниковать любого ребенка. На первый взгляд они совершенно непонятные. Изучая их, следует понять какие из них будут правильными, а какие нет. Так же необходимо научиться вынимать из дробей целые числа, делать перевод смешанных чисел.

Смешанные числа объяснение 5 класс

Дробь мы получаем при делении, когда в конце остается остаток.

• Если не выделяется целое число, верхняя часть меньше нижней, значит мы получили правильную дробь.
• Если выделяется целое и остаток, значит мы получили ответ со смешанным числом.

В учебниках пятиклассник будет видеть следующие образцы смешанных чисел.

Видео: «Математика 5 класс. Смешанные числа»

Видеоурок: «Смешанные числа математика 5 класс»

Правильные и неправильные дроби смешанные числа

При решение определенного задания пятикласснику следует, в первую очередь, обратить внимание на запись дробей.

Если нижние цифры под черточкой меньше верхних, значит, в данном примере мы имеем правильную дробь. Из нее нет возможности что-то выделить, так как она меньше целого числа.

Если верхние цифры больше нижних, значит, в данном примере, мы имеем неправильную дробь. Которая при чтении ответа читается как смешанное число. В этот раз мы можем получить целое число с остатком.

Видео: «Правильные и неправильные дроби»

Видео: «Правильные и неправильные дроби примеры»

Правила сложения и вычитания смешанных чисел

При выполнении математических заданий, пятикласснику изначально необходимо будет из смешанного числа сделать неправильную дробь. После этого выполняется суммирование, либо вычитание.

Если в задании будут два целых числа, а в дробном остатке одинаковый цифры снизу под черточкой, перевод можно не делать. Изначально суммируют или вычитают целые числа, а затем дробную часть.

При решении заданий можно перевести число в неправильную дробь, затем суммировать. Завершающим этапом станет выделение целого числа и остатка.

Задания с вычитанием так же могут быть выполнены в двух вариантах.

Видео: «Сложение и вычитание смешанных чисел»

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Изо всех неправильных дробей в заданиях можно выделить целые числа и остаток. Для этого проводим следующее действие:

Можно пойти другим путем, минуя столбик. Будем использовать умножение и вычитание.

Видео: «Преобразование неправильной дроби в смешанную»

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Для того, чтобы быстро и безошибочно разобраться с заданием, нужно провести преобразование.

Имеет место более короткий вариант, без расписания многочисленных действий.

Существует формула, которую необходимо выучить пятикласснику.

Обозначение букв следующее:

• «a» целое натуральное число.
• «b» числитель.
• «c» знаменатель.

Видео: «Перевод смешанного числа в неправильную дробь»

PS: Разложив по полочкам последовательность раскладывания дроби и из чего она состоит, ваш школьник без особых усилий сможет разобраться с любым заданием где есть дроби.

Примеры работы со смешанными дробями (математика, 5 класс)

При решении задач ученики сталкиваются в математике 5 класса с примерами смешанных дробей, которые необходимо переводить в неправильные дробные тождества. Не зная соответствующего алгоритма, осуществить это действие невозможно. Кроме того, большинству не совсем понятна школьная программа. Специалисты, учитывая особенности головного мозга ребенка, разработали собственную методику.

Общие сведения

Смешанная дробь — число, состоящее из целого значения и обыкновенного дробного выражения. Они образуются в результате операции деления. Последняя состоит из трех элементов, а именно: делимого, делителя и частного. Чтобы понять смысл смешанного числа, нужно разобрать дробные величины. К ним относятся следующие виды:

Обыкновенная дробь образуется посредством комбинации делимого и делителя, т. е. состоит всего из двух элементов. В этом случае частное имеет вид десятичного дробного тождества. Иными словами, десятичная дробь — величина, полученная при делении числителя на знаменатель.

Обыкновенные дробные выражения бывают двух видов: правильными и неправильными. У первых величина числителя меньше знаменателя, а у вторых — наоборот. Десятичные дроби делятся на 3 типа: с фиксированным количеством знаков после запятой, бесконечные периодические и непериодические.

У периодических дробных величин после запятой математические символы повторяются через определенный период, который указывается в круглых скобках. Например, число 4,(3) читается следующим образом: четыре целых и три в периоде.

Если дробное тождество является непериодическим и бесконечным, обычно его необходимо округлять до какого-либо элемента или записывать в виде обыкновенной дроби.

Следует отметить, что бесконечные непериодические дробные выражения в их полном виде невозможно записать на листе бумаги, поскольку количество разрядов достигает бесконечности. Далее необходимо рассмотреть сокращение дробей, поскольку операция применяется для оптимизации конвертации неправильного дробного тождества в смешанное число.

Свойства дробей

Дроби, как и любые числовые выражения, обладают определенными свойствами. К ним относятся:

1. Если от числителя отнять одно значение, а затем его прибавить, дробь не изменится, т. е. (Q+T-T)/Z=Q/Z.
2. При умножении и делении на эквивалентное число величина дробного тождества не изменится, т. е. (Q*T)/(Z*Т)=Q/Z.

Первое утверждение проверить очень просто. Для этой цели нужно решить следующий пример, прибавив и отняв от числителя одно и то же значение: 7/8. Доказательство имеет такой вид:

1. Записать дробь: 7/8.
2. Взять произвольный коэффициент: 5.
3. Отнять, а затем прибавить его к числителю: (7−5+5)/8.
4. Числа «-5» и «5» являются противоположными. Их сумма равна 0, т. е. 5−5=0.
5. Если прибавить нуль к любому числу, получится искомая величина: 5+0=5.
6. Математические преобразования исходной дроби: (7−5+5)/8=[7-(5−5)]/8=(7+0)/8.
7. Результат совпадает с искомым значением: 7/8=7/8.

Второе утверждение доказывается таким же простым способом на дроби ½. Для этого нужно решить пример (1*8)/(2*8) по следующему нестандартному алгоритму:

1. Записать дробное тождество: ½.
2. Коэффициент — общий множитель: 8. Последний необходимо представить в виде обыкновенной дроби: 8/8.
3. Величина «8/8» эквивалентна единице, которую можно умножить на любое число без потери значения выражения.
4. Расписать дробное значение: (½) * (8/8) = (½) * 1 = ½.
5. Сравнить результат и исходное значение: ½ = ½.
6. Утверждение доказано.

Некоторые ученики делают большую ошибку, отнимая (прибавляя) к числителю и знаменателю одну величину. Чтобы они не путали 2 утверждения сокращения, нужно привести пример и решить его:

1. Вынесения общего множителя за скобки и сокращение на него.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Приведение подобных слагаемых.

Первое правило позволяет найти единый множитель всего дробного выражения. После этого его можно будет разделить на одно и то же число. Формулы сокращенного умножения применяются также для реализации первого правила. Суть метода заключается в использовании специальных соотношений. Например, математическое выражение «1−25t 2 » выглядит таким образом: (1−5t)(1+5t).

После раскрытия скобок реализовывается третье правило — приведение подобных слагаемых. Они группируются по наличию однотипных элементов. Например, выражение 4t-4+t+t 2 −3+2t 2 имеет следующие одинаковые компоненты, которые группируются в скобках: (2t 2 +t 2 )+(4t+t)-(4+3). Если приводить подобные элементы, выражение упрощается, т. е. 3t 2 +5t-7.

Действия над смешанными числами

Смешанное число — математическое выражение, в состав которого входят целая величина и обыкновенная правильная дробь. Например, 7[1/3] является смешанным, целая часть — 7 и дробная — 1/3. Последняя заключается в квадратные скобки. В смешанное выражение могут конвертироваться только целые числа и неправильные дроби.

Для каждого вида конвертации существует определенная методика. Специалисты предлагают только 2 алгоритма преобразования:

1. Целого числа.
2. Неправильной дроби.

В первом случае операция выполняется довольно просто. Однако начинающим математикам рекомендуется пока придерживаться методики. Неправильную дробь необходимо конвертировать по усложненному алгоритму при помощи специальной формулы. Последняя формирует новый числитель.

Представление целой величины

Необязательно исходным значением может быть неправильная дробь. Каждое целое число можно представить в виде смешанного при помощи такого алгоритма:

1. Записать величину.
2. Отнять от целой части единицу.
3. Указать в скобках дробь — единичное значение.
4. Написать результат.

Реализация методики выполняется на примере числа 7, которое нужно представить в смешанной форме. Операция выглядит таким образом:

1. Записать число: 7.
2. Величина без учета единицы: 6.
3. Дробь: 2/2.
4. Полная запись: 6[2/2].

Результат необходимо проверять. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель, т. е. (6*2+2)/2=14/2. Если выполнить операцию деления, получится исходное значение.

Конвертация неправильного дробного тождества

В случае конвертации числа, представленного в виде обыкновенной дроби, необходимо воспользоваться определенным алгоритмом. Он выглядит таким образом:

1. Записать число смешанного типа.
2. Выделить целую часть.
3. Рассчитать «новый» числитель по формуле: Q’=Q-C*Z, где Q — искомая величина числителя, C — целое число и Z — знаменатель.
4. Результат: Q’/Z.

Реализацию алгоритма нужно разобрать на примере «78/7» для закрепления теоретических знаний. Решать его нужно следующим образом:

1. Записать значение: 78/7.
2. Выделить целое значение (часть): 78/7=11.
3. Найти величину нового числителя: 78−11*7=1, где 78 — числитель искомой неправильной дроби, 7 — ее знаменатель и 11 — целая часть.
4. Написать результат: 11[1/7].

Специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения четко следовать методике. Со временем надобность в ней исчезнет, поскольку операция преобразования будет выполняться на автоматизме. Далее необходимо разобрать алгоритм обратной конвертации.

Обратная операция

Для проверки правильности конвертации неправильной дроби в смешанное число или решения задач необходимо воспользоваться специальным алгоритмом. Он имеет следующий вид:

1. Записать смешанное тождество.
2. Вычислить величину нового числителя: Q=Q’+C*Z, где Q’ — исходная величина числителя, C — целое значение и Z — знаменатель.
3. Записать результат: Q/Z.

Чтобы понять принцип работы алгоритма, необходимо разобрать пример 11[1/7]. Он должен решаться таким способом:

1. Написать смешанное тождество: 11[1/7].
2. Числитель: 11*7+1=78.
3. Искомый результат: 78/7.

При помощи этого алгоритма можно осуществлять операцию преобразования в целое число.

Таким образом, смешанное число — вид дробного выражения, которое применяется при решении задач. Для его конвертации необходимо знать соответствующие методики.

Смешанные числа

Содержание

Знакомство со смешанными числами

Если мы делим на четверых три яблока, то каждый получит дробное число яблок, $\frac<3><4>$.

А что будет, если мы будем делить на четверых 5 яблок?

Можно так же разрезать каждое яблоко на 4 кусочка, и каждый возьмёт 5 четвертинок. Но обычно делают не так.

Каждый человек может взять по одному яблоку, а оставшееся уже нужно будет разрезать на 4 части и поделить поровну. Каждый при этом получит столько же яблок, сколько и в том случае, как если бы получил $\frac<5><4>$, но у каждого будет $1+\frac<1><4>$ яблока.

Сумму целого числа и дроби записывают без плюса, вот так: $$1\frac<1><4>$$

Читается это как «Одна целая одна четвёртая». Подобную запись (целое число и дробь) называют «смешанной», а само число – «смешанным числом». Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной.

Выделение смешанного числа из неправильной дроби

Как думаете, из любой дроби можно сделать смешанное число?

Нет, только из неправильной дроби. В правильной дроби просто «не хватает» долей числа на то, чтобы из них получилась целая часть.

А как из неправильной дроби выделить целую часть? Можете попробовать объяснить, как это сделать, на примере $\frac<11><5>$?

Нужно разделить 11 на 5, 11 на 5 не делится, берём ближайшее число – 10.

У нас получится 2 и ещё 1 в остатке. Записываем 2 целые, а 1 : 5 запишем в виде дроби: $$\frac<1><5>$$

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1) разделить числитель на знаменатель
2) если деление произошло без остатка, результатом будет целое число, если же деление прошло с остатком, то неполное частное будет целой частью. Остаток становится числителем, а делитель — знаменателем дробной части.

Превращение смешанной дроби в неправильную дробь

А если нам нужно, наоборот, превратить смешанную дробь в неправильную?

Сначала нам нужно представить целую часть в виде дроби с таким же знаменателем, как у дробной части, а потом сложить получившуюся дробь с дробной частью.

Разберём на примере.

Чтобы представить смешанное число в виде дробной части, надо:
1) умножить целую часть дроби на знаменатель дробной части
2) прибавить получившееся произведение к числителю дробной части. Знаменатель оставить без изменения.

Буквами это можно записать так:

Лена, Марина и Никита делили несколько шоколадок поровну: каждому дали по шоколадке, а оставшуюся лишнюю разделили на 3 части. Но Никита сказал, что шоколадки-то одинаковые по размеру, но что, если они все с разными вкусами? Честнее и интереснее будет разломить каждую шоколадку на 3 части, а потом каждый возьмёт себе равное количество частей.

Можете сказать, сколько частей шоколадки было у каждого? А сколько всего частей шоколадок у них получилось? И сколько целых шоколадок было в начале?

Каждому ребёнку досталось $1$ $ \frac<1><3>$ шоколадки. Переведём эту дробь в неправильную. У нас получится:

Получается, что каждый взял по 4 части.

А когда шоколадки разломили на кусочки, сколько получилось?

Всего у троих детей было $1 \frac<1> <3>+ 1 \frac<1> <3>+ 1 \frac<1> <3>$ шоколадок. Это $3\frac<3><3>$. Переведём в неправильную дробь. $$\frac<3 \cdot 3 + 3> <3>= \frac<12><3>$$

То есть у них получилось 12 третьих частей шоколадки.

В начале у них было $12 : 3 = 4$ шоколадки. Также это можно посчитать по-другому: $3 \frac<3> <3>= 3 + \frac<3> <3>= 3 + 1 = 4 $