Решение уравнений с двумя неизвестными
В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Определение
Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.
Ниже приведены несколько примеров:
Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач
Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.
Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.
При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).
Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.
У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9
Приведем исходное равенство к следующему виду:
В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.
При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.
Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.
Оба равенства равносильны.
Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.
Оба уравнения также равносильны.
Система уравнений с двумя неизвестными
Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.
Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.
Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
- Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
- Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
- Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
- Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
- Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
- Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
- Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
- Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
- Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
- Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.
При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.
В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.
Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео
Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.
Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
---|---|
Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Уравнение с двумя переменными. 6-й класс
Разделы: Математика
Класс: 6
Цели:
- углубление и расширение знаний по предмету;
- развитие математического кругозора, логического мышления;
- стимулирование устойчивого интереса к математике.
Задачи:
- развитие математических способностей и логического мышления;
- развитие познавательного интереса, умение применять полученные знания в нестандартных задачах.
Каждый год в школе проводится олимпиада по математике. Задачи, которые предлагают на олимпиадах разного уровня, чаще всего являются нестандартными. Для их решения нужно уметь использовать материал школьной программы в нестандартных, непривычных для ребенка ситуациях. Внеурочная деятельность по предмету позволяет учителю решать этот вопрос. Чем раньше удается сформировать у учащихся интерес к предмету, тем глубже будут знания. А радость от полученного решения трудной нестандартной задачи будет велика.
Среди тем, предлагаемых для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, есть задачи, которые можно свести к уравнению с несколькими переменными. В них число переменных меньше, чем число уравнений. Это вызывает определенную трудность. С другой стороны, учащиеся в 5-6 классе не владеют в нужной мере методами решения уравнений и систем. Обычно решению помогают некоторые дополнительные условия, сформулированные в задаче. Речь идет о заданиях, в которых надо решить уравнение в целых или натуральных числах.
В этой работе мы рассмотрим задачи для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, которые сводятся к уравнению с двумя переменными (неопределенные уравнения) и методы их решения.
1. Использование понятия НОД (наибольший общий делитель)
Задача. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько яблок и апельсинов было в каждом подарке?
Решение. Все подарки одинаковые, т.е. в каждом одинаковое число апельсинов и яблок. Надо найти наибольшее целое число, на которое делятся числа 123 и 82. 123 = 3 . 41, 82 = 2 . 41. Получаем, что ребят на елке было 41 человек. В каждом подарке было: 123 : 41 = 3 апельсина и 82 : 41 = 2 яблока.
Ответ: 41 ребенок, 2 яблока и 3 апельсина
2. Признаки делимости при решении задач
Задача. Можно ли разменять 100 р., имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего было 29 купюр?
Решение. Пусть в размене участвуют х рублевых, у трехрублевых и z пятирублевых купюр, х + у + z =29, х + 3у + 5z = 100. Записав это равенство в виде (х + у + z) + (2у + 4z) = 100, заключаем, что х + у + z = 29 – четное число, т.к. числа 100 и 2у + 4z – четные числа. Следовательно, нельзя разменять 100 р с помощью 29 купюр достоинством в 1р, 3 р, 5р.
Задача. Решите в натуральных числах х и у уравнение 22х + 13у = 1000.
Решение. Из уравнения видно, что число у должно быть четным. Кроме того, так как 22х + 13у > 13у, то 1000 > 13у, > у, 76 > у. Следовательно, 2 . 16 + 1 = 33, а 33 делится на 11. Очередное значение у больше 16 не на 11, а на 22. Значит, у = 38; далее у = 38 + 22 = 60. Для каждого из значений у = 16, 38, 60 вычислим соответствующее значение х.
3. Свойства уравнений
Учащиеся 5 класса и большую часть 6 класса не владеют правилом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Это осложняет решения задачи, сводящейся к уравнению вида ах + ву = с. Поэтому разумно на примере чашечных весов познакомить детей с некоторыми свойствами уравнений.
Свойство: Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.
Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение. Пусть в клетке х фазанов и у кроликов. Тогда общее число зверей х + у= 35. У фазанов по 2 ноги, т.е. 2х ног у всех фазанов. У кроликов по 4 лапы, т.е. 4у лап у всех кроликов. Найдем общее число лап 2х + 4у = 94.
Попробуем решить это уравнение, используя знание материала 5 класса.
Запишем уравнение 2х + 4у = 94 в виде: 2х + 2у + 2у = 94, 2(х + у) + 2у = 94. Воспользуемся заменой выражения х + у на тождественно равное х + у = 35. Получим: 2 . 35 + 2у = 94, 70 + 2у = 94, 2у = 24, у = 12, тогда х = 23.
Ответ: было 23 фазана и 12 кроликов.
4. Метод перебора
Этот метод применяется в задачах, при решении которых, приходится перебирать различные варианты. Применяется он в основном тогда, когда искомые величины могут быть только целыми числами, а множество всех таких значений конечно.
Нередко в задачах используется свойство делимости целых чисел, а метод перебора выступает в виде составной части решения.
Задача. Дети собирали макулатуру. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а каждая девочка по 15 кг. Всего дети собрали 174 кг. Сколько мальчиков и девочек собирали макулатуру?
Решение. Пусть девочек было х человек, а мальчиков у. Составим уравнение 15х + 21у = 174.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami
http://urok.1sept.ru/articles/661731