Уравнение с двумя неизвестными фанфики

Уравнение с двумя неизвестными (СИ)

— Ну что, деточки, — довольно молодой мужчина, едва за тридцать, в двух футболках, одна поверх другой, и драных плебейских джинсах, стянул свои длинные светлые волосы в низкий хвост и окинул взглядом полусонную аудиторию. — Открываем тетрадочки и пишем под диктовочку…

— А что Вы с нами как с маленькими разговариваете? – раздался возмущённый голос с первых рядов.

Мужчина покосился на дерзнувшую. Симпатичная девушка. Ухоженная, голубоглазая, смазливенькая. Подобранная наверх заколками чёлка открывает аккуратный лобик. Тонкие пальчики с французским маникюром нервно теребят гламурную розовую ручку с пёрышками неведомой науке птицы. Край задравшейся по самое не хочу юбчонки зарубает на корню любой полёт фантазии. Самое оно для передовицы журнала о зайчиках. Здесь-то что забыла?

— Машенька… — протянул он. — Всем стоять, слушать новую команду. Машенька идёт к доске и пишет под диктовку. Все остальные сосредоточенно внимают.

— Я не Маша! – возмутилась девушка. — Пора бы Вам, Эдуард Викторович, уже запомнить своих студентов в лицо!

— На кой хрен? – искренне удивился преподаватель. — Мне за это деньги не платят.

— А за что? – не унималась та, что не Машенька. — Вы здесь, чтобы нести знания! Вы должны обучать нас…

— С фига ли я кому чего должен? – вскинулась вверх пирсингованная бровь. — Я здесь, чтобы в тиши и покое своей лаборатории вникать в священные тайны мироздания. А вы так, досадное недоразумение…

— Да что Вы себе позволяете?! – вскочили на задних рядах ещё двое парней. — Сколько можно терпеть Ваше хамство?! Мы декану будем жаловаться! Да, ребята? Прямо сейчас и пойдём!

— Ой, напугали ежа голой жопой… — буркнул хам себе под нос и уже громче добавил вслед вылетавшей из аудитории группе студентов: — Не забудьте передать декану пламенный привет! Ну что ж… Машенька ушла, её заменит другая Машенька, — ткнул он пальцем в соседку обидевшейся девушки.

— Да мне пофиг, — зевнул он. — К доске!

В этот раз он, видимо, и в самом деле перегнул палку. А может, сегодня была та самая последняя капля, переполнившая казавшуюся бездонной чашу терпения его подопечных. Как бы там ни было, мейл от ассистента декана с настойчивым предложением явиться на казнь незамедлительно по прочтении уже ждал его, стоило только открыть комп в лаборатории.

— Да! – мужчина резко прижал руку локтём к животу в ультимативном похабном жесте и со счастливой улыбкой, абсолютно необъяснимой в сложившихся обстоятельствах, пропел: — Я свободе-е-ен, словно птица в небесах!

Деканат факультета физики располагался в том же здании, что и аудитории, только тремя этажами выше. Добраться до святая святых оказалось делом нескольких минут, да Эдуард и не пытался отложить экзекуцию, летя навстречу намечающейся головомойке, как на крыльях. Со стороны это, наверное, выглядело странным, но всему было своё логичное и исключительно рациональное объяснение.

— У себя? – кивнул он рыжему пареньку, сидящему за столом секретаря в приёмной.

— С каких пор по четвергам он у себя? – буркнул рыжий, не отрываясь от бумаг.

— А… — дело, казавшееся на мази, неожиданно осложнилось. — А кто меня тогда вызывал?

— Проблемы с головой влияют на зрение? – ехидно посочувствовал парень, поднимая на него, наконец, глаза. — Надень очки и перечитай. Я вызывал.

— Жопа, — констатировал Эдуард и тяжело рухнул в кресло для посетителей.

Ассистент декана, Иннокентий Рыжий, которого все почему-то называли Сенечка, внешне как нельзя лучше соответствовал своему имени. Невысокий хрупкий паренёк, обладатель короткого ёжика тёмных ржаво-медных, чуть курчавых волос, полных чувственных губ, будто готовых в любой момент задрожать в еле сдерживаемом плаче, честных-пречестных глаз цвета бездонного весеннего неба и бледной полупрозрачной кожи. Россыпь крупных ярких веснушек на лице и руках завершала образ этого “мальчика-колокольчика”. Случайные посетители в его присутствии неизменно глупо улыбались, старались говорить исключительно вежливо и не повышать голоса, дабы не ранить тонкую душевную организацию этого “цветочка”.

Эдуард при виде сей чудной картинки с силой сжал кулаки и начал считать про себя до десяти, стараясь подавить зарождавшееся бешенство. А всё потому, что он, в отличие от тех, случайных, знал Сенечку, как облупленного, вот уже несколько лет. Начнём с того, что “хрупкий паренёк” был старше него самого года на три-четыре, по характеру принадлежал скорее серпентарию, чем оранжерее, а мысль о том, что эту гадюку можно довести до слёз вообще отдавала бредом с уклоном в мазохизм.

Их яркое и вполне взаимное чувство с красивым звучным названием “ненависть” уходило корнями в тот далёкий дождливый сентябрьский день, когда совсем ещё молодой и зелёный аспирант Эдуард Остапов впервые появился в деканате. Бледнея и дрожа перед встречей с деканом, наслышанный о тяжёлом характере последнего, он обратился к крутившемуся по приёмной миловидному пареньку:

— Простите, пожалуйста, — прошептал он ссохшимися губами. — А можно мне воды?

— Я тебе врач, что ли? – мгновенно вызверился на него тот. — Откуда я знаю, можно тебе воду или нет?

С тех пор прошло несколько лет. Самый юный аспирант кафедры квантовой физики превратился в её же самого юного доктора наук. Вырос, заматерел, пообтёрся, и только рыжий аспид всё так же выводил его из себя одним своим видом.

— Я тебе уже говорил, — взяв себя в руки, непререкаемым тоном заявил Остапов. — Я. Преподавать. Не буду!

— Будешь, Дик, будешь… — сузились небесные глаза напротив.

— А куда ты денешься с подводной лодки, голубчик? – ехидный гад издевательски хмыкнул и попытался вернуться к своим бумагам.

— Не буду! – гнул своё Остапов. — Тебе же приходили жаловаться на меня сегодня? Ведь приходили же? Произвол преподавателя должен быть наказан!

— О… Не переживай на этот счёт, — секретарь похлопал его по сжатой в кулак руке и, наклонившись вперёд, доверительно прошептал: — Я уговорил деток дать тебе ещё один шанс.

— Ты не имеешь права не визировать жалобу, — всё же попытался настоять Эдуард.

— Ой, эти студенты, — отмахнулся тот. — Вечно всё напутают. То не в ту аудиторию придут, то жалобу не в письменном виде подадут…

— Сеня… Сеня, скажи мне честно, тебе детей не жалко? Их же учить надо…

— Рад, что ты это понимаешь, — Сенечка выудил откуда-то из-под стола расписание пар. — У меня как раз препода не хватает на факультатив по лазерам.

— Совсем сдурел, сука? – взвился физик. — Какую букву в слове “нет” ты не понял?

— Во-первых, — задумчиво протянул рыжий, абсолютно не впечатлённый гневной тирадой, — не сука, а кобель. А, во-вторых, смирись, Дик. Расслабься и получай удовольствие, как остальные.

— Какие остальные? На кафедре есть три профессора. Профессора! Двое из них вообще не преподают, а третий ведёт только какой-то вшивый факультатив…

— Уже не ведёт, — потряс тот у него перед носом расписанием. — И вообще, гордись. Ты лучший, поэтому я тебя и поставил.

— Вру, — ни капельки не смущаясь, согласился Сенечка. — Я тебя поставил, поскольку у нас диктатура.

— А будешь возмущаться, — добавил он. — Я тебе-таки впарю этот грёбаный факультатив, и тогда ты свою любимую лабораторию будешь видеть только по большим праздникам, когда я в отпуске!

Два аналитика, два неизвестных, две минуты

Задачка на математику и логику.

Нерадивый эйчар получил задание прособеседовать двоих кандидатов на должность аналитика. Он случайно назначил две встречи на одно время, кандидаты пришли. Ну и глупо: не будешь же ты их собеседовать одновременно.

Эйчар сделал вид, что всё так и задумано, и предложил кандидатам интеллектуальный поединок. Он быстро на бумажке что-то посчитал, а потом сказал:

Предлагаю вам решить вот это уравнение с двумя неизвестными.
Неизвестные m и n — целые положительные числа.
Кто даст правильный ответ первым, тот проходит на следующий этап собеседования.

Один аналитик решил блеснуть своими навыками автоматизации. Он открыл ноутбук и стал писать программу, которая мгновенно нашла бы нужные корни.

А второй закатил глаза, написал на листке ответ, отдал его эйчару и красиво ушёл. И вот эйчар сидит и не понимает, как второму это удалось. А правда, как?

Есть два стандартных подхода к решению этого уравнения: алгебраическое и через сравнения соотношений. Оба требуют обстоятельных разъяснений каждого действия.

Но есть и третье решение, которое намного проще — нужно лишь внимательно посмотреть на формулу и подключить здравый смысл. Так и сделаем.

У нас есть два выражения в скобках, произведение которых даёт 19.
В первых скобках число точно больше 5, потому что там сумма пяти с чем-то другим.

Если мы разделим 19 просто на 5, то получим 3,8 — это самое большое, что может быть во вторых скобках, потому что чем больше значение в первых скобках, то тем меньше значение во вторых.

Самое большое значение, которое может быть в первых скобках — 8, когда m = 1. Это значит, что самое маленькое значение во вторых скобках — 19 / 8 = 2,375.

🤔 Получается, что значение вторых скобок лежит в диапазоне от 2,375 до 3,8.

Так как в скобках прибавляется 1/2, то отнимем её и от вторых скобок, и от диапазона. Получается так:

Единственные два целых числа, которые сюда подходят — это 2 и 3. Проверим их по очереди, подставив в исходное уравнение.

Если n = 2, то вторые скобки равны 2,5, и получается, что:

3/m = 2,6 → m = 1,15. Но так быть не может — по условию числа должны быть целыми.

Значит, остаётся только n = 3. Давайте проверим:

(5 + 3/m) × 3,5 = 19, но 3,5 — это 7/2, поэтому (5 + 3/m) × (7/2) = 19

5 × 3/m = 19 / (7/2) = (19 × 2) / 7 = 38/7

3/m = 38/7 — 5 = 38/7 — 35/5 (потому что 5 = 35/7)

Вот мы и нашли ответ без второго уравнения: m = 7, n = 3.

Короче: секрет был в том, чтобы обратить внимание на число 5 и условия задачи.

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

воспитание познавательного интереса к учебному предмету
формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

а) =>

б) =>

в) =>

г) =>

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

а)


2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит

2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

б)

в)

Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

а) 8x + 65y = 81	x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183	x = 4, y = 5

3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

а) x + y = xy	(0;0), (2;2)
б)	(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

Число 3 можно разложить на множители:

б)

в)

г)

в)	(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)	(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)	(48;0), (24;1), (24;-1)
е)	x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1	x = m: y = 2m – 1, m Z
з)	x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)	решений нет

4) Решить уравнения в целых числах

	(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5	(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3	(0;-4), (1;-2), (1;2)
	(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
	(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
	(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)