Конспект урока по алгебре для 9-го класса на тему «Уравнение с двумя переменными и его график»
Конспект урока разработан в полном соответствии с требованиями ФГОС
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре для 9-го класса на тему «Уравнение с двумя переменными и его график»»
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Дагнинская основная общеобразовательная школа»
с. Дагни Табасаранского района Республики Дагестан
Урок математики в 9-ом классе по теме:
«Уравнение с двумя переменными и его график».
высшей квалификационной категории
Шахбанов Эскер Алифович
2020-2021 учебный год
Тема урока: Уравнение с двумя переменными и его график.
Цели урока: — обобщить и углубить сведения по теме урока;
— сформировать навыки построения графика уравнений и составление уравнений, графиками которых являются пара прямых;
— развивать логическое мышление;
— воспитание культуры графического построения уравнений.
Цели для учащихся:
— определить, является ли пара чисел решением уравнения;
— устанавливать соответствия между графиком уравнения и его уравнением;
— совершенствовать навыки построения графика уравнения (гипербола, окружность).
Оборудование: раздаточный материал, презентация.
Устная работа. Актуализация знаний:
Ребята, вспомним, что вы уже знаете по этой теме:
Что называется графиком уравнения? (Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство)
Какая фигура является графиком уравнения?
а) 2х = 5 + 3у; б) 6х 2 – 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = – х 2 – у;
г) (х – 1,5)(у – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9 ?
ответ: а) прямая; б) парабола ветви которой направлены вверх; в) парабола ветви которой направлены вниз; г) две прямые х=1,5 и у=4; д) гипербола, в 1 и 3 координатных четвертях; е) окружность, с центром в начале координат, радиусом равным 3.
Определите степень уравнения:
а) 2х 2 – 3х 3 +4х = 2; б) 5у 4 – 3у 3 х 2 + 2х 3 = 0;
в) (3х 2 +х)(4х – у 2 ) = х; г) (2у – х 2 ) 2 = х(х 2 + 4ху + 1)
ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.
Скажите пожалуйста, как вы определяли степень уравнения? (Степень уравнения с двумя переменными определяется так же, как степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая – число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена).
Что называется решение уравнения? (Решение уравнения с двумя переменными называется пара значений уравнений, обращающая это уравнение в верное равенство).
Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4), (3;-3) являются решениями уравнения:
а) х 2 – у 2 = 0; б) х 3 – 1 = х 2 у +6у.
Закрепление изучаемой темы:
Работа по учебнику: №402(а,г) – построить график уравнения; №403 – какая фигура является графиком уравнения? с.107-108.
Выполним задания из материалов подготовки к ОГЭ МАТЕМАТИКА – типовые экзаменационные варианты авт. И.В.Ященко, (задания находятся под №5 Варинаты№№11,18,21,22) – раздаточный материал для работы в парах.
4. Самостоятельная работа – контроль знаний по теме:
проверим, чему мы научились.
1. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:
а) х + у -5х = 0; б) х — у – 1 = 0.
2. Установите соответствие между функциями и их графиками:
у у у у
1
0 х 0 х 0 х 0 3 х
-1
А ) у = -х; Б) у = –1; В) у = 1; Г) х = 3.
3. Постройте график уравнения: х – 2 – у = 0.
1. Является ли пара чисел (-3;1) решением уравнения:
а) х — у — 8 = 0; б) х + у – 4 = – 1.
2. Установите соответствие между функциями и их графиками:
у у у у
0 х –2 0 х 0 х 0 х
А ) у = х; Б) у = –3; В) у = 1; Г) х = –2.
Конспект урока по алгебре для 9 класса на тему «Решение уравнений с двумя переменными»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Учитель физики и математики — Давиденко Н. И.
Алгебра. 9 класс
Урок № 45/3 Дата 20.12.18 г
Тема урока Решение уравнений с двумя переменными
Обучающие : выработать умения находить решения уравнений с двумя переменными , читать графики уравнений с двумя переменными.
Развивающие : развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся;
— создать условия для проявления познавательной активности учащихся;
— развивать коммуникативную и информационную компетенцию учащихся;
развивать вычислительную технику , мыслительную активность, интерес к предмету , способствовать формированию ключевых понятий , выполнение заданий различного уровня сложности.
Воспитывающие : воспитывать внимательность, аккуратность, умение чётко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, работу в группе и парах.
Оборудование : мультимедийный проектор, презентации учителя и учащихся, карточки (лист самооценки, ответы для самопроверки, задача для домашнего задания), портрет Диофанта, эпиграфы к уроку, раздаточный материал «Создай новогоднее настроение», ребусы.
Алгебра 9 класс. Учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2016.
Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления).
1) Организационный этап.
2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.
3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .
4) Первичное закрепление
в знакомой ситуации (типовые)
в изменённой ситуации (конструктивные)
5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)
6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
7) Рефлексия (подведение итогов занятия)
— Прекрасное зимнее утро (слайд 2)
. Ещё один чудесный день начинает свой путь, начнем свой путь и мы.
— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!
— Эпиграф к уроку: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле» Аристотель . (слайд 3)
-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям, а контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе (слайд 4)
Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний .
Дома вам нужно было выполнить №395, №397 и решить старинную задачу: «В клетке сидели фазаны и кролики. У них всего было 94 лапки и 35 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?»
Давайте проверим правильно ли вы его выполнили (слайд 5 ) +презентация учащихся «Старинная задача»
Оценили выполнение домашней работы в листе самооценки.
2.1.Фронтальный опрос правил и определений по теме урока. В параллели проводится индивидуальная работа с учащимися, имеющими слабую мотивацию к учебе. (Два человека у доски решают №396 (а, б) учебника стр 111)
Ну, а теперь проверим свою готовность к дальнейшей работе: «Закрыли глаза, вспомнили всё, что вы знаете об уравнениях с двумя переменными и их графиках и привели свои мысли в порядок. Открыли глаза».
Что называют решением уравнения с двумя переменными?
Важен ли в этой паре порядок записи значений переменных?
Дайте определение графика уравнения с двумя переменными.
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Что представляют собой графики уравнений второй степени с двумя переменными?
От чего зависит вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?
Как определить вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?
Устно. Найди ошибку в задании «О пределите степень уравнения»
Предлагаемые ответы : 3 1 1 4 1
Самопроверка по образцу на экране (слайд 9)
Устно. Установи соответствие в задании « Составьте уравнения с двумя переменными» (слайд 10)
1.Сумма двух натуральных чисел равна 16 1 балл
Периметр прямоугольника равен 12 см 1 балл
Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой 1 балл
Произведение двух натуральных чисел равно 28
Диагональ прямоугольника равна 5 см 1 балл
Сумма двух натуральных чисел равна 16 х + у = 16
Периметр прямоугольника равен 12 см 2*(а+в) = 12
Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой а – в = 8
Произведение двух натуральных чисел равно 28 х*у = 28
Диагональ прямоугольника равна 5 см 5 2 =А 2 +В 2
Самопроверка по образцу на доске Оценили свои знания в листе самооценки
Математический диктант (слайд 12) 5 баллов
Выясните, что является графиком уравнения
(х – 3) 2 + (у + 2) 2 = 0
Взаимопроверка по образцу на экране ( слайд 13)
Окружность с центром в точке (0; — 2) и R = 3.
Перенесли баллы за выполнение математического диктанта в лист самооценки.
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .
(Слайд 14) Чтобы узнать тему нашего урока, давайте отгадаем ребус (на доске)
Правильно, « Решение у равнений с двумя переменными», а сейчас с помощью высказываний знаменитых людей определим цели урока
Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (Алексей Иванович Маркушевич)
Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому, И я научусь
(Конфуций)
Ребята, запишите число и тему урока в тетради (слайд 15)
(слайд 16) А знаете ли вы, что 20 декабря — Международный день солидарности людей, который учрежден ООН с 2005 года. Солидарность — единство убеждений и действий, взаимопомощь и поддержка членов социальной группы, основывающиеся на общности интересов и необходимости достижения общих групповых целей, совместная ответственность.
“Люди вместе могут совершить то, чего не в силах сделать в одиночку: единение умов и рук, сосредоточение сил может стать почти всемогущим” (Д. Уэбстер)
Давайте же объединим наши умы и двинемся дальше
4. Решение уравнений с двумя переменными. (слайд 17) Работать будем в парах и группах, постараемся действовать под девизом «Создай новогоднее настроение»
Работа в парах ( 4 балла) с комментариями по решению,
1)Упражнение «Елочка» (Приложение 1)
Выразите одну переменную через другую :
Самопроверка по образцу на экране (слайд 18)
Пары размещают отчеты –«елочки» на доске, выстраивая общую «Елку»
(Слайд 19) Гимнастика для глаз фокусируем взгляд на нашей елочке :
1) вертикальные движения глаз вверх-вниз;
2) горизонтальные вправо-влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди шары на елке- цветов радуги (Каждый охотник желает знать, где сидит фазан»).
Минута волшебства (ученый маг Волосовская Аня)
Мы с вами поработали, а теперь немного отдохнем и посмотрим некоторые математические фокусы.
Есть много математических фокусов. Но самым элегантным математическим фокусом является возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5 (ребята задают примеры, а маг отвечает, например, 65 2 = 4225)
(слайд 20) Работа в группах ( 5 баллов)
1) Укрась новогодний шар правильными ответами (Приложение 2)
(слайд 21) Чтобы проверить это задание учащимся предлагается взять лист самопроверки (с ответами) у соседней (по часовой стрелке) группе, предварительно, поздравив их с Новым годом.
(слайд 22) Оценивание. Шары вешаются на доску. Комментарии.
(слайд 23) Физкультминутка
2) (слайд 24) № 400 стр 111 «В поисках истины» ( 5 баллов)
Проанализируйте графики (рисунки а, б, в) и составьте уравнения. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому графику его уравнение и узнать имя одного из древнегреческих математиков из нашей «Картинной галереи». Так кто же это такой? Каждая группа должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут.
(слайд 25) Ответ: а) (х-1)(у-1)=0 →Д
— Итак, вы получили имя ДИОФАНТ . (слайд 26) Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала?
Группа, выполнившая задание первыми может открыть конверт №1 и прочитать его содержимое→ Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.
открыть конверт №2 В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Старинный сюжет задачи из книги Диофанта и ее решения мы сегодня уже рассмотрели. О чем эта задача?
открыть конверт №3 Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте.
5 Самостоятельная работа 5 баллов (слайд 20)
Самопроверка по образцу на экране (слайд 21)
6. Подведение итогов урока. (слайд 22)
Теперь, ребята подсчитайте то количество баллов, которое вы набрали за работу и добавьте количество баллов, которое каждый из вас поставил себе за активность на уроке. Активность оценивается по пятибалльной шкале. По набранному количеству баллов вы должны поставить себе оценку за урок. Я надеюсь, что плохих оценок сегодня нет и у всех у вас хорошее настроение.
Итоги урока. Наши цели были какие в начале урока? Мы достигли их?
Сегодня на уроке мы:
• Выработали критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать.
Рефлексия. (слайд 23)
Я доволен уроком, мне очень понравилось, я всё понял(а).
Мне понравился урок, но в моих знаниях есть пробелы.
Я не доволен уроком, ничего не понял(а) и как решать, я не знаю.
7. Запишите д омашнее задание. (слайд 24)
Выучить п. 17. Выполнить №396, 399, 404 .
Найти интересные формы графиков уравнений с двумя переменными.
Сколько лет прожил Диофант? (задача для тех, кто получил оценку «4» или «5»)
(слайд 25) Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил
“ Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.”
Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности .
Уравнение с двумя переменными и его график — Уравнения с двумя переменными и их системы — Уравнения и неравенства с двумя переменными
Целы ввести основные понятия и термины темы.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Изучение нового материала
Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными). Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Уравнение с двумя переменными может иметь: бесконечное множество решений или ограниченное число решений, а также не иметь решений.
Рассмотрим следующие уравнения с двумя переменными:
а) Уравнение 3х + 7у = 10 (уравнение прямой) имеет бесконечное множество решений.
б) Уравнение |х — 1| + у2 = 0 имеет единственное решение: х = 1, y = 0.
в) Уравнение (х2 — 1)2 + (у2 — 4)2 = 0 имеет четыре решения: х = 1, у = 2; х = 1, у = -2; х = -1, у = 2; х = -1, у = -2.
г) Уравнение |х — 1| + (у — 2)2 = -5 не имеет решений.
Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.
а) Уравнения |х| + (у — 1)2 = 0 и х2 + |у — 1| = 0 равносильны, т. к. имеют одно и то же решение: х = 0 и у = 1.
б) Уравнение |х| + (у — 1)2 = 0 и x2 + |y2 — 1| = 0 неравносильны, т. к. первое имеет одно решение: х = 0, у = 1, а второе — два решения: х = 0, у = 1 и х = 0, у = -1.
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если одна часть уравнения представляет собой многочлен стандартного вида, а другая — число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для определения степени уравнения его заменяют равносильным, одна часть которого — многочлен стандартного вида, а другая — нуль.
Уравнение (х3 + 2у2)2 = х6 — 2х2у равносильно уравнению х6 + 4х3у2 + 4у4 = х6 — 2х2у и равносильно уравнению 2х3у2 + 2у4 + х2у = 0. Поэтому данное уравнение является уравнением пятой степени.
Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
а) Графиком уравнения ах + by = с (где а ≠ 0 или b ≠ 0) является прямая.
б) Графиком уравнения у = ах2 + bх + с (где а ≠ 0) является парабола.
в) Графиком уравнения (где с ≠ 0 и ad — bc ≠ 0) является гипербола.
Рассмотрим еще одно важнейшее и часто встречающееся уравнение — уравнение окружности с центром в точке (а; b) и радиусом R: (х — а)2 + (у — b)2 =R2.
Выведем уравнение окружности.
Рассмотрим окружность с центром в точке 0(а; b) и радиусом R. Выберем произвольную точку А(х; у) на окружности. Проведем отрезки ОВ и АВ параллельно оси абсцисс и оси ординат соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, в котором катеты OB = |х — а| и АВ = |у — b| и гипотенуза ОА = R. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:
ОВ2 = АВ2 = ОА2, или |х — а|2 + |у — b|2 = R2, или (х — а)2 + (y — b)2 = R2.
Это и есть уравнение окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: х2 + у2 = R2.
Построим график уравнения х2 — 2х + у2 + 4у = 0.
Так как в уравнение переменные х и у входят во второй степени (и ниже), то это уравнение окружности. Выделим в уравнении полные квадраты по переменным хну. Для этого запишем уравнение в виде (х2 — 2х + 1) + (у2 + 4y + 4) = 5 или
Видно, что это уравнение окружности с центром в точке O(1; -2) и радиусом Теперь легко построить и сам график.
Построим график уравнения
Прежде всего отметим, что у ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: у2 = 4х — х2, или у2 — х2 — 4х = 0. Выделим квадрат разности по переменной х: у2 + (х2 — 4х + 4) = 4, или (х — 2)2 + у2 = 22. Получили уравнение окружности с центром в точке O(2; 0) и радиусом R = 2.
Учитывая ограничение у ≥ 0, имеем верхнюю полуокружность. Теперь можно строить график.
Заметим, что графики уравнений с двумя переменными могут иметь самый разнообразный и даже необычный вид.
III. Контрольные вопросы
1. Определение уравнения с двумя переменными.
2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?
3. Какие уравнения называют равносильными?
4. Как определить степень целого уравнения с двумя переменными?
5. Уравнение окружности с центром в точке O(а; b) и радиусом R.
IV. Задание на уроке
№ 395 (а, г); 396 (а, в); 397 (г); 399 (а, д, ж); 402 (а, г); 404 (б); 405 (а); 408; 410; 411 (а).
V. Задание на дом
№ 395 (б, в); 396 (б, г); 397 (в); 399 (б, е, з); 402 (б, в); 404 (а); 405 (в); 406; 409; 411 (б).
http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-dlya-klassa-na-temu-reshenie-uravneniy-s-dvumya-peremennimi-3482219.html
http://compendium.su/mathematics/algebra9/26.html