Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении
19 февраля 2014
Сегодня у нас будет насыщенный урок, потому что уравнение, которое мы будем сегодня разбирать, содержит в себе и логарифмическую, и тригонометрическую функцию. Но все по порядку.
Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.
На первый взгляд, задача кажется весьма нестандартной: тут и логарифмы, и тригонометрия. Но если разобраться, то окажется, что уравнения такого типа вполне под силу большинству учеников.
Решение логарифмического уравнения
Итак, нужно решить уравнение:
log5 (cos x − sin 2 x + 25) = 2
Как видим, в первую очередь перед нами логарифмическое уравнение. Вспоминаем: как мы решаем логарифмическое уравнение? Очевидно, приводим его к каноническому виду, а именно:
log a f ( x ) = log a g ( x )
В нашем случае слева уже стоит логарифм по основанию 5. Следовательно, двойку тоже нужно представить в виде логарифма по тому же самому основанию 5. Вспоминаем, как это делается. С помощью нашей замечательной формулы:
Разумеется, мы можем подставить любое число b , удовлетворяющее требованиям, которые накладываются на основание логарифма:
Иначе наш логарифм просто не имеет смысла. Но какое именно b выбрать? Очевидно, что основание логарифма по нашей канонической записи должно быть равно основанию уже имеющегося логарифма, т. е. 5. Т.е. в нашем случае запишем:
Перепишем Все уравнение с учетом этого факта:
log5 (cos x − sin 2 x + 25) = log5 25
Перед нами каноническое логарифмическое уравнение. В нем мы можем смело убрать знаки логарифма (т.е. просто приравнять аргументы логарифмов). Получим:
cos x − sin 2 x + 25 = 25
Решение тригонометрического уравнения
Перед нами тригонометрическое уравнение. Переносим 25 влево и получаем:
cos x − sin 2 x = 0
Теперь нам нужно решить обычное тригонометрическое уравнение. Все тригонометрические уравнения должны быть сведены к простейшему уравнению одного из трех видов:
Подобно тому, как в логарифмах есть каноническая запись, точно так же и в тригонометрии есть каноническая запись уравнений. Давайте еще раз посмотрим на наше уравнение:
cos x − sin 2 x = 0
Что-то канонической записью тут не пахнет. Во-первых, аргументы у наших тригонометрических функций разные. И это первая проблема. Следовательно, надо каким-то образом избавится от аргумента 2 x и свести его к х. Или, наоборот: сделать так, чтобы вместо переменной x стояло 2 x .
Еще раз: когда мы видим тригонометрическое уравнение, первое, что нам нужно — это постараться сделать так, чтобы во всех тригонометрических функциях были одинаковые аргументы: везде либо х, либо 2х. Любыми правдами и неправдами, любыми преобразованиями функций мы должны добиться того, чтобы аргументы были равными.
При решении тригонометрических уравнений сводите все функции к одному и тому же аргументу.
Формула синуса двойного угла
В данном случае все очень легко. Вспоминаем формулу синуса двойного угла:
sin 2 x = 2sin x · cos x
Подставляем это выражение в наше уравнение:
cos x − 2sin x · cos x = 0
Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом есть cos x . Выносим его за скобку:
cos x (1- 2sin x · 1) = 0
Кто-то скажет, что 1 в скобках писать излишне. Да, я не спорю, можно сразу записать так:
cos x (1- 2sin x ) = 0
Однако если вы только разбираетесь в тригонометрических уравнениях, то лучше использовать эту избыточность и записать ту самую единицу. Почему? Да потому что если вы не запишете 1 в конце перед скобкой, то велика вероятность, что вы забудете про единицу и в начале. В итоге у вас получится неверное выражение и, соответственно, мы получим неверный ответ.
А вот так, с дополнительной единичкой, никаких проблем не возникнет. В общем, запомните правило: если из какого-то выражения выносим переменную или функцию, вместо этой нее мы везде пишем единицу. И лишь затем, после того, как мы запишем эту конструкцию в скобках, мы можем убрать лишние единицы, если это возможно.
Рекомендую оставлять единицы на месте <<всех>> общих множителей, которые выносятся за скобку. Так вы застрахуете себя от обидных ошибок.
Разложение уравнения на множители
В нашем случае все возможно. Получим:
cos x (1- 2sin x ) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: либо cos x = 0, либо 1 − 2sin x = 0
Перед нами совокупность из двух простейших тригонометрических уравнений:
cos x = 0; 1 = 2sin x = 0.
Однако cos x = 0 — это уже каноническая запись вида cos x = a — именно так, как нужно для решения задачи. А вот второе уравнение — 1− 2sin x — нужно преобразовать. Предлагаю выразить отсюда sin x :
-2sin x = -1;
sin x = 1/2.
Мы получили окончательную совокупность:
cos x = 0; sin x = 1/2.
Таким образом, перед нами два канонических уравнения, которые легко решаются. Вспоминаем, что cos x = 0 — это частный случай, поэтому x = π/2 + π n , n ∈ Z .
Особенности решения тригонометрических уравнений с синусом
С другой стороны, sin x = 1/2 — это не частный, а общий случай. Кроме того, всем своим ученикам я рекомендую расписывать решения уравнений вида sin x = a через совокупность двух множеств:
sin x = a ⇒
x = arcsin a + 2π n , n ∈ Z;
x = π − arcsin a + 2π n , n ∈ Z .
Обратите внимание: в обоих вариантах периодом будет именно величина 2π, т.е. полный оборот на тригонометрическом круге! В нашем случае получим:
Итого мы получили совокупность из трех наборов корней:
Область определения логарифмов — считать или не считать?
Внимательные ученики наверняка заметят: изначально мы решали логарифмическое уравнение и, следовательно, должны учесть область определения логарифма. Потому что если где-то в уравнении встречается выражение вида log a f ( x ) = log a g ( x ), мы обязаны проверить, что f ( x ) > 0.
Почему же при решении данного уравнения мы нигде это не записали? Это же ошибка! Спокойно: в данном случае никакой ошибки нет. Требование к логарифму, чтобы аргумент был больше нуля, выполняется автоматически на следующем шаге:
cos x − sin 2 x + 25 = 25
Получается, что выражение под знаком логарифма в нашем случае должно быть равно 25. А 25 заведомо больше нуля, т. е. область определения автоматически выполняется для всех корней, которые мы получим в процессе решения уравнения.
И вообще, запомните: когда в уравнении присутствует лишь один логарифм, в аргументе которого имеется функция переменного х, можно вообще не заморачиваться с проверкой области определения, потому что эта область определения будет автоматически выполняться в процессе решения уравнения. Но это работает только для уравнений и только в том случае, если логарифм с функцией присутствует лишь в одном экземпляре на все уравнение.
Требования к области определения выполняются автоматически, если функция стоит в аргументе логарифма, а сам логарифм встречается в уравнении лишь один раз.
В нашем случае это требование выполняется, потому что мы решаем именно уравнение, а не неравенство, и логарифм с функцией в аргументе встречается только один. Собственно, исходное уравнение вообще содержит только один логарифм, поэтому считать область определения в данном случае излишне. Следовательно, мы решили уравнение — получили ответ к первой части задачи.
Отбор корней на отрезке
Переходим ко второй части задачи и находим корни, лежащие на заданном отрезке [2π; 7π/2]. Искать корни будем с помощью тригонометрического круга.
Первым делом обозначаем все три корня на тригонометрическом круге. Кроме того, отметим концы отрезка: 2π и 7π/2. Точка 2π совпадает с точкой началом отсчета, а в числе 7π/2 давайте выделим целую часть — по аналогии с обычными дробями:
Отметим полученное число на тригонометрическом круге. Теперь проведем лучи из начала координат в каждую точку. После этого ставим маркер в точку 2π и начинаем двигаться к точке 7π/2 против часовой стрелки. Получим:
- Самый первый корень: 2π + π/6;
- Затем — второй корень: 2π + π/2;
- Следующий корень: 2π + 5π/6;
- Наконец, последний корень совпадает с концом отрезка: 7π/2.
Особенности вычисления дробных корней
Ключевой момент в решении задачи таким методом состоит в том, каким образом мы отбираем корни. В первую очередь мы ставим маркер (ручку, карандаш или что там к вас) в самый левый конец отрезка — в нашем случае это 2π. Затем мы начинаем двигаться против часовой стрелки, т. е. в положительном направлении отсчета на тригонометрическом круге.
Первая точка, которую мы встречаем на своем пути, будет x = π/6. Чтобы записать корень, мы добавляем π/6 к началу отсчета 2π — это мы и записали. Идем дальше и прибавляем π/2. Потом, если идти еще дальше, мы попадаем точку 5π/6. И когда мы дойдем до конца, то обнаружим еще один корень — точку 7π/2.
Осталось посчитать те три корня из четырех, которые мы записали в виде выражения, потому что оставлять их в таком нерассчитанном виде нехорошо. Давайте посчитаем:
С последним корнем 7π/2 никаких дополнительных преобразований проводить не нужно — он уже рассчитан. Итого при отборе корней из всего бесконечного множества, разделенного на три набора, которые мы получили при решении нашего уравнения, остались лишь четыре конкретных корня:
Заключительные выкладки
Вот и все — задача решена. Как ни странно, решение получилось довольно простым, хотя изначально уравнение выглядело весьма угрожающе: в нем есть и логарифм, и тригонометрические функции. А получилось, что любой среднестатистический ученик вполне в состоянии справится с такими уравнениями.
И это правда. Достаточно помнить два простых факта:
- Логарифмические уравнения мы всегда стараемся привести к каноническому виду: log_a f(x) = log_a g(x) — основания должны быть одинаковыми.
- Тригонометрические уравнения тоже сводятся к каноническому виду. Точнее, к одной из трех моделей: sin x = a; cos x = a; tg x = a.
Однако нашем случае на пути к каноническому виду есть одна заминка. Дело в том, что в одной из функций, а именно sin 2 x , присутствует аргумент 2 x , в то время как в cos x есть только переменная х. Следовательно, придется вспомнить формулу двойного угла: sin 2 x = 2sin x · cos x — и уже на основании этой формулы наше исходное уравнение легко раскладывается на множители, откуда возникают канонические уравнения.
В общем, все, что требуется для решения уравнений подобного вида — это научиться работать с логарифмами, выучить несколько тригонометрических формул (особенно это касается формул синуса и косинуса двойного угла) и, конечно, не бояться преобразовать наше уравнение для того, чтобы получить красивые и легко решаемые конструкции.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
Решение тригонометрических уравнений
Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality
http://allcalc.ru/node/669