Уравнение с малым параметром при

Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной

Возьмем дифференциальное уравнение (где — параметр)

Если функция в некоторой замкнутой области изменения непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по

где не зависит от , то решение (1) непрерывно зависит от .

Во многих задачах физики приходится рассматривать уравнения вида (где — малый параметр)

Разделив обе части уравнения (2) на , приведем его к виду

откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при , так что теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра воспользоваться в этом случае нельзя.

Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений в уравнении (2) можно отбросить член и в качестве приближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматривать решение так называемого «вырожденного уравнения»

Пусть для определенности 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и пусть вырожденное уравнение (4) имеет лишь одно решение . В зависимости от поведения вблизи решения уравнения (4) решение дифференциального уравнения (2) при стремится к решению вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.

В первом случае решение уравнения (4) называют устойчивым , во втором — неустойчивым .

Именно, если при переходе через график решения вырожденного уравнения (4) функция с возрастанием при фиксированном меняет знак с на , то решение вырожденного уравнения устойчиво и им можно приближенно заменить решение . уравнения (2) (рис. 47).

Если же функция меняет знак с на , то решение вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять решение дифференциального уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4) нельзя (рис. 48).

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выражаются следующими предложениями.

1. Если на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения устойчиво.

2. Если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения неустойчиво.

Если вырожденное уравнение (4) имеет несколько решений , то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость . При этом поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (2) при может быть различным в зависимости от выбора начальных условий — начальной точки .

Возможен также полуустойчивый случай , когда функция при переходе через кривую не меняет знак (например, если есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)). В этом случае при малом интегральные кривые уравнения (2) с одной стороны кривой стремятся к этой кривой, а с другой — удаляются от нее.

В первом случае мы говорили, что начальная точка принадлежит области притяжения полуустойчивого решения , а во втором случае — области отталкивания.

В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять решение исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).

Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравнения (2) при соответствующем выборе начальной точки приближаются к решению вырожденного уравнения и остаются в его окрестности при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />, однако это справедливо лишь при отсутствии возмущений уравнения (2).

Приведем эти критерии.

Пусть в окрестности полуустойчивого решения вырожденного уравнения (4) функция . Если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, то интегральные кривые уравнения (2), приближающиеся к кривой , не могут пересечь эту кривую и остаются в ее окрестности при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> (начальная точка должна находиться в области притяжения полуустойчивого решения ; если находится в области отталкивания, то соответствующая интегральная кривая уравнения (2) быстро удаляется от кривой ) (рис. 49). Если , то интегральные кривые, приближающиеся к графику функции , пересекут его и с другой стороны кривой быстро удалятся от нее. Если 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAE4AAAAYBAMAAACmU9bEAAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAQcWdZ4ER4PAxIVGx9LHpLAAAAYVJREFUKM+1kz9LAzEYxp/z2t4fr3CKoEuhWqyrVtBBhKIdughHBSeFji4FERXFpRRxcak6SqEfoTg5iri49cATi/hdfPMmuVYtIoiBJG+SX+7N8yQH/E+x53/HZYrUrIjIq/7E7dCqGYjIyX9bHOuHOaqTVG+Aza/Y3eJJHL9RPaC6D9TanzH3AmU9ZewBiToljSg9S7qOabOLtFaZJBnePbGh5GlnToNWFiNZ4BJYe0qRDDtAshJtwe3JFA++5NLEdYE8zMaxGNc6MKamafFZnasgwQxziQDjVUvMZKhpCWsiLWC5qLkQXpu+6GluQwSzsdJKJ+YsGAE1ilvVXnJJMVfjvDbMNtbFbMtn+wbyFjivTVwdI4GF0XPW1YEbpbIxpzB47J/TKEzMNdmnAEZoEhxKX5RcmuQjXb2/LknfyeeZR/L5Rfrs62OWS2eiO1QPyaB7MKqSH7w3uCUROz09PpXdrj/05dE1q3Iru+3hL1TcsdrB+pyj4ZzTf+cLvK/5l//sA8btRxt561mKAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> при и при t_1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAD3RSTlMAAaiFwGEw00IhQBBx8FF4mUoDAAAAxElEQVQY02NgwANOo/HZHkAZPN/QZNgLoAyhjyAydANcRl4BypAFM1iL4VL9ARB6sb3zAhAtWjwBIhDsrwxhzdCPgDDknCB0R3kHVLuuANQUDqcEEMX4CUhkgxiX4FZzqICkOL4yMBj9Arn+D1yGEyzD/JOBIfEXinc4XBpAlAjQO4wgGaaPzBBXSkBdIK8gLgCWYXFIAguwFkFdnW9gA9HDelkb4tMJsDApMYDIMEyD+A8ROtlQe7AC3DLm3x1waAEFCwDPjC4HC7XnhAAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» />, то при достаточно малом интегральные кривые, выходящие из точки , принадлежащей области притяжения корня , остаются вблизи кривой при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» />; в окрестности точки они пересекают кривую и затем удаляются от нее.

Если в окрестности полуустойчивого решения функция , то для справедливости высказанных утверждений знаки у производной надо заменить противоположными.

Пример 1. Выяснить, стремится ли решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию к решению вырожденного уравнения при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> и .

Решение. Имеем , так что решение вырожденного уравнения устойчиво и, следовательно, решение исходного уравнения , выходящее из любой начальной точки , стремится к решению вырожденного уравнения при и t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> (рис.50).

В этом можно убедиться непосредственно проверкой. Решая дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное при заданном начальном условии , найдем

откуда непосредственно видно, что при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />, то есть 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> и имеем .

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения для уравнения

Решение. Вырожденное уравнение имеет два решения . Имеем

так что решение устойчивое

так что решение вырожденного уравнения неустойчивое (рис. 51).

Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения, отвечающего уравнению

Решение. Вырожденное уравнение имеет корень второй кратности. Функция 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> в окрестности этого корня, и 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, решение — полуустойчивое, и если начальная точка лежит в полуплоскости под прямой (область притяжения корня ), то интегральная кривая , выходящая из точки , будет при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> оставаться в окрестности линии (рис.52).

Дифференциальные уравнения с малым параметром при некоторых производных Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Махоркин А. В.

Изучается структура решений системы дифференциальных уравнений, часть из которых содержат малый параметр. Основным методом исследования является метод нормальных форм.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Махоркин А. В.

Difference equation with small parameter with some derivatives

The article examines the methods of solving difference equations some of which contain small-sized parameter. The major research method is the method of normative forms.

Текст научной работы на тему «Дифференциальные уравнения с малым параметром при некоторых производных»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ НЕКОТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Изучается структура решений системы дифференциальных уравнений, часть из которых содержат малый параметр. Основным методом исследования является метод нормальных форм.

The article examines the methods of solving difference equations some of which contain small-sized parameter. The major research method is the method of normative forms.

Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений

где є — малый параметр, x = (x1, x2, . xk)T, y = (y1, y2, . ym)T,

f(x, y, t, є) = Af(є, t) • x + Bf(є, t) • y + 2 fs (є, t) • xs1 • ys2 ,

g(x, y, t є) = Ag (є, t) • x + Bg (єt) • y + 2 gs(є, t) •xs1 • ys

здесь s = (si, s2) и si, s2 — векторы с целочисленными неотрицательными

xs = x-і • x2 • к • xN

, N = s 1 + s2 + к + sN, fs (є, t), gs (є, t),

А (, t), Ву (в, t), (в, ^, В^ (в, t) — формальные или сходящиеся в неко-

торой окрестности нуля степенные векторные или матричные ряды.

Заменим неавтономную систему (к + т)-дифференциальных уравнений (1) расширенной (к + т + 2)-мерной автономной системой путем введения новой независимой переменной т:

Полученную систему (2) запишем в векторной форме

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 79 — S1.

где 2 = (х, у,в, ^ т, С =

(Аг (0,0) Вг (0,0) 0 0^

ТХг) — формальный или сходящиеся в некоторой окрестности нуля векторный степенной ряд без постоянных и линейных членов, А/(0, 0), В/(0, 0) — постоянные (к х к)-, (к х т)-матрицы соответственно. Не умаляя общности, матрица А/ (0,0) = ] — верхнетреугольная нормальная

жорданова форма. Пусть А,1, А2. Ак собственные числа матрицы А(0, 0), тогда А1, А2. Ак, 0. 0 — к + т + 2 собственных числа С.

Построим для автономной системы дифференциальных уравнений (3) нормальную форму на инвариантной поверхности [1]. Для этого предположим выполнение следующего условия.

Условие 1. (, А) ф 0, где ц = (ц1, ц2. цк) — к-вектор с неотрицатель-

НЫМИ целочисленными компонентами, ((/, /-) = X ‘Г/- и |(/| г5 2. То есть

нет чисто мнимых и нулевых собственных чисел матрицы А/ (0, 0) .

При выполнении условия 1 автономная система (3) приводится к нормальной форме на инвариантной поверхности заменой

где к’, к” формальные или сходящиеся в некоторой окрестности нуля степенные векторные ряды и все резонансные коэффициенты к равны нулю, а нерезонансные к’ и к” однозначно определены [2; 3]. Указанная нормальная форма на инвариантной поверхности имеет вид

— = Аг(0, 0)• х ‘ + X ‘(х’, у’, Ь, в), йт ]

Здесь X, У’ — формальные или сходящиеся в некоторой окрестности нуля векторные степенные ряды без постоянных членов, У'(х’, 0, Ь, е) = 0 и Х'(х’, 0, Ь, е) имеет резонансные члены только, т. е. ^-мерная система дифференциальных уравнений — нормальная форма [1]:

— = Аг(0,0)• х’ + X ‘(х ‘, 0, t, в), йт 1

Дифференциальные уравнения с малым параметром

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 1. Если система дифференциальных уравнений (2) удовлетворяет условию 1, то замена переменных (4) приводит ее к нормальной форме на инвариантной поверхности (5).

Уравнение инвариантной поверхности имеет вид

Пусть собственные числа Af (0,0) удовлетворяют условию 2. Условие 2. (q, А) ф УІ, j = 1, 2, к, k.

При выполнении условия 2 нормальная форма (б) линейна:

Исключая в (S) переменную -, получим систему (9) с решением (10):

x’ = Af (0,0)-є-1 • x’, (9)

x’ = exp(t • Af (0,0)^ є-1) • с, (10)

где с = (с1, с2, . с)7 — постоянный k-вектор.

Используя (7), получим k-параметрическое решение системні (1):

fx = exp(t • Af (0, 0)’ є-1) • с + h'(t • Af (0, 0)’ є-1 • с, t, є),

[y = h» (t • Af (0, 0) є-1 • с, t, є).

Таким образом, получена теорема.

Теорема 2. При выполнении условий 1 и 2 система дифференциальных уравнений имеет k-параметрическое семейство решений (11).

1. Bibikov Yu. N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Springer-Verlag, 1979.

2. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

3. Ван Д Ли Ч., Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005.

А. В. Махоркин — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

Метод малого параметра

Метод малого параметра

• Нелинейная материальная система называется автономной, когда ее движение четко описывается независимым от времени дифференциальным уравнением. Пример Х WX с ПФ X, я, 1 Где p-параметр как коэффициент нелинейной непрерывной дифференцируемой функции f x, Я. В дальнейшем периодическое решение уравнения 1 найдено в предположении параметра p. Is мала, а функция f зависит только от координаты x. Это определяется методом разложения степенных рядов по малому параметру p. A. Этот метод, описанный в работе Пуанкаре, называется A. A. и получил дальнейшее развитие в творчестве Андронова. А. А. Остроумова, Н. М. Крылова, Н. Н.

Боголюбова, Ю. А. Митропольский. Напишите желаемое периодическое решение в следующем формате х-ХL iLXl ntxi … 2 часа дня. Где x0, xi x-неизвестная периодическая функция частот, кратных циклическим частотам p и p, определяемая later. At одновременно разверните p — 2 нужной круговой частоты-с мощностью малого параметра p. п а АИП ПДП… 3 часа дня. Где ocj, a4-постоянный коэффициент, который определяется при интегрировании Формулы 1.

При вычислении момента инерции однородной плоской фигуры относительно некоторой оси выделяют в плоской фигуре такую элементарную площадь, момент инерции которой относительно соответствующей оси известен, либо легко может быть подсчитан. Людмила Фирмаль

Значения Oj, a выбираются таким образом, чтобы решение 2 было периодическим, то есть не содержало так называемых резонансных или долговременных членов, которые растут бесконечно с time. To для ясности предположим, что при решении задачи необходимо интегрировать дифференциальные уравнения. У1 п х м грех ст НТ грех 3 ПТ… Коэффициент Mt зависит от at. Среди конкретных решений этого уравнения есть бесконечно возрастающее резонансное решение-cos pt. To чтобы искомый закон движения был цикличным, необходимо учесть M равное нулю. Искомый коэффициент a определяется по формуле Mi 0. Решите задачу указанным методом и определите следующий закон свободных нелинейных колебаний.

Рекомендуется в следующем порядке 1 Создайте дифференциальное уравнение движения 1, представленное в виде—p f x 0. 2 используя формулы 2 и 3, в разложении мощности малого параметра p опишем искомый закон движения x и неизвестную мощность 2 круговой частоты p. 3 вычислить I и I, используя формулу 2 4 заменить значения x, I и I в абзаце. 2 и 3 подраздел 1 дифференциал equations. At в то же время замените коэффициент а с помощью Формулы 3.То есть, ki-pt-a1p, — a ii— …И еще write. As результатом этих подстановок является дифференциальное уравнение с членами, содержащими малый параметр p различной степени obtained. In кроме того, без членов p А. А. Андронов, А. А. Вит, О. Е.

Теория колебаний, физмати, 1959. Н. м. Крылов и Н. Н. Боголюбов, введение в нелинейную механику, Изд-во АН УССР, Киев, 1937. 5 в дифференциальном уравнении части 4 мы собираем член, который содержит меньший параметр той же степени, и член, который не содержит p. то есть выражение выражается в виде А у см. .- .- О. 6 малые коэффициенты параметров различных порядков, а также отсутствие членов p, то есть АО 0 11 0 22 0…равняясь нулю, мы получаем систему дифференциальных уравнений. Д х.- О. х0 Л Pax2 Р2 А1,а, ХД, хD 7 запишите начальные условия движения дифференциальных уравнений в п. 6. Итак, гипотетически, если 0, то x 0 a, b 0 0, то, исходя из выражений H и H, получим п.

Используя начальные условия 7, интегрируем дифференциальное уравнение X0 p9×0 0 и x0 0 9 ввести полученную формулу xe t в дифференциальное уравнение я Р Х Fi в ОИ. х0 После простой тригонометрии с правой стороны мы получаем следующую форму п Х2 l1x потому что ПТ потому что 3 ф… Чтобы не увеличиваться бесконтрольно со временем, его следует считать равным нулю. Определите C из уравнения 0. 10 используя начальные условия движения в пункте 7 интегрировать дифференциальное уравнение А Х1 Н COS на 3 ПТ… определите xj f.

Значения x0 0, ots и x1 0-это пункт 8, 9 и 10 вставить в дифференциальное уравнение А Р2 1 ф я а ХV ХД. Повторите расчет, а также расчет абзаца. 9 и 10, А и Х2 0 и т. д 12 определите искомые значения x 0 и p9, пункт 2 и введите расчетные значения xv 0, aj Xj 0, a2, x2 0 и т. д При решении задачи строки 2 и 3 обычно усекаются терминами, включающими p или A. ниже приведен пример х х0 jxx1 p2×2, Р2 А2 СА1 п a9. Задача 20.2.Используя метод малых параметров, определите уравнение физического маятника конечной амплитуды и частоту круговых колебаний, если P — его вес. I-расстояние от оси подвески z до центра тяжести см. рисунок, а 1-момент инерции маятника относительно подвески axis.

В первый момент маятник отклонялся от вертикали на равный угол и отпускался без начальной скорости. Решение. Применить дифференциальное уравнение для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси r Внешняя сила-P-гравитация, задача 20.2. Ри 7 А-это компонент реакции по оси Z. Сумма моментов внешней силы — будет равна PZsincp. So, вид дифференциального уравнения равен xp — PZsintp, то есть А грех Р 0, 1 Где это показано Формула 1 имеет вид nonlinear. To разверните sin g G g -.. 2 Если вариация мала, то есть sin pia p, то уравнение 1 становится линейным. д р 0. При заданных начальных условиях i 0, a0 и 0 решение имеет вид Ф. о. soaI.

• Чтобы определить закон колебаний конечной амплитуды, запишите первые 2 члена в ряд 2. То есть sin p q —в этом случае уравнение 1 примет вид A -RF 0, 4 где малый параметр p имеет значение Для определения закона колебаний маятника применяется метод малых параметров. он всесторонне выполняет точный расчет для термина, содержащего p в 1-м порядке. Таким образом, искомый угол склонения и неизвестная круговая частота p составляют 2 раза ф 0 Ф 0 МФ1 0. 6 ПГ ка парад 7 Где, 1 0 и константы подлежат последующим решениям. Используя 6 и 7, введем 0 1 и k pa-pa в уравнение 4.Ты найдешь его. ФО Ра-на1 Фо УХЛ1 -а Фо IF1 0.

До члена, содержащего малый параметр p первого порядка, уравнение принимает вид Fo 4-R Fo I F1 F1 1fo-FY 0. а также коэффициенты в скобках без p, если мы уравняем члены уравнения без p до нуля ФО Фо О, 8 Ф1 ргУ1 1фо Ф5 — 9 Учитывая начальные условия t 0, p aQ, 0, используя уравнение 0 Фо 0 нф1 0 О О Ф О нФ О пиши ФО 0 ЛF1. О Фо о ЛF1 о. В каждом из этих уравнений члены без p и с p слева и справа делаются равными начальным условиям функций 0 0 и 1. ФО 0 АО. Ф1 О. ФО О. Ф1 0 0.

Если в ходе решения задачи требуется вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести, то проводят параллельную ось через центр тяжести твердого тела и применяют теорему Штейнера (при этом момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, масса твердого тела и расстояние между параллельными осями должны быть известны). Людмила Фирмаль

Переходим к интегрированию дифференциальных уравнений 8.как известно, формат его общего решения имеет вид о 0 Cx cos pt С, sin pt А производная по времени-это 0 — С psin пт Хгп потому что ПТ. Если ввести в эти уравнения начальные условия 10 t Q, oa, 0, то получим Cx a0 Ca 0.И так оно и есть. Пхо 0 о cospt. И Это первое приближение, в котором круговая частота p еще не определена. Для закрепления дифференциального уравнения 9 введем результат 11 справа и формулу cos pf y cos pt используйте cos 3 pt. Возьми Ф1 П ти О Б 4 в Потому что ПТ -Т Адж, потому что 3 РФ.

Конкретное решение этого уравнения, соответствующее первому члену правой части, неограниченно возрастает частное решение x — — tsinp является дифференциальным уравнением J Помните, что это соответствует P8x bcosp .Поскольку закон искомого движения является периодическим, то коэффициент формулы 12 в cos pt должен быть равен нулю, то есть ax aj 0.

Где формула 12 имеет вид i p4i 4a8cos3P О4 Его общее решение fx равно сумме F1 f, 11 f, 1, 15 Где f — частное решение уравнения 14, а f 1 — общее решение соответствующего однородного уравнения F1 p ph1-0.In это дело Ф Ф 1 Ди cospt да грех, пт, ТП Альф соз 3 ПТ Ф И f — Если вы назначите 9apcos 3pt формуле 14, вы найдете a — atsthr1.Теперь общее решение 15 можно записать следующим образом Форекс ДХ, потому что ПТ да грех пт-потому что 3 ПТ 16 Функция 16 и ее производная по времени —DJ slnjrf d2pcos RF — sin3pf Начальные условия движения 10 7 0, 0 0, 1 0 0, поиск.

Введите эти значения Dx и D в Формулу 16 Pi C spf-cos3pf — О Чтобы определить искомый закон вибрации p и крутую частоту маятника p, воспользуемся результатами 11, 13 и 17. В Формуле Б и 7 р a0cos РФ п. — Кос РФ-cos3 ТФ пр — к вторичный марки. Используйте значение малого параметра p 5, чтобы, наконец, найти 2-е приближение. 18 19 Где a0-начальный угол отклонения маятника от вертикали, 6 PI I,.Из Формулы 19 следует, что p k l — — a Г 2.Узнайте больше. до тех пор, пока член, включающий a, 1—g-aoj 1-pj-a , не найдет круговую частоту P, представляющую интерес.

Как видно из Формулы 20, маятник колеблется по закону 20 на частоте кривизны Р 18, которая зависит от начального отклонения маятника А0.Поэтому вибрации нет isochronous. In другие слова Условия эксплуатации. Напомним, что приближенное линейное дифференциальное уравнение A p 0 соответствовало изохронным гармоническим колебаниям 3 p a0cos6f. поэтому даже приближенное решение нелинейных уравнений, выполненных в этой задаче, смогло обнаружить отсутствие изохронности колебаний. Влияние начального углового отклонения маятника a0 на круговую частоту p равно small.

Если из Формулы 20 ab 30 0,52 рад, то р 0,9836. В заключение воспользуемся 18 результатами формулы 20 и применим приближенное уравнение — — — — — найти 1 Tb Dem, искомый закон вибрации маятника в форме — Ля. , 21 Если проигнорировать член, содержащий aj в уравнении 21, то приближенный результат, соответствующий линейному дифференциальному уравнению 6а p 0 3 p av cos kt.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института