Уравнение с одной степенью свободы

iSopromat.ru

Рассмотрим уравнения Лагранжа второго рода для механической системы имеющей одну степень свободы:

В случае если механическая система имеет одну степень свободы ( s = 1), положение этой системы определяется одной обобщенной координатой q, которой соответствует обобщенная сила Q.

Уравнения Лагранжа второго рода для такой системы будут выглядеть так:

В случае, если система является консервативной (т.е. все активные силы, действующие на систему, являются потенциальными), уравнения Лагранжа второго рода для такой системы будут выглядеть так:

Для решения задач часто более удобна эквивалентная форма записи:

Чтобы составить уравнения Лагранжа второго рода для системы с одной степенью свободы, следует действовать в такой последовательности:

сделать рисунок, обозначить на нем все активные силы, приложенные к системе;
выбрать обобщенную координату q. При этом следует помнить, что от выбора обобщенной координаты зависит объем последующих вычислений. Если есть возможность, обобщенную координату следует выбрать так, чтобы она являлась циклической;
определить, является ли рассматриваемая система консервативной;
если система является консервативной, следует вычислить ее кинетическую T и потенциальную энергию Π, выразив их через обобщенную координату q и обобщенную скорость q’. Если система не является консервативной, следует вычислить только ее кинетическую энергию;
вычислить производные, входящие в уравнения Лагранжа второго рода.
Если система не консервативная, это будут производные

Если система консервативная, к ним добавится производная ∂Π/∂q;

определить обобщенную силу Q. Если система консервативная, этот пункт следует пропустить;

все найденные производные и обобщенную силу подставить в уравнение Лагранжа второго рода для системы с одной степенью свободы, в формулировке для консервативной или неконсервативной системы.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Уравнение Лагранжа. Свободные колебания системы с одной степенью свободы (начальные условия, уравнения, определения). Свободные колебания системы при сопротивлении

Для исследования колебательных систем с конечным числом степеней свободы используются уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, составленные в предположении о том, что связи, наложенные на систему, идеальны; уравнения не содержат реакций связей; входящие в уравнения величины, определяющие движения системы, непосредственно связаны обобщенными силами.

Для консервативных систем уравнение Лагранжа записывается через потенциальную энергию:

В этом случае энергия характеризует полную механическую энергию системы.

Колебания системы с одной степенью свободы.

Система с одной СС – система, положение которой в пространстве однозначно определяется заданием одной обобщенной координаты. Например математический маятник движется по закону , где начальная фаза, фаза колебаний, амплитуда.

Уравнения малых свободных колебаний системы с одной СС.

Колебания называются свободными, если скорость изменения состояния системы определяется только состоянием самой системы. Такая система – линейный осциллятор.

Система консервативна, уравнение Лагранжа:

Сопротивление среды равно нулю, поэтому

Потенциальная энергия оценивается через жесткость системы: /

Общее решение: .

Подстановка для решения: , ,

Начальные условия для решения:

Свободные колебания при наличии сопротивления.

В этом случае на систему действует сила :

Введем отношение , тогда

Колебания системы с конечным числом степеней свободы, приведенная система. Кинетическая и потенциальная энергия малых свободных колебаний. Уравнение малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.

Детали или механизмы системы на практике являются сложной упругой системой с бесконечным числом степеней свободы. Для определения положения точек при колебаниях в любой момент времени необходимо найти функцию времени и координат точек. При расчетах упругая система заменяется более простой системой с конечным числом степеней свободы – приведенная система.

Кинематическая энергия системы с степеней свободы:

Если выполняется переход к обобщенным координатам:

инерционные коэффициенты.

Для колебаний возле положения устойчивого равновесия разложение коэффициентов в ряд по степеням ограничивается рассмотрением постоянного коэффициента , остальные же не рассматриваются ввиду их малости.

Потенциальная энергия системы может быть выражена через упругие коэффициенты:

Уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.

Подставляя в уравнение Лагранжа выражения для кинетической и потенциальной энергий b принимая, что: , можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих колебания системы:

Общее решение данной системы уравнений определяет колебания механической системы.

Уравнение с одной степенью свободы

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ

Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

Эти задачи следующие:

2. Построение расчетной схемы .

Ф ормулировка задачи — это условие ( текст) з адачи. Она осу ществляется руководител ем работ сов местно с испол нителе м.

Рас четная схема — эт о рисунок , на ко тор ом изображены :

а) ра циональ но выбранная система координат;

Математическая моде ль — э то система д иф фере нциальных уравн ений, алгебраических уравнений и на чальн ых условий, описывающих динамическое поведение механической системы.

Дано: m₁, m₂, m₃ — массы тел механической системы, с — жесткость упру гого элемента, r ₁ — радиус одн ородн ого катка 1, r₂, R₂ — радиусы ст упеней блока 2, i₂ — рад иус инерции блока 2 , — коэффициент с опротив ления среды, — угол наклона плос кост и, по которой катится каток 1.

Определить: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Порядок выполнения работы:

3) Сформулировать начальные услови я движения.

4) Найти решение дифференциального уравнения движения.

6) По дставив на йденные постоянны е интегрирования в решение дифференциального уравнения, записать закон движ ен ия объ ект а .

8) Построить алгоритм вычис лени й для реализации н а ЭВМ.

9) Произ вес ти вычисления в дисплейном классе.

10) Произв ес ти графическую обработк у результатов вычис лений.

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1. Постановка второй основной задачи динамики механической системы

Расчетная схема представлена на рис.2

— силы тяжести,

— нормальная реакция опорной плоск ости,

— си ла сцепления ,

— упругая реакция пружины,

— реакции подшипника блока 2,

— сила вязкого сопротивления,

— возмущающая си ла.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 1 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 3.

Для пост роения дифферен циального уравнения движен ия с истемы используем теорему об изменении к инетической энергии механической системы в форме:

, (1.1)

где Т — кинетическая энергия системы,

— сумма мощностей внеш ни х сил,

— сумма мощнос тей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равн а алгебраической сумме мощностей внеш них и внутренних сил, д ейс твующих на точки механической системы».

Вычислим ки нетическую энергию сис темы как сумму кинетических эн ергий тел 1-3:

. (1.2)

Каток 1 совершает плоскопараллельное движение, поэто му его кинетическая энергия опре деляется по теореме Кенига:

где V_C1 – скорость центра масс катка;

J_C1 – момент инерции относительно центральной оси катка;

– угловая скорость катка.

Блок 2 совершает вращ ательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

, (1.4)

где J_C2 – момент инерции относительно центральной оси блока;

– угловая скорость блока.

Груз 3 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

. (1.5)

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

. (1.6)

Выразим V_C1, и через скорость груза 3. Положив V₃ = V, получим

(1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

, (1.9)

. (1.10)

Величину будем называть приведенной массой.

Найдем производную от кинетической энергии по времени

. (1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) — сумму мощностей внешних и внутренних сил.

. (1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

. (1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

; (1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

. (1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.16)

, (1.17)

. (1.18)

Величину F _пр будем называть приведенной силой.

Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического f _ст и динамического S_C1 удлинений

причем из выражения (1.7) для V_С1 следует, что .

Тогда упругая сила будет равна:

. (1.19)

Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для F _уп и R запишем в виде:

. (1.20)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.20) и , получаем условие равновесия системы

. (1.21)

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины

. (1.22)

Учитывая (1.22) в (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

. (1.23)

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

. (1.24)

Запишем последнее уравнение в виде:

, (1.25)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

— циклическая частота свободных колебаний,

— показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

. (1.26)

В ыражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

1.2. Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

где — амплитуда возмущающей силы,

р — циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25), имеет вид:

. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

, (2.3)

где А и — неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

. (2.5)

В зависимости от знака подкоренного выражения, корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными или действительными. Возможны три случая:

— подкоренное выражение отрицательное, следовательно корни комплексно-сопряженные,

— подкоренное выражение равно нулю, корни действительные, кратные.

— подкоренное выражение больше нуля, корни действительные, разные.

В первом случае ( ) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

, (2.6)

где А ₁ , А₂ – постоянные интегрирования,

нетрудно представить в виде:

где a , — постоянные интегрирования.

Во втором случае ( ) общее решение имеет вид:

В третьем случае ( ) общее решение имеет вид:

Далее предполагается, что в рассматриваемом примере имеет место случай .

. (2.11)

Частное решение ищем в виде правой части

. (2.12)

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:

;

. (2.13)

Таким образом, решение (2.12) определено. Складывая (2.8) и (2.12), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.11)

Константы а и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.14)

Подчинив (2.14) и (2.15) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

. (2.16)

Подставляя (2.16) в (2.14), получаем закон движения механизма.

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения

, (3.1)

и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

. (3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис. 3) записываем уравнения (3.1) и (З.2) в проекциях на оси координат

, (3.3)

, (3.4)

; (3.5)

, (3.6)

, (3.7)

; (3.8)

. (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) -(3.9) преобразуем к виду:

, (3.10)

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций

, N ₁, F _сц , T ₁₂, T ₂₃, X ₂, Y ₂.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

2.1. Составлени е дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.

. (4.1)

Здесь — сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

— сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Реакции идеальных связей не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

. (4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

. (4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силы F _пр получено ранее [см. (1.23)].

Найдем возможную работу сил инерции:

. (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

; ;

; . (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

; ;

; ; (4.6)

; .

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

(4.7)

, (4.8)

. (4.9)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

. (4.10)

Поделив (4.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.11)

;

. (4.12)

Дифференциальное уравнение (4.11) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).

2.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2— го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (4.13)

— обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8):

Учитывая, что , получаем

. (4.14)

Производные от кинетической энергии

; ; . (4.15)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис. 4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (4.3)]:

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

. (4.16)

Сравнивая два последних соотношения, получаем

Подставляя производные от кинетической энергии (4.15) и обобщенную силу (4.16) в уравнение Лагранжа, получаем

. (4.18)

Полученное уравнение (4.18) совпадает с уравнениями (1.25) и (4.11).

3. Анализ колебаний механической системы с одной степенью свободы

3.1. Колебания механической системы при отсутствии сил сопротивления среды

В дифференциальном уравнении движения системы, полученном ранее (1.25), полагаем , тогда уравнение движения примет вид:

(5.1)

Начальные условия: при заданы и .

3.1.1. Свободные колебания

Если внешнее возмущение отсутствует (т.е. ), то дифференциальное уравнение движения становится однородным:

(5.2)

и называется дифференциальным уравнением свободных колебаний, т.е. таких движений системы, которые происходят под действием так называемых восстанавливающих сил. Восстанавливающие силы – это такие силы, каждая из которых стремится вернуть систему в состояние статического равновесия (силы тяжести, упругие силы).

Решение уравнения (5.2) с учетом начальных условий имеет вид:

(5.3)

где ; ; . (5.4)

Анализируя решение (5.3) можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания (рис.5.1) системы с одной степенью свободы представляют собой гармонические колебания.

2. Амплитуда (максимальное отклонение системы от состояния равновесия) и начальная фаза зависят от начальных условий.

3. Циклическая частота и соответственно период колебаний от начальных условий не зависят, а зависят только от жесткой и инерционной характеристик системы.

4. Отношения амплитуд колебаний различных точек системы не зависят от начальных условий, так как начальные условия влияют на амплитуды только через множитель , общий для всех точек.

5. Все точки системы всегда находятся в одной фазе, т.е. они одновременно проходят через свои равновесные положения; координаты всех точек одновременно достигают своих максимальных значений.

3.1.2. Вынужденные колебания

При воздействии возмущающей силы решение неоднородного дифференциального уравнения (5.1) с учетом начальных условий представим в виде:

(5.5)

где .

Первые два слагаемых правой части уравнения (5.5):

(5.6)

соответствуют свободным колебаниям с частотой (рис.5.1), т.е. колебаниям, которые совершал бы осциллятор при отсутствии возмущений. При нулевых начальных условиях, т.е. когда , такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое в (5.5)

(5.7)

— гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой системы, но с амплитудой, зависящей от амплитуды возмущающей силы

(5.8)

Эти колебания также относятся к свободным колебаниям. Они всегда сопровождают вынужденные колебания при любых начальных условиях, от которых они вообще не зависят.

Их называют сопровождающими колебаниями (рис. 5.2).

Четвертое слагаемое в выражении (4.5):

(5.9)

представляет собой вынужденные колебания системы (рис. 5.3).

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассмотренном случае представляют собой линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих и вынужденных (рис. 5.4).

Отметим следующие свойства вынужденных колебаний:

1. Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий, поэтому для изменения, например, амплитуды (при заданной возмущающей силе) вынужденных колебаний необходимы существенные изменения параметров конструкции: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменить начальные условия.

3. Если , то знак отклонения будет совпадать со знаком возмущающей силы , т.е. сила и вызванн ые ею вынужденные колебания будут находиться в одной фазе.

Если , то знак отклонения будет противоположен знаку силы.

Переписав для этого случая выражение (5.9) в виде:

, (5.10)

убеждаемся, что при возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположенных фазах.

4. Если , то выражения (5.7) и (5.9) теряют смысл. Для анализа колебаний в этой ситуации эти выражения рассматриваются совместно

(5.11)

т.е. получим неопределенность, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя , заменив дробь в (5.11) пределом

Таким образом, в этом случае общий интеграл (5.5) будет иметь вид:

. (5.12)

И здесь, как в (5.5) движение осциллятора представляет собой линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от (5.5): вынужденные колебания представлены непериодическим слагаемым:

, (5.13)

в коэффициенты которого входит время t .

С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем вынужденные колебания происходят с возрастающей по линейному закону амплитудой.

Такая ситуация при колебаниях называется резонансом.

5. Если частота вынужденных колебаний не равна частоте свободных колебаний, но близка к ней, то, записав выражение (5.11) в виде:

, (5.14)

полагаем , но , , и преобразовываем (5.14) к виду:

. (5.15)

Используя тригонометрическое выражение:

, (5.16)

т.е. ,

где — есть амплитуда колебаний, являющаяся периодичной функцией времени и меняется весьма медленно с большим периодом , чем период самих колебаний , т.е. , и малой частотой .

Подобная рассмотренному случаю ситуация представляет собой биение (рис. 5.5).

Таким образом, когда частота вынужденных колебаний весьма близка к частоте свободных (или собственных) колебаний системы, но не равна ей, в колебательной системе возникает биение.

3.2. Колебания механической системы в вязкой среде

Дифференциальное уравнение движения имеет вид (1.25):

. (5.17)

Начальные условия: . (5.18)

3.2.1. Свободные колебания

Полагая в (5.17) , т.е. возмущения отсутствуют, получим

(5.19)

Ограничимся случаем малых сопротивлений и примем .

Тогда общее решение однородного уравнения (5.19) с учетом начальных условий можно представить в виде (рис. 5.6):

, (5.20)

где . (5.21)

. (5.22)

Из закона движения системы (5.20) видно, что в сопротивляющейся среде:

1) свободные колебания являются затухающими;

2) частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний ;

3) амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону;

4) период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний ;

5) отношение любых двух соседних амплитуд: и есть величина постоянная

. (5.23)

Это отношение называется декрементом затухания. Логарифм этого коэффициента

(5.24)

называется логарифмическим декрементом.

Декремент или логарифмический декремент используются для оценки быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний.

3.2.2. Вынужденные колебания в сопротивляющейся среде

Дифференциальное уравнение движения в этом случае является неоднородным:

, (5.25)

его общее решение имеет вид:

. (5.26)

При начальных условиях постоянные интегрирования будут такими

(5.27)

После подстановки постоянных интегрирования (5.27) в общее решение (5.26) получим закон движения механической системы:

(5.28)

; (5.29)

;

(5.30)

— коэффициент динамичности. (5.31)

В выражении (5.28) первое слагаемое представляет собой собственные затухающие колебания (рис. 5.6):

Второе и третье слагаемые в совокупности представляют собой сопровождающие колебания (рис. 5.7):

. (5.32)

(5.33)

— вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 5.8).

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний при резонансе достигает значительной величины при малых сопротивлениях.

. (5.34)

Если , но близка к ней, то, положив , выражение (5.32) для сопровождающих колебаний представится в виде:

. (5.35)

Рассматривая (5.33) и (5.35) совместно и, добавив выражение

равное нулю, получим закон движения механической системы в виде:

(5.36)

Но выражение в квадратных скобках можно представить так (5.15):

. (5.37)

Тогда получим, положив ,

(5.38)

Последнее слагаемое в (5.38) представляет собой колебания биений с затухающей амплитудой

т.е. . (5.39)

Второе слагаемое в (5.38) – это незатухающие вынужденные колебания

. (5.40)

Первое слагаемое в (5.38) – это затухающие сопровождающие колебания

. (5.41)

Таким образом, в реальных условиях колебания биений, вызываемые возмущенной силой с частотой, близкой к частоте затухающих колебаний, могут иметь практическое значение только в начале движения, в так называемый переходный период, и при малом значении коэффициента затухания n . При установившемся движении, которое наступает тем быстрее, чем больше сопротивление, движение системы определяется уравнением :

3.3. Коэффициент динамичности

Как было отмечено выше (5.31), коэффициентом динамичности называется отношение максимального динамического отклонения механической системы от положения устойчивого равновесия к статическому отклонению под воздействием силы, равной амплитуде возмущающей силы (рис. 5.10).

, (5.42)