Уравнение с ответами 10 класс

Показательные уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

1. Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
2. Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
3. Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
4. Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).

5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

1. (0,3) 5 – 2х = 0,09;
2. 225 · 15 2х + 1 = 1;
3. 3 х + 1 – 3 х = 18;
4. 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

Решение № 2 (слайд № 15)

15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

решение тригонометрических уравнений 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Содержание

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод разложения на множители

2. Метод введения новой переменной

3. Функционально-графические методы

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

V. Тесты для самостоятельного решения

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

sinx =0, x= πn, nєZ

sinx =–1, x= –+2πn, nєZ;

sinx =1, x=+2πn, nєZ;

x= π– arcsin а +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1) n arcsin а + πn, nєZ.

cos x=0, x= – + π n, n є Z;

cos x=–1, x= π +2 π n, n є Z;

cos x=1, x=2 π n, n є Z;

cos x= а , | а | а +2 π n, n є Z.

Решения уравнения tg x =а и ctg x =а записываются существенно проще:

x = arctg а +π n , n є Z и, соответственно, x = arc с tg а +π n , n є Z .

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как n arcsin + πn, nєZ.

Ответ: (–1) n arcsin + πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =.

Решение: так как >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x + = 0.

tg x+ = 0

tg x = –

x = arctg (– ) + π n, n є Z

x = – arctg + π n, n є Z

x = – +2 π n, n є Z;

Ответ: –+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2 cos x = –.

2cos x = –

cos x = –

x= ± arccos (– )+2 π n, n є Z

x= ±( π – arccos )+2 π n, n є Z

x= ±( π – )+2 π n, n є Z

x = ± + 2 π n, n є Z

Ответ : ± + 2 π n, n є Z.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x =1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

Это уравнение сводится к простейшему cos t = заменой t =, которую можно не прописывать.

= ± arccos +2π n , n є Z

= ± +2π n , n є Z

х = ± + 10π n , n є Z

Ответ: ± + 10π n , n є Z .

Пример 6. Решить уравнение: sin (2 x –) = .

Решение: sin (2 x –) =

2 x –= (–1) n arcsin + π n , n є Z

2 x – = (–1) n + π n , n є Z

2 x – = ++ 2π n , n є Z

2 x – = –+ (2m + 1)π,mєZ

2 x = + 2πn, n є Z

2 x =π + 2πm, mє Z

x = + πn, n є Z

x = + πm, mє Z

Ответ: + πn, + πm, n ,mє Z .

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

Пример 7. Решить уравнение 4 sin 3 x cos 3 x =1.

Решение : 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

sin6x =

6x = (–1) n + π n, n є Z

x = (–1) n + n, n є Z

Ответ: (–1) n + n , n є Z .

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 8. Найдите корни уравнения 2 cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

cosx = –

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

x₁ = ; x₂ = .

Ответ: ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

Пример 9. Найдите сумму корней уравнения ( cos 2 x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

Решение: x₁ = 0; x₂ = , x₁ + x₂ =

Ответ: .

1. Найдите сумму корней уравнения 2 sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество корней уравнения 4 cos 2 2х = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos + sin cos х = на указанном промежутке

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

Пример 10. Решить уравнение cos x 2 = 1.

Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

Его решение имеет вид х = ± при а0.

Если а sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx = +2πn, nєZ

Выражение |+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Пример 1. Решить уравнение sin 4 x = 3 cos 2х.

sin 4 x = 3 cos 2х.

2 sin 2 x cos 2х = 3 cos 2х

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos 2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos 2х 0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos 2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos 2х, а разложить на множители

(2 sin 2 x – 3) cos 2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin 2 x = sin 4 x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin 2 x – sin 4 x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2 cos = 0

Ответ:

Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения , при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Ответ:

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B 7.).

Найдите наименьший корень уравнения

Решение:

Ответ:

Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f ( x ),где f ( x ) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решить уравнение cos 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

Решение: 1 – sin 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

– sin 2 π x + 4 sin π x + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1

t ₂ не удовлетворяет условию -1

πx = –

х = –

Ответ: –

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнение вида а sinx + b cosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx .

Уравнение вида а sin 2 x + b cos 2 x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx .

Пример 6. Решить уравнение sinx – cos х = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx .

Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение sin 2 x – 3 sinx cos х + 2 cos 2 x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos 2 x . В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Уравнение вида а cosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а 2 + b 2 >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

Введём в рассмотрение угол такой, что

Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p 2 + g 2 = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

cos cosx + sin sinx =

cos (x – ) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sin cosx + cos sinx =

sin (x + ) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4 cos х = 5.

Решение. 3 sinx – 4 cos х = 5

==5

, cosx = ,

cos ( x + ) = –1

x + = π + 2 πn , n Є Z

x = – + π + 2 πn , n Є Z

x = – arcsin + π + 2 πn , n Є Z

Ответ: – arcsin + π + 2 πn , n Є Z .

Пример 9. Решить уравнение 2 cos х = 1– 2 cos 2 х – sin 2 x .

Решение. Воспользуемся формулой 2 cos 2 х – 1 = cos 2 x ,

получим 2 cos х = – cos 2х – sin 2 x .

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

=

2cos х = – 2( cos2 х + sin2x)

2cos х = – 2 ( с os cos2 х + sin sin2x), где

2 cos х = – 2( cos 2х – )

cos х + cos (2х – ) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2 cos cos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ: .

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sin , cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках tg не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Пример 10. Решить уравнение sinx + cos х = –1.

Решение: = –1, заменим tg , получим

2t +1 – t 2 = –1– t 2

tg

Подставим теперь в исходное уравнение значение и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:

Уравнение вида

Уравнение вида где — многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно, и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной получаем два уравнения

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

3. Функционально-графические методы

Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f ( x ) = g ( x ), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е( f ) и Е( g ) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f ( x ) = g ( x ) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f ( x ) = a , g ( x ) = a , где а – такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример13. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример14. Решить уравнение .

Ответ: .

Пример15. Решить уравнение

Ответ:

Пример16. Решить уравнение

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

И должно выполняться равенство Поскольку

Ответ:

Суть метода использования графиков для решения уравнения f ( x ) = g ( x ) проста: нужно построить графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.