Уравнение с параметром егэ с логарифмами

Логарифмы с параметрами

Контрольная по математике за курс 10 класса

Материал предназначен для проведения промежуточной аттестации по математике за курс 10 класса.

Основные термины по экономике

Конспект для подготовки к экзаменам.

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^<-x>)=5\) имеет единственное решение.

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^ <-x>> 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=\frac<5±\sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac<5><2>$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0 0\).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac<1><2>-\frac<\sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как \( x>0.\)

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 0, \\D≥0, \\D>0, \\ _<0>>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\a

Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) \( \lg 2x+\lg(2-x)=\lg\lg a \)
ОДЗ: \( \begin 2x\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x\gt 0\\ \lg a\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\lt 2\\ a\gt 0\\ a\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 2\\ a\gt 1 \end \)
\(\lg\left(2x\cdot(2-x)\right)=\lg\lg a\Rightarrow 2x\cdot(2-x)=\lg a\Rightarrow 2x^2-4x+\lg a=0 |: 2\)
\(x^2-2x+\frac12\lg a=0\)
Решаем квадратное уравнение. Исследуем дискриминант:
\(D=(-2)^2-4\cdot\frac<\lg a><2>=4-2\lg a\)
\(D\lt 0\) при \(4-2\lg a\lt 0\Rightarrow \lg a\gt 2\Rightarrow a\gt 100\) — решений нет
\(D=0\) при \(a=100,\ x=1\) — одно решение
\(D\gt 0\) при \(a\lt 100\) (учитывая ОДЗ, \(1\lt a\lt 100\))
\(x_<1,2>=\frac<2\pm\sqrt<4-2\lg a>><2>=1\pm\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\)
Т.к. \(\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\lt 1\) требование \(0\lt x_<1,2>\lt 2\) выполняется.

Ответ:
При \(a\leq 1\cup a\gt 100\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a=100\) один корень \(x=1\)
При \(1\lt a\lt 100\) два корня \(x_<1,2>=1\pm\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\)

б) \( x^<\log_a x>=a^2 x \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ a\gt 0\\ a\ne 1 \end \)
Замена: \(t=\log_a x\Rightarrow x=a^t.\) Подставляем: \begin (a^t)^t=a^2\cdot a^t\Rightarrow a^=a^<2+t>\Rightarrow\\ \Rightarrow t^2=2+t\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow (t+1)(t-2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-1\\ t_2=2 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \log_a x=-1\\ \log_a x=2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=a^<-1>=\frac1a\\ x_2=a^2 \end \right. \end Ответ:
При \(0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\) два корня \(x_1=\frac1a,\ x_2=a^2\)
При \(a\lt 0\cup a=1\) решений нет.

в) \( 2-\log_(1+x)=3\log_a\sqrt-\log_(x^2-1)^2 \)
ОДЗ: \( \begin 1+x\gt 0\\ x-1\gt 0\\ x\ne \pm 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1\\ x\ne \pm 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \)
Приведем к одному основанию: \(\log_a\sqrt=\log_(x-1)\)
\begin 2-\log_(1+x)=3\log_(x-1)-\log_(x^2-1)^2\\ \log_a^4-\log_(1+x)=\log_(x-1)^3-\log_(x^2-1)^2\\ \log_\frac=\log_\frac<(x-3)^3><(x^2-1)^2>\\ \frac=\frac<(x-1)^3><(x^2-1)^2>\Rightarrow \frac=\frac<(x-1)^3><(x-1)^2(x+1)^2>\Rightarrow a^4=\frac \end Т.к. \(x\gt 1\) все скобки можно сократить. $$ a^4(x+1)=x-1\Rightarrow x(a^4-1)=-a^4-1\Rightarrow x=\frac<1+a^4> <1-a^4>$$ Проверим требование \(x\gt 1\): \begin \frac<1+a^4><1-a^4>\gt 1\Rightarrow \frac<1+a^4-(1-a^4)><1-a^4>\gt 0 \Rightarrow \frac<2a^4><1-a^4>\gt 0\Rightarrow\\ \Rightarrow 1-a^4\gt 0\Rightarrow a^4\lt 1\Rightarrow |a|\lt 1\Rightarrow -1\lt a\lt 1 \end Учитывая, что \(a\gt 0\), получаем \(0\lt a\lt 1\).
Ответ:
При \(0\lt 1\lt 1\) один корень \(x=\frac<1+a^4><1-a^4>\)
При \(a\leq 0\cup a\geq 1\) решений нет.

Пример 2. Решите неравенство:
a) \( \log_a(x-1)+\log_a x\gt 2 \)
\(\log_a(x(x-1))\gt\log_a a^2\) \begin \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 0\\ x^2-x\gt a^2 \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 0\\ x^2-x\lt a^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt 1\\ x^2-x-a^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 1\\ x^2-x-a^2\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=x^2-x-a^2\)
\(D=1+4a^2\gt 0, \forall a\)
\(x_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2>\)
Эта парабола всегда имеет две различных точки пересечения с осью OX.
\(f(x)\gt 0\), при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\), при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt 1\\ x\lt\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2>\cup x\gt\frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x\gt 1\\ \frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2>\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ a\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \end \right. \end Ответ:
При \(a\gt 1\) луч \(x\in\left(\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2>;+\infty\right)\)
При \(0\lt a\lt 1\) интервал \(x\in\left(1;\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2>\right)\)
При \(a\leq 0\cup a=1\) решений нет.

б) \( \log_x(x-a)\gt 2 \)
\(\log_x(x-a)\gt\log_x x^2\) \begin \left[ \begin \begin x\gt 1\\ x-a\gt x^2\\ x-a\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ x-a\lt x^2\\ x-a\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 1\\ x^2-x+a\lt 0\\ x\gt a \end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0\\ x\gt a \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=x^2-x+a\)
\(D=1-4a\)

Для первой системы в совокупности получаем: \(x^2-x+a\lt 0\) при \(D\gt 1\Rightarrow 1-4a\gt 0\Rightarrow a\lt\frac14\)
Если \(x\gt 1\) и \(a\lt\frac14,\) то \(x\gt a\), противоречий нет.
\(x_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1-4a>><2>\)
Парабола ниже 0 на участке \(x_1\lt x\lt x_2\). \begin \begin x\gt 1\\ x^2-x+a\lt 0\\ x\gt a \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ \frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\\ a\lt \frac14 \end \end \(x_1=\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\lt 1\) при всех \(a\lt\frac14\)
Рассмотрим требование \begin x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\gt 1\Rightarrow 1+\sqrt<1-4a>\gt 2\Rightarrow \sqrt<1-4a>\gt 1\Rightarrow\\ \Rightarrow 1-4a\gt 1\Rightarrow 4a\lt 0\Rightarrow a\lt 0 \end \(x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\gt 1\) при \(a\lt 0\)
Решение первой системы: \( \begin 0\lt a\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0 \end \)
Если \(a\gt\frac14,\ D\lt 0\) и \(x^2-x+a\gt 0\) для всех \(x\)
Если \(a=\frac14,\ D=0\) и \(x^2-x+a\gt 0\) для всех \(x\), кроме \(x=\frac12\)
Если \(0\lt a\lt \frac14,\ x^2-x+a\gt 0\) для \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
Как было показано выше, при \(0\lt a\lt \frac14,\ x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\lt 1\) и \(a\lt x_2\lt x\lt 2\)
Кроме того \(a\lt x\lt x_1\lt 1\) \begin \begin 0\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0\\ x\gt a \end \Rightarrow \left[ \begin \begin \frac14\lt a\lt 1\\ a\lt x\lt 1 \end \\ \begin a=\frac14\\ \frac14\lt x\lt 1,\ x\ne\frac12 \end \\ \begin 0\lt a\lt \frac14\\ a\lt x\lt\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\cup \frac<1+\sqrt<1-4a>> <2>\lt x\lt 1 \end \end \right. \end Для наглядности отложим по оси OX параметр a, по оси OY — значение x(a).
Парабола \(f(x)=x^2-x-a^2\) в осях a и x(a) имеет ось симметрии \(x=\frac12\) и вершину в точке \(\left(\frac14;\frac12\right)\).
Получаем следующий график:

Синим заштрихована область первой системы неравенств совокупности, желтым – второй системы неравенств.
Ответ:
При \(a\lt 0,\ x\in\left(1;\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\right)\)
При \(0\lt a\lt\frac14,\ x\in\left(a;\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\right)\cup \left(\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>;1\right)\)
При \(a=\frac14,\ x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup\left(\frac12;1\right)\)

в) \( \frac<\log_a(35-x^3)><\log_a(5-x)>\gt 3 \) \begin \frac<\log_a(35-x^3)><\log_a(5-x)>-3\gt 0\\ \frac<\log_a(35-x^3)-3\log_a(5-x)><\log_a(5-x)>\gt 0\\ \left[ \begin \begin \log_a(35-x^3)\gt 3\log_a(5-x)\\ \log_a(5-x)\gt 0 \end \\ \begin \log_a(35-x^3)\lt 3\log_a(5-x)\\ \log_a(5-x)\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_a(35-x^3)\gt \log_a(5-x)^3\\ \log_a(5-x)\gt 0 \end \\ \begin \log_a(35-x^3)\lt \log_a(5-x)^3\\ \log_a(5-x)\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \\ \begin 0\lt 35-x^3\lt(5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \end \right. \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ \left[ \begin \begin 0\lt 35-x^3\lt(5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \\ \begin 35-x^3\gt (5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \end \right. \end \end \right. \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \\ \begin 0\lt 35-x^3\lt (5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \end \right. \end \end Решим основное неравенство: \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\\ 35-x^3\gt 125-75x+15x^2-x^3\\ 15x^2-75x+90\lt 0\\ x^2-5x+6\lt 0\\ (x-2)(x-3)\lt 0\\ 2\lt x\lt 3 \end Подставляем в систему: \begin \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 2\lt x\lt 3\\ x\lt 4 \end \\ \begin x\lt 2\cup x\gt 3\\ x\lt\sqrt[3]<35>\\ 4\lt x\lt 5 \end \end \right. \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ 2\lt x\lt 3 \end \end Ответ:
При \(0\lt a\lt 1\cup a\gt 1,\ x\in(2;3)\)
При \(a\leq 0\cup a=1\) решений нет

Пример 3. При каких значениях \(a\) уравнение $$ 2\lg(x+3)=\lg(ax) $$ имеет единственный корень?

\( \begin (x+3)^2=ax\\ x+3\gt 0\\ ax\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+(6-a)x+9=0\\ x\gt -3\\ ax\gt 0 \end \)
Решим графически в осях a и x(a).
Найдем уравнение ветвей кривой: \begin D=(6-a)^2-36=36-12a+a^2-36=a^2-12a=a(a-12)\\ x=\frac><2>\\ \left(2x-(a-6)\right)^2=a(a-12)\\ \left(2x-(a-6)\right)^2+36=a(a-12)+36\\ \left(2x-(a-6)\right)^2+36=(a-6)^2\\ (a-6)^2-\left(2x-(a-6)\right)^2=36 \end Получаем уравнение гиперболы: \begin \frac<(a-6)^2><6^2>-\frac<\left(2x-(a-6)\right)^2><6^2>=1 \end Уравнения асимптот: \begin \frac<(a-6)^2><6^2>-\frac<\left(2x-(a-6)\right)^2><6^2>=0\\ a-6=\pm\left(2x-(a-6)\right)\Rightarrow \left[ \begin 2(a-6)=2x\\ 0=-2x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=a-6\\ x=0 \end \right. \end Гипербола находится между этими асимптотами.
Строим ОДЗ: \( \begin x\gt -3\\ ax\gt 0 \end \)
Отмечаем точки, для которых \(D=0:\) $$ \begin a=0\\ x=-3 \end ,\ \ \ \begin a=12\\ x=3 \end $$ Над этими точками будет ветка гиперболы с \(x_2\), под ними – с \(x_1\).

При \(a=0\) корень \(x=-3\), но не выполняется требование ОДЗ \(ax\gt 0\)
При \(a=12\) корень \(x=3\), требования ОДЗ выполняются. Это ответ.
При \(a\gt 12\) всегда будет два решения.
При \(a\lt 0\) всегда будет только одно решение, т.к. \(x_1\lt -3\) и выходит из ОДЗ. Это тоже ответ.
Получаем: \(a\lt 0\cup a=12\)