Уравнение с параметром решение методом областей

Урок на тему «Метод областей». 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

«Считай несчастным тот день и тот час,
вк оторый ты не усвоил ничего нового и ничего
не прибавил к своему образованию».
Я.А Коменский

Тип урока: урок-обобщения и систематизации знаний учащихся.

Цели урока:

• создать условия для систематизации, обобщения знаний и умений обучающихся по применению различных методов решения неравенств;

• воспитание нравственных качеств личности, таких как ответственность, аккуратность, дисциплинированность;
• воспитание культуры общения.

• развитие у учащихся умений выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли;
• развитие психических процессов, таких как память, внимание, мышление, а также наблюдательности, активности, самостоятельности.

Задачи:

• формировать умение классифицировать неравенства по методам решения;
• закрепить навыки решения неравенств различными методами;
• отрабатывать навыки самоконтроля с целью подготовки к итоговой аттестации;
• воспитывать чувство коллективизма, ответственности.

Оборудование:

• Компьютер
• Мультимедийный проектор, звуковые колонки
• Программа «MicrosoftPowerPoint 2003»

Методы обучения:

• частично-поисковый метод,
• репродуктивный,
• обобщающий.

План урока.

План урока рассчитан на 2 учебных часа (90 мин)

1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
3. Повторение теории.
4. Решение неравенств различными методами (варианты ЕГЭ)
5. Самостоятельная работа с самопроверкой.
6. Итог урока.
7. Рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент

«То, что мы знаем, — ограничено, а то чего
мы не знаем, — бесконечно».

Приветствие учащихся.Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.Формулируется тема и цели урока. Знакомство с этапами урока.

II. Вступительное слово учителя

Для успешного исследования многих задач повышенной сложности полезно уметь строить не только графики функций, но и множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей. Это весьма полезный прием можно назвать обобщающим методом интервалов.
Метод областей особенно полезен при решении уравнений или неравенств с параметром. Применение метода интервалов в таких случаях затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. В этой ситуации нам может помочь метод областей.

III. Повторение теории

Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости.

Точка х=а разбивает числовую прямую на два множества, задаваемые неравенствами x a

Всякая действительная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением F(x;y)=0 разбивает координатную плоскость на конечное число областей, в каждой из которых для всех точек области выполняется только одно из неравенств: F(x;y)>0 или F(x;y) kx+p или y c

Решением системы неравенств с двумя переменными являются координаты точек пересечения множеств, удовлетворяющих одному из неравенств системы

Уравнение y= k(x-x₀) + y₀ задает множество прямых, проходящих через точку с координатами (x₀,y₀).

При изменении значений параметра прямые y= k(x-x₀) + y₀ «поворачиваются» вокруг данной точки. При увеличении параметра прямая поворачивается «против часовой стрелки», при уменьшении – «по часовой стрелке».

Уравнение y=kx+p при фиксированном значении параметра k = k₀ задает семейство прямых, параллельных прямой y=kx+p проходящей через начало координат

Если точка с координатами лежит «выше» прямой заданной уравнением y=kx+p, то ее координаты удовлетворяют неравенству , если же точка лежит «ниже», то неравенству

Задача

Пусть M – множество точек плоскости с координатами (x; y) таких, что числа x, y, 6-2x являются сторонами некоторого треугольника. Найдите его площадь.

Если три числа являются сторонами некоторого треугольника, то это числа положительные и каждое из них меньше суммы двух других чисел. Поэтому, координаты точек, удовлетворяющих условию задачи, будут задаваться системой линейных неравенств с двумя переменными:

Геометрическое место точек на плоскости

Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью.
Уравнением окружности называется уравнение вида

Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством

Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством

Геометрическое место точек на плоскости

Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение

Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой.
Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена

Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством

, а вторая –

Метод областей при решении задач с параметрами

1. Свойства функций

2. Графический прием

Параметр – «равноправная» переменная Þ отведем ему координатную ось, т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f(x ;a) >0

Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод:

• В задаче дан один параметр а и одна переменная х
• Они образуют некоторые аналитические выражения F(x;a), G(x;a)
• Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно

1. Строим графический образ
2. Пересекаем полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси
3. «Считываем» нужную информацию

Обобщенный метод областей («переход» метода интервалов с прямой на плоскость)

Неравенства с одной переменной

Неравенства с двумя переменной

1. ОДЗ
2. Граничные линии
3. Координатная плоскость
4. Знаки в областях
5. Ответ по рисунку

IV. Решение неравенств

Пример №1

Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства

Применим обобщенный метод областей.

1. Построим граничные линии

2. Определяем знаки в полученных областях и получаем решение 1 неравенства

3. Из полученного множества исключим решение

Пример № 2

При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решений.

1. Рассмотрим 1 неравенство и получаем

2. Рассмотрим 2 неравенство и получаем

3. Заметим, что исходная система неравенств равносильна системе:

4. Изобразим систему неравенств в виде плоской фигуры на координатной плоскости. Для этого введём параметрическую плоскость Oax

5. Мы получили плоскую фигуру, множество точек которой является решением системы.

Таким образом, отвечая на вопрос задачи, решений системы нет при

Пример №3

При каких положительных значениях параметраа система уравнений имеет ровно 4 решения.

1. Запишем систему в следующем виде:

2. Построим график 1 уравнения.

3. Построим график 2 уравнения – семейство окружностей с центром в точке (2; 0) и радиусом а.

Ответ: при

V. Самостоятельная работа с самопроверкой

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству

1. ОДЗ:

2. Строим граничные линии:

3. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение.

Ответ: заштрихованная область на рисунке

На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

1. На координатной плоскости нарисуем линии определённые равенствами x-y=0 и xy-1=0, которые разбивают плоскость на несколько областей.
2. Определяем знаки в областях.

Ответ: заштрихованная область на рисунке

VI. Итог урока

(подвожу итог, комментирую работу учащихся, сообщаю оценки за урок.)

VII. Рефлексия.

Ребята. На этом урок окончен. Спасибо за урок!

Литература.

1. П. И. Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. — М.: Илскса, Харьков: Гимназия, 2005,- 328 с.
2. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.
3. Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ-2007. Математика. М.: ООО «РУСТЕСТ», 2006. — 108с. Сост. — Клово А.Г.
4. Задачи с параметром и другие сложные задачи. Козко А.И., Чирский В.Г. М.: МЦНМО, 2007. — 296с.
5. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г.

Задачи с параметром.Метод областей.

методическая разработка — результат учебного проекта.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей при ТПУ

Задания с параметром.

учащиеся 10 класса:

Примеры использования “метода областей”

Неравенства для самостоятельного решения

Список используемой литературы

Математика интересна тогда, когда питает

нашу изобретательность и способность рассуждать.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей приводит к решению уравнений и неравенств, содержащих параметр. К сожалению, школьный курс не позволяет ученикам овладеть знаниями для решения задач с параметром. Между тем, задания такого плана встречаются во всех вариантах ЕГЭ. Также такие задания могут поставить ученика в «тупик», непривычной формулировкой вопроса. Задания с параметром полезны не только для общего развития, но и для умения продемонстрировать понимание цели выполняемых действий. Ученик, умеющий решать задачи с параметром, отличается аккуратностью, внимательностью и логичностью мышления. Запись ответа – это своего рода дополнительная задача, т.к. упустить какое-то решение не трудно.

Цель проектной работы: исследование возможности применения «метода областей», как более рационального, при решении задач с параметрами.

1. Знакомство с «методом областей».
2. Получение практических навыков по решению задач с параметром «методом областей».
3. Создание методического пособия для начинающих.

Предметом исследования являются классы неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих параметры, и методы их решения.

Для успешного исследования многих задач повышенной трудности, нужно уметь строить не только графики функции, но и изображать на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет «метод областей», который является одним из частных случаев функционально-графического метода. Идея «метода областей» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из областей, их которых составляется исходная область. Применение «метода областей» при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.

где Р (х, а) – функция, аргументами которого являются переменная х и параметр а.

определяет некоторые линии на координатной плоскости.

Разобьем этими линиями координатную плоскость на конечное число «областей», ограниченных линиями Р (х, а) = 0.

В каждой из полученных областей функция Р (х, а) отлична от нуля, так как точки, в которых Р (х, а) = 0 принадлежат границе этих «областей».

В каждой из областей, на которые линии Р (х, а) = 0 делят координатную плоскость, функция Р (х, а) сохраняет свой знак.

Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел (х, а), при которых неравенство выполняется, образует совокупность (объединение) тех областей, в которых значение функции (х, а) положительно (отрицательно).

Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания «методом областей» значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение. В своей работе мы постараемся показать рациональность использования «метода областей» для определённого класса задач.

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ “МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ”

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

х²+2х+ а≤ 0

Решение : Решим каждое из неравенств.

Найдем нули левой части неравенства:

Построим график полученной функции.

График функции разбивает координатную

плоскость на две области, в каждой из которых левая часть неравенства сохраняет свой знак.

Для определения знака области нужно взять произвольную точку из этой области и подставить их в изначальное неравенство.

1. По аналогии работаем со вторым

х²-4х-6 а ≤0

Найдем нули левой части неравенства:

а = х²-4х

6

Построим график полученной функции.

3) В закрашенной области находятся все точки,

которые являются решением системы.

А(0;0)

Система будет иметь единственное решение при а =1, а =0.

При каких значениях параметра а неравенство log a+x ((a-x)x) a+x x имеет хотя бы одно решение?

1. Рассмотрим неравенство, равносильное на ОДЗ:

log a+x ((a-x)x) a+x x

Нули левой части неравенства:

a=1-x,

x=0;

1. Построим на координатной плоскости а(х) графики функций и прямую .

Построенные линии разбивают координатную плоскость на несколько областей. Проверим знаки в каждой области, взяв произвольную точку.

f(3;1) 0, f(-1;-3) 0, f(-1;3) 0

Заштрихованные области удовлетворяют условиям неравенства.

Презентация «Метод областей в задачах с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«МЕТОД ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРОМ». Выполнила Тамбашева Алена, 10 Б класс, НМОУ «Гимназия № 44» Руководитель: Белокрылова И. В., учитель математики.

ПРИМЕР 1. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству Построим границы (графики функций) Проверим знак одной из областей. Возьмем точку (1;0)

Пример 2. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству: Построим границы Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.

Преобразуем неравенство: ПРИМЕР 3. Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству: Построим границы Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.

Алгоритм решения задач с параметром методом областей. Задачу с параметром можно рассматривать как функцию

1. На плоскости хОа строим границу 2. Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства

1. На плоскости хОа строим границу 2. Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства 5. Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет решение равно 3. Так же для второго неравенства 4. Ограничим область решения системы неравенств.

Пример 5. Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства . Применим метод областей. 2. Определяем знаки в полученных областях. Выделяем решение данного неравенства. 1.Строим граничные линии в плоскости хОр 0 2 2 -1 1 3 1

Пример 5. Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства . Применим метод областей. 2. Определяем знаки в полученных областях. Выделяем решение данного неравенства. 3. Из полученного множества исключаем решения неравенства 4. По рисунку считываем ответ Ответ: 1.Строим граничные линии в плоскости хОр р = 3 р = 0 0 2 2 -1 1 3 1

х а 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 -4 4 -2 2 Пример 6. Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решения. Решим систему методом областей. 1. Построим границы для первого неравенства и 2. Определяем знаки в полученных областях. 3. Выбираем области, соответствующие знаку неравенства

х а 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 -4 4 -2 2 Пример 6. Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решения. Решим систему методом областей. 1. Построим границы для первого неравенства и 2. Определяем знаки в полученных областях. 3. Выбираем области, соответствующие знаку неравенства 4. Построим границы и области для второго неравенства. 5. Считываем информацию. Ответ: система не имеет решения при

Пример 7. Найдите все значения а, при каждом из которых решение неравенства |х-а|+|у|2 является решением неравенства (у+3)(у-х+2)(х2-8х+12-у)≥0. х у 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 -4 4 -2 2 Применим метод областей 4 Определяем знаки в полученных областях. Выделяем решение данного неравенства. Ответ: при а=0 Так как параметр а влияет на сдвиг по оси Ох, то сдвигая область решения считываем ответ.

Литература П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. Б.М.Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницен, С.И.Шварцбурд. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл.сред.шк. — М.: Просвещение, 1990. А. И. Козко и др.ЕГЭ 2011. Математика. Задача С 5. Задачи с параметром. Москва.Издательство МЦНМО. 2011. http://ru.wikipedia.org/wiki/Параметр http://www.rusedu.ru/detail_7779.html http://asv420.narod.ru/EGE11_2010/C1_2010.gsp

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 996 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 27.08.2015
• 504
• 0

• 27.08.2015
• 437
• 0

• 27.08.2015
• 5641
• 323

• 27.08.2015
• 497
• 0

• 27.08.2015
• 844
• 0

• 27.08.2015
• 1108
• 1

• 27.08.2015
• 799
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.08.2015 6016
• PPTX 945.5 кбайт
• 58 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Белокрылова Ирина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 14207
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.