Уравнение с производной в квадрате

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решить уравнение:
(1)

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то 1″ style=»width:57px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position:-362px -390px»> .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2) .
Из уравнения (1) следует, что 0″ style=»width:62px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position:-300px -390px»> .
Поэтому при 1″ style=»width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position:-452px -0px»> , 0″ style=»width:51px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position:-446px -247px»> . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3) .
Поскольку верхний знак “+” относится к 1″ style=»width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position:-452px -0px»> , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
.
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
; или .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.

Квадрат производной

Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратом производной является операция возведения результата вычисления производной в степень 2.

Например, в результате вычислений получено:

Квадрат производной будет равен:

Найти квадрат производной

Распишем производную сложной функции

\[y’=\frac<1>-1> \cdot \left(x^ <2>-1\right) <<'>> \]

Найти квадрат производной четвертого порядка

1. Найдем производную первого порядка \[y’=\left(x^ <5>+3x^ <3>-x^ <2>\right) <<'>> =5x^ <4>+9x^ <2>-2x\]
2. Найдем производную второго порядка \[y»=\left(5x^ <4>+9x^ <2>-2x\right) <<'>> =20x^ <3>+18x-2\]
3. Найдем производную третьего порядка \[y»’=\left(20x^ <3>+18x-2\right) <<'>> =60x^ <2>+18\]
4. Найдем производную четвертого порядка \[y»»=\left(60x^ <2>+18\right) <<'>> =120x\]
5. Найдем квадрат четвертой производной \[\left(y»»\right)^ <2>=\left(120x\right)^ <2>=14400x^ <2>\]

Найти вторую производную неявной функции.

1. Приведем функцию к виду F(x;y(x)) = 0 \[x^ <2>+xy^ <3>-3=0\]
2. Продифференцируем полученное равенство \[\left(x^ <2>+xy^ <3>-3\right) <<'>> =0’\]
3. По свойству линейности: \[x^<2><<'>> +\left(xy^ <3>\right) <<'>> -3’=0’\]
4. Второе слагаемое — сложная функция \[2x+\left(x’y^ <3>+xy^ <3><<'>> \right)=0\] \[2x+y^ <3>+3xy^ <2>\cdot y <<'>> =0\]
5. Выразим $y’$ \[y <<'>> =\frac <-2x-y^<3>><3xy^<2>> \]
6. Продифференцируем полученное выражение повторно \[2\left(x\right) <<'>> +\left(y^ <3>\right) <<'>> +3\left(xy^ <2>\cdot y <<'>> \right) <<'>> =0\] \[2+3y^ <2>\cdot y <<'>> +3\left(\left(xy^ <2>\right) <<'>> \cdot y <<'>> +xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\] \[2+3y^ <2>\cdot y <<'>> +3\left(\left(x’y^ <2>+xy^ <2><<'>> \right)\cdot y <<'>> +xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\] \[2+3y^ <2>\cdot y <<'>> +3\left(\left(y^ <2>+2xy\cdot y’\right)\cdot y <<'>> +xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\]
7. Упростим \[2+3y^ <2>\cdot y <<'>> +3\left(y^ <2>y <<'>> +2xyy’^ <2>+xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\]
8. Заменим $y’$ полученным выше выражением. В скобках получили квадрат производной вычисления которого производится по приведенному выше правилу. \[2+3y^ <2>\cdot \frac <-2x-y^<3>><3xy^<2>> +3\left(y^ <2>\frac <-2x-y^<3>><3xy^<2>> +2xy\left(\frac <-2x-y^<3>><3xy^<2>> \right)^ <2>+xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\] \[2+\frac <-2x-y^<3>>+3\left(\frac <-2x-y^<3>><3x>+\frac <2\left(-2x-y^<3>\right)^ <2>><3xy^<3>> +xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=0\]
9. Приведем выражение к общему знаменателю и упростим \[3\left(\frac \left(-2x-y^ <3>\right)><3xy^<3>> +\frac <2\left(-2x-y^<3>\right)^ <2>><3xy^<3>> +xy\cdot y <<'>><<'>> \right)=\frac <2x+y^<3>>-2\] \[3xy\cdot y <<'>><<'>> =\frac <2x+y^<3>>-2-\frac <3y^<3>\left(-2x-y^ <3>\right)+6\left(-2x-y^ <3>\right)^ <2>><3xy^<3>> \] \[3xy\cdot y <<'>><<'>> =\frac <3y^<3>\left(2x+y^ <3>\right)><3xy^<3>> -\frac <2\cdot 3xy^<3>><3xy^<3>> -\frac <3y^<3>\left(-2x-y^ <3>\right)+6\left(-2x-y^ <3>\right)^ <2>><3xy^<3>> \]
10. Выразим вторую производную и упростим \[y <<'>><<'>> =\frac <6xy^<3>+6\left(-2x-y^ <3>\right)^ <2>><3xy^<3>\cdot 3xy> =\frac <6xy^<3>+24x^ <2>+24xy^ <3>+6y^ <6>><3xy^<3>\cdot 3xy> =\frac <3xy^<3>+8x^ <2>+8xy^ <3>+3y^ <6>><3x^<2>y^ <4>> \]

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: