Распределительное свойство сложения и умножения: формулы и примеры
Благодаря знанию распределительного свойства умножения и сложения, можно устно решить сложные, на первый взгляд, примеры. Изучается данное правило на уроках алгебры в 7 классе. Задания с использованием данного правила встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Распределительное свойство умножения
Для того, чтобы произвести умножение суммы некоторых чисел, можно умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученные результаты.
Проще говоря, a × (в + с) = ав + ас или (в + с) ×а = ав + ас.
Также, для упрощения решения, данное правило действует и в обратном порядке: а×в + а×с = а × (в + с), то есть общий множитель выносится за скобки.
Используя распределительное свойство сложения, можно решить следующие примеры.
- Пример 1: 3 × (10 + 11). Умножьте число 3 на каждое слагаемое: 3 × 10 + 3 × 11. Сложите: 30 + 33 = 63 и запишите полученный результат. Ответ: 63.
- Пример 2: 28 × 7. Представьте число 28 как сумму двух чисел 20 и 8 и перемножьте на 7, вот так: (20 + 8) × 7. Выполните вычисления: 20 × 7 + 8 × 7 = 140 + 56 = 196. Ответ: 196.
- Пример 3. Решите следующее задание: 9 × (20 – 1). Перемножьте на число 9 и уменьшаемое 20, и вычитаемое 1: 9 × 20 – 9 × 1. Вычислите полученные результаты: 180 – 9 = 171. Ответ: 171.
Это же правило действует не только на сумму, но и на разность двух и более выражений.
Распределительное свойство умножения относительно разности
Для того, чтобы выполнить умножение разности на число, следует умножить на него уменьшаемое, а затем вычитаемое и выполнить вычисление полученных результатов.
a × (в — с) = а×в — а×с или (в — с) × а = а×в — а×с.
Пример 1: 14 × (10 — 2). Используя распределительный закон, умножьте 14 на оба числа: 14× 10 -14 × 2. Найдите разность полученных значений: 140 – 28 = 112 и запишите полученный результат. Ответ: 112.
Пример 2: 8 × (1 + 20). Аналогично решается данное задание: 8 × 1 + 8 × 20 = 8 + 160 = 168. Ответ: 168.
Пример 3: 27× 3. Найдите значение выражения, пользуясь изученным свойством. Представьте 27 как разность двух чисел 30 и 3, вот так: 27 × 3 = (30 — 3) × 3 = 30 × 3- 3 × 3 = 90 – 9 = 81. Ответ: 81.
Применение свойства для более двух слагаемых
Распределительное свойство умножения применяется не только для двух слагаемых, а для абсолютно любого количества, в таком случае формула имеет данный вид:
а × (в + с+ d) = a×в +a×с+ a×d.
а × (в — с — d) = a×в — a×с — a×d.
Пример 1: 354×3. Представьте 354 как сумму трех чисел: 300, 50 и 3: (300 + 50 + 3) ×3= 300×3 + 50×3 + 3×3 = 900 + 150 + 9 =1059. Ответ: 1059.
Упростите несколько выражений, используя упомянутое ранее свойство.
Пример 2: 5 × (3х + 14у). Раскройте скобки, используя распределительный закон умножения: 5 × 3х + 5 × 14у = 15х + 70у. 15 х и 70у сложить нельзя, так как слагаемые не являются подобными и имеют различную буквенную часть. Ответ: 15х + 70у.
Пример 3: 12 × (4с – 5d). Учитывая правило, умножьте на 12 и 4с и 5d: 12 × 4с – 12 × 5d = 48с — 60d. Ответ: 48с — 60d.
Используя при решении примеров распределительное свойство сложения и умножения:
- с легкостью решаются сложные примеры, их решение можно свести к устному счету;
- заметно экономится время при решении сложных, на первый взгляд, задач;
- благодаря полученным знаниям, можно с легкостью упростить выражения.
Урок 16 Бесплатно Применение распределительного свойства умножения
В этом уроке мы узнаем, как умножать смешанное число на натуральное, и разберем, как использовать распределительное свойство умножения для рационализации вычислений с обыкновенными дробями и смешанными числами.
Распределительное свойство умножения
Это свойство говорит нам о том, что если необходимо умножить одно число, назовем его a, на сумму двух других чисел, обозначим их b и c, то ответом будет сумма двух произведений: произведения a и b и произведения a и c
Напомним, коммутативное свойство — это научный термин для обычного правила, которое гласит, что перемена мест слагаемых (или множителей) не влияет на результат.
Вторая строка говорит о том же самом, что и первая; просто показывает, что коммутативное свойство умножения работает и в этом случае.
Умножение смешанного числа на натуральное используя распределительной свойство
В уроке «Умножение дробей» мы уже касались этих моментов. Теперь рассмотрим их более подробно.
Самый простой способ умножения смешанного числа на натуральное заключается в том, чтобы перевести смешанное число в натуральную дробь, домножив целую часть на знаменатель и прибавив его к числителю, а далее домножить полученную неправильную дробь на натуральное число, перемножив числитель дроби и натуральное число.
Это и будет результатом.
Пример:
Этот пример нам показывает, что даже такая простая операция, как умножение на 2, приводит нас к множеству умножений, сложений и даже делению. Для больших чисел такой путь неудобен. Стоит только представить, что целая часть смешанного числа будет больше 100, и знаменатель также также весьма сложный, то мы получим операции, которые с трудом делаются в уме.
Здесь нас выручит распределительное свойство.
Если представить \(\mathbf<43\frac<1><3>>\) как сумму его целой и дробной частей, то есть
\(\mathbf<43\frac<1><3>=43+\frac<1><3>>\), то нам нужно будет в дальнейшем умножать только 43 и \(\mathbf<\frac<1><3>>\), что значительно проще.
Посмотрим, как это все будет выглядеть целиком:
Можно заметить, что несмотря на то, что мы удлинили запись выражения, сами вычисления стали проще.
Может возникнуть необходимость выделения целой части, про это забывать нельзя. Но даже в таком случае делимое будет значительно меньше, чем если бы мы выносили целую часть из произведения, полученного классическим способом.
Пример:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Применение распределительного свойства умножения
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы рассмотрим распределительное свойство умножения, которое называется распределительным законом. Узнаем, для чего применяется этот закон и в каких случаях уместно применение данного закона, а в каких нет. Также мы рассмотрим несколько примеров вычисления выражений с помощью распределительного свойства умножения.
http://ladle.ru/education/matematika/6class/primenenie
http://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/umnozhenie-i-delenie-obyknovennyh-drobej/primenenie-raspredelitelnogo-svoystva-umnozheniya