Уравнение сферической волны амплитуда частота фаза

Уравнение сферической волны амплитуда частота фаза

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

2.5. Сферические волны

В предыдущих разделах мы рассматривали специальный тип волн: фаза

зависела только от координаты х.

Волновой фронт — это нестационарная поверхность, во всех точках которой фаза волны имеет одно и то же постоянное во времени значение.

Для изученных нами волн колебания среды одинаковы во всех точках плоскости, ортогональной направлению распространения волны (мы выбрали его в качестве оси х). Иными словами, фронт волны является плоскостью, параллельной плоскости, содержащей оси у, z. Фронт бегущей волны перемещается с течением времени вдоль оси х с фазовой скоростью v. Такие волны называются плоскими.

Трехмерное волновое уравнение

Пусть мы по-прежнему имеем дело с плоской волной. Повернем координатные оси так, чтобы направление распространения волны задавалось каким-то единичным вектором n. Решение, очевидно, имеет вид:

Соотношения между , k и остаются прежними.

Волновой вектор — это вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны:

Фронт волны – плоскость, ортогональная волновому вектору k, – движется со скоростью v, оставаясь параллельным самому себе.

Найдем уравнение, которому удовлетворяет решение (2.65). Дважды дифференцируем выражение (2.65) по координатам х, у, z:

Складывая эти три уравнения, находим:

Вторая производная решения по времени имеет вид:

получаем из (2.67), (2.68):

Выражение в скобках в левой части уравнения является дифференциальным оператором, который называется лапласианом (или оператором Лапласа) и имеет специальное обозначение .

Записываем волновое уравнение для волн в трехмерном пространстве в окончательной форме:

Если волновая функция и зависит только от одной координаты (скажем, х), то лапласиан превращается во вторую производную по x, и мы возвращаемся к прежней форме волнового уравнения.

Подчеркнем, что не есть греческая буква («дельта»), а u не есть приращение величины u, но сумма вторых ее производных по координатам.

Но волновое уравнение (2.70) имеет и другие решения, нежели плоские волны. Простым дифференцированием можно убедиться, что сферическая волна

удовлетворяет волновому уравнению. Фронт волны является сферой с центром в месте расположения источника колебаний (r = 0), причем радиус сферы увеличивается со скоростью v.

Действительно, поверхность постоянной фазы дается уравнением

дифференцируя которое, находим

Амплитуда сферической волны

убывает с увеличением расстояния до точки наблюдения. Интенсивность волны

убывает по закону обратных квадратов. Это, как и закон Кулона, также связано с трехмерностью нашего пространства. Если среда не поглощает излучение, то поток энергии через поверхность сферы одинаков для сфер любых радиусов, окружающих источник излучения. Поскольку площадь сферы равна 4pr 2 , то энергия, проходящая через единицу площади, обратно пропорциональна r 2 .

Стоя у полотна железной дороги, можно наблюдать следующее явление: сигнал приближающейся электрички резко меняет свой тон (частоту) в момент прохождения электрички мимо наблюдателя. Это же явление может заметить наблюдатель, сидящий в поезде и проезжающий мимо сигналящего автомобиля, стоящего на переезде.

На рис. 2.18 демонстрируется аналогичное явление при движении вертолета мимо наблюдателя.

Рис. 2.18. Изменение тона звука при движении вертолета мимо наблюдателя

Эффект Доплера — это изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя.

Эффект назван по имени австрийского физика X. Доплера, предсказавшего его теоретически в 1842 г.

Движущийся наблюдатель, покоящийся источник звука. Пусть имеется источник звука, испускающий сферические звуковые волны. На рис. 2.19 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней (максимумов) звуковых волн. Пусть волна имеет частоту , тогда расстояние между гребнями равно длине волны

Рис. 2.19. Эффект Доплера при движении наблюдателя

Наблюдатель А движется прямо на источник звука со скоростью . Поэтому гребни волн приближаются к нему с увеличенной скоростью . С каждым последовательным гребнем волны наблюдатель встретится через время

после предыдущего. Следовательно, для него изменяется период колебаний. Наблюдаемая частота волны равна

Наблюдатель В удаляется по прямой линии от источника с той же скоростью (предполагаем, что , наблюдатель, удаляющийся от источника со сверхзвуковой скоростью, «убежит» от волны и вообще не услышит звука). Значит, гребни волн приближаются к нему со скоростью , и период колебаний равен

Отсюда получаем для наблюдаемой частоты:

Наконец, пусть наблюдатель Р движется со скоростью vH, составляющей угол с направлением на источник. На сдвиг частоты влияет только компонента скорости вдоль линии, соединяющей наблюдателя и источник:

Предыдущие формулы (2.72) и (2.73) для частных случаев получаются отсюда при и , соответственно.

На рис. 2.20 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера для случая покоящегося источника звука и движущегося наблюдателя.

Рис. 2.20. Моделирование эффекта Доплера при движении наблюдателя

Движущийся источник звука, покоящийся наблюдатель. Пусть теперь наблюдатель неподвижен, а звуковые волны испускаются источником, движущимся со скоростью . На рис. 3.21 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней звуковой волны, отмеченных цифрами черного цвета 1, 2, 3, 4.

Рис. 2.21. Эффект Доплера при движении источника

Эти гребни были испущены, когда источник звука находился в точках, отмеченных цифрами красного цвета 1, 2, 3, 4, соответственно. Иначе, точка 1 является центром сферы 1, точка 2 — центром сферы 2 и т. д. Видно, что центры соседних сфер смещаются на расстояние, проходимое источником за период колебаний

Это приводит к изменению расстояния между гребнями волн, приходящих к наблюдателю. Следовательно, наблюдатель регистрирует иную длину волны.

Наблюдатель А расположен так, что источник движется прямо на него. Для этого наблюдателя расстояние между гребнями волн уменьшается и равно

Скорость волны не зависит от движения источника, поскольку определяется свойствами среды. Следовательно, имеем обычную связь между длиной волны и ее фазовой скоростью:

Подставляя эти соотношения в (2.75), получаем

откуда находим частоту n звука, воспринимаемого наблюдателем А:

Для наблюдателя В расстояние между гребнями волн увеличивается и равно

Аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для частоты звуковой волны:

Наконец, для наблюдателя Р, направление на которого составляет угол со скоростью источника, выражение для частоты имеет вид:

Предыдущие выражения получаются отсюда при и , соответственно.

Пример 1. Наблюдатель, стоящий на платформе железной дороги, слышит гудок проходящего мимо поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна , а когда поезд удаляется — . Определим скорость поезда V и собственную частоту гудка . Скорость звука v предполагается известной.

При скорости поезда V, скорости звука v и собственной частоте колебаний частота , воспринимаемая при приближении поезда, равна

При удалении поезда воспринимаемая частота звука равна

Разделив первое соотношение на второе, получаем:

Отсюда находим скорость поезда:

Подставляя скорость поезда в выражение (2.79), получаем оттуда:

На рис. 2.22 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера в случае движущегося источника звука и покоящегося наблюдателя.

Рис. 2.22. Моделирование эффекта Доплера при движении источника

Движущийся источник звука, движущийся наблюдатель. Из полученных формул можно сделать общие выводы:

Выражение (2.84) явным образом нарушает принцип относительности Галилея. В самом деле, скорость сближения источника и наблюдателя есть сумма соответствующих проекций скоростей:

Согласно принципу относительности, все наблюдаемые эффекты должны зависеть только от . Формула же (2.84) позволяет отделить движение наблюдателя от движения источника. Для иллюстрации рассмотрим три примера. Спешим успокоить читателя: это кажущееся недоразумение, его разъяснение приведено ниже в конце рассмотрения примера 4. С принципом Галилея всё в порядке.

Пример 2. Сирена полицейской машины, стоящей на обочине дороги, издает сигнал на частоте 1 000 Гц. Определим, какой частоты звук услышит водитель, проезжающий мимо со скоростью 80 км/час.

В данном случае скорость автомобиля V = 80 км/час = 22.2 м/с — это скорость наблюдателя. Скорость звука . При сближении с полицейской машиной водитель воспринимает звук частотой

После того как водитель миновал полицейскую машину, воспринимаемая частота становится равной

Пример 3. Водитель стоящей на обочине дороги машины замечает проезжающий мимо полицейский автомобиль с включенной сиреной. Найдем частоту звука, который слышит водитель, если скорость полицейского автомобиля равна 80 км/час. Полицейская сирена – та же самая, что и в предыдущем примере.

Здесь скорость V = 22.2 м/с — это скорость движения источника. При приближении полиции водитель слышит сигнал частотой

При удалении частота воспринимаемого сигнала равна

Пример 4. Те же машины едут навстречу друг другу с равными скоростями 40 км/час = 11.1 м/с. Найдем частоты звукового сигнала при сближении и при удалении машин.

Применяем формулу (2.84). При сближении воспринимается звук частотой

При удалении машин сирена для водителя звучит на частоте

Во всех трех случаях получились разные результаты, хотя каждый раз скорости сближения (удаления) наблюдателя и источника были теми же самыми. В то же время численные результаты близки друг к другу. Это объясняется тем, что скорости автомобилей в задаче малы по сравнению со скоростью звука. В этом случае в формуле (2.84) можно пренебречь членами

и более высоких степеней. Преобразуем (2.84):

Пренебрегая теперь слагаемыми, содержащими отношения квадратов скоростей, находим приближенное выражение:

В (2.85) частота зависит только от относительной скорости источника и наблюдателя. Если бы формула была точна, во всех трех задачах мы получили бы один и тот же ответ:

Формула (2.85) удовлетворяет принципу относительности Галилея, но она верна, строго говоря, только при бесконечно большой скорости сигнала. Нарушение принципа относительности Галилея связано с наличием среды. Действительно, при движении тел в среде можно отличить состояние покоя от прямолинейного равномерного движения хотя бы по возникающему при движении ветру. Поэтому системы отсчета при наличии среды не равноправны: из них выделена та, в которой среда как целое покоится.

Рассмотрим теперь случай, когда источник звуковых волн движется со скоростью, превышающей скорость звука: . Пусть в момент времени t = 0 источник был в точке S0, а в момент t он находится в точке St (рис. 2.23). Расстояние между этими точками равно .

Рис. 2.23. Образование конуса Маха при сверхзвуковом движении источника

В каждой точке своей траектории (для простоты мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение) источник испускал сферические звуковые волны. Волна, испущенная в момент t = 0, к текущему моменту времени t достигла точки А. Волны, испущенные на пути от S0 до St ,успели пройти меньшие расстояния. Как видно из рис. 2.23, в данный момент времени имеется коническая поверхность (ее называют конусом Маха), касательная к фронтам всех испущенных сферических волн. Эта коническая поверхность начинается от источника звука, а ее ось совпадает с направлением движения источника. Конус Маха отделяет области пространства, куда дошел звук от источника, от тех областей, куда звук не успел еще дойти. В следующий момент времени источник переместится в точку . Соответственно переместится и конус Маха, захватив новые области пространства (показано пунктирной линией).

Синус угла раствора конуса определяется как отношение расстояния , пройденного звуковой волной за время t, к расстоянию , пройденного источником за то же время:

Коническую поверхность можно воспринимать как фронт волны (ее называют ударной). Направление распространения волны — это нормаль к фронту. Следовательно, ударная волна распространяется под углом

к направлению движения источника. Соответственно, (2.86) можно записать в виде:

Число Маха — это отношение , то есть скорости источника к скорости звука в данной среде.

Пример 5. Самолет летит горизонтально на высоте 5 000 м с постоянной скоростью. Наблюдатель заметил его у себя над головой, и засек время. Звук от самолета появился через 11 с после этого. Найдем скорость самолета и определим, на каком расстоянии по горизонтали находится самолет от наблюдателя в момент, когда последний зарегистрировал приход звука от него?

За время t самолет удалился от наблюдателя на расстояние . Так как в этот момент звук достиг наблюдателя, то точка наблюдения оказалась на конусе Маха (рис. 2.24).

Рис. 2.24. К примеру 5. О пролете сверхзвукового самолета. Пунктирная линия – положение конуса Маха
в момент пролета самолета над головой, сплошная – конус Маха в момент,
когда звук дошел до наблюдателя

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

25.Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости х = 0, колеблются по закону . И пусть υ— скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы В среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии х от источника колебаний О, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния х требуется время , то ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ.

Уравнение колебаний частиц, лежащих вплоскости х, имеет вид

Следовательно, функция является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

здесь: А = constамплитуда волны,

ω — циклическая частота,

начальная фаза волны,

— фаза плоской волны.

Если определить волновое число:

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении имеет вид:

25.Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна:

26. Уравнение сферической волны.

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по закону .

27. Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных:

или

где υ — фазовая скорость,

оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

28.Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

29.Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Связь групповой и фазовой скоростей:

30. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.

Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой , частотой ωи постоянной разностью фаз:

,

где и — расстояния от источников до рассматриваемой точки, k

волновое число, — начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников , то результат интерференции двух волн зависит от величины , называемой разностью хода.

Интерференционный максимум наблюдается в точках, где

Числа называются порядком интерференционного максимума.

наблюдается в точках,

Интерференционный минимум наблюдается в точках, где .

Числа называются порядком интерференционного минимума.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны.

Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х:

,

Сложив эти уравнения, с учетом и получим уравнение стоячей волны:

В точках среды, где =0,1, 2. ) амплитуда стоячей волны достигает максимального значения . Такие точки называются пучностями стоячей волны.

В точках среды, где (т = 0,1,2. ), амплитуда стоячей обращается в нуль . Такие точки называются узлами стоячей волны.

Координаты узлов: (m=0,1,2,…).

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны: .

В бегущей волнеВ стоячей волне
Амплитуда колебаний
все точки волны совершают колебания с одинаковой амплитудойвсе точки между двумя узлами колеблются с разными амплитудами
Фаза колебаний
фаза колебаний зависит от коор­динаты х рассматриваемой точкивсе точки между двумя узлами колеблются с одинаковыми фазами
при переходе через узел фаза колебаний изменяется на π; точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе
Перенос энергии
энергия колебательного движе­ния переносится в направлении распространения бегущей волныпереноса энергии нет, лишь впределах происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то на границе сред образуется пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то на границе сред образуется узел стоячей волны.

32. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; — скорости источника и приемника (положительны при сближении и отрицательны при удалении источника и приемника); п0 — частота колебаний источника; υ — скорость распространения звука в данной среде.

1)Источник и приемник покоятся относительно среды: .

Длина волны . Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет его колебания с частотой: .

2)Приемник приближается к источнику, а источник покоится:

. Скорость распространения волны относительно приемника станет равной , при этом длина волны не меняется, следовательно

Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.

3)Источник приближается к приемнику, а приемник покоится:

. Скорость распространения колебаний υ зависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние . Источник же пройдет расстояние . Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет . Частота колебаний которые воспринимает приемник, увеличится:

Дата добавления: 2016-04-22 ; просмотров: 1289 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


источники:

http://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/2/2.5.html

http://helpiks.org/7-93774.html