Уравнение сферы через 4 точки

Уравнение сферы через 4 точки

Построим сферу, проходящую через четыре несовпадающие точки, расположенные в трехмерном пространстве. Идея алгоритма состоит в следующем: все точки сферы одинаково удалены от ее центра. Возьмем первую и вторую точки, задающие сферу и найдем то множество точек, которые равноудалены от них. Понятно, что такие точки будут находиться на плоскости, проходящей через центр отрезка, соединяющего первую и вторую точку, причем эта плоскость будет перпендикулярна этому отрезку.

Аналогичные рассуждения можно провести в отношении первой и третьей, а также первой и четвертой точек. Таким образом, будет образовано три несовпадающие плоскости, определенные на парах обозначенных выше точек. Как известно, три несовпадающие плоскости пересекаются в единственной точке. Понятно, что эта точка будет удалена на равные расстояния от всех четырех точек, задающих сферу. Она и будет являться центром искомой сферы. Для определения радиуса сферы необходимо измерить длину отрезка между центром сферы и любой из задающей ее точек.

Задача сводится к решению следующих подзадач:

— нахождение середин отрезков, соединяющих первую точку с остальными точками;
— построение плоскостей, проходящих через середины отрезков и перпендикулярных этим отрезкам;
— нахождение точки пересечения трех плоскостей;
— определение длины отрезка, соединяющего центр сферы и одну из определяющих ее точек;
— построение сферы по центру и радиусу.

Приступим к реализации алгоритма решения задачи.

Для решения поставленной задачи нам потребуется использовать алгоритм пересечения двух плоскостей. Такой алгоритм уже был разработан в проекте под названием «Пересечение плоскостей«. Для того чтобы не создавать его заново, воспользуемся примером из этого проекта, загрузим его в систему Симплекс и скопируем алгоритм пересечения плоскостей в буфер Clipboard. Для этого перейдем в окно алгоритма Прямая пересечения двух плоскостей, вызовем контекстное меню этого окна щелчком правой кнопки мыши и выберем в нем пункт Алгоритм... В появившемся окне следует перейти в Список алгоритмов проекта, выделить в нем алгоритм alg1 и, вызвав контекстное меню, выбрать пункт Копировать «alg1». В результате этого действия алгоритм и описание всех его параметров будут занесены в буфер Clipboard. Впоследствии мы вставим эту информацию в наш новый проект, реализующий задачу построения сферы по четырем точкам.

Теперь можно закрыть окно Список алгоритмов и вызвать команду создания нового проекта Ctrl+N.

Разместим курсор над открывшимся окном алгоритма Главный и, вызвав контекстное меню щелчком правой кнопки мыши, выберем пункт Вставить. В ответ на это действие система задаст вопрос о том, каким образом согласовать имена объектов алгоритма, хранящихся в буфере Clipboard, с именами объектов в алгоритме, в который производится вставка. Потенциально в алгоритмах могут быть объекты с одинаковыми именами, что может привести к конфликту состава отношений алгоритма. Но, поскольку, алгоритм Главный пуст, никаких конфликтов не возникнет и мы сможем произвести обыкновенную вставку, не выполняющую операцию замены имен вставляемого алгоритма на новые, неиспользуемые в алгоритме-приемнике.

Выполненная вставка не приводит к каким-либо видимым изменениям в проекте. Проверить то, что изменения все-же произошли, можно, вызвав из контекстного меню пункт Алгоритм, и убедиться в том, что в состав алгоритма включен алгоритм alg1 (Прямая пересечения двух плоскостей).

В настоящий момент имеет смысл выполнить команду сохранения проекта в файле на носителе информации, обратившись к пункту главного меню Файл/Сохранить как.

Для решения задачи потребуется еще один алгоритм, отвечающий за построение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной к заданному отрезку. Пользуясь командой проведения Свободной прямой, построим две произвольные линии o1 и o2, являющиеся проекциями некоторой прямой, расположенной в трехмерном пространстве. Изменим атрибут линии o2 на пунктирное начертание, для того чтобы визуально соотносить эту линию с объектами горизонтального поля проекций

2Разместим курсор где-нибудь над прямой o1 и выполним щелчок левой кнопкой мыши при нажатой клавише Ctrl, чтобы сгенерировать точку, принадлежащую прямой o1.

3Проведем через точку p1 вертикальную линию связи, предварительно выделив эту точку и нажав на клавиатуре кнопку с латинским символом v. Добавим к полученной и выделенной в данный момент линии o3 линию o2, удерживая при этом нажатой клавишу Shift, и нажмем на клавиатуре клавишу с латинским символом p, для того чтобы найти точку p2 пересечения двух прямых линий o2 и o3.

Прямые линии, задающие искомую плоскость, строятся следующим образом:

— фронтальная проекция прямой прямой плоскости, перпендикулярной к линии, заданной проекциями o1—o2 должна пройти через точку p1 горизонтально. Для ее построения выделяем точку p1, нажимаем на клавиатуре клавишу с латинским символом h, изменяем атрибут цвета на красный и атрибут начертания на укороченный (клавиша с цифрой 9).

— горизонтальная проекция первой прямой плоскости o5 должна пройти перпендикулярно горизонтальной проекции исходной прямой через точку p2. Для ее построения выделим два объекта — точку p2 и прямую o2 и нажмем на клавиатуре клавишу с латинским символом o. Изменим атрибуты отображения этой прямой.

Проекции второй прямой плоскости строятся по аналогичному правилу лишь с той разницей, что теперь проекция прямой на горизонтальную плоскость должна проходить через точку p2 и быть строго горизонтальной, в то время как фронтальная проекция должна быть перпендикулярной фронтальной проекции исходной прямой и проходить через точку p1.

Реализация алгоритма выполнена. Теперь необходимо определить интерфейс взаимодействия с алгоритмом. Выделим последовательно объекты o4, o5, o7, o6 и, вызвав контекстное меню, назначим их выходными параметрами алгоритма. Вход алгоритма определим следующим образом: Выделим объекты p1, p2, o1, o2 и назначим их входными параметрами алгоритма. Укажем имя алгоритма (Плоскость, перпендикулярная к прямой в точке) и названия входных и выходных параметров.

p1 — 1-я проекция точки;
p2 — 2-я проекция точки;
o1 — 1-я проекция прямой;
o2 — 2-я проекция прямой.

o4 — 1-я проекция 1-ой прямой плоскости;
o5 — 2-я проекция 1-ой прямой плоскости;
o7 — 1-я проекция 2-ой прямой плоскости;
o6 — 2-я проекция 2-ой прямой плоскости.

Приступим к решению основной задачи.

Перейдем в окно алгоритма Главный и разместим в поле чертежа модели четырех точек, расположенных в трехмерном пространстве. Для этого, перемещая курсор по полю чертежа, будем нажимать на клавишу с латинским символом V (верхний регистр). Следует обратить внимание на то, что перед вводом каждой очередной команды необходимо снимать выделение, переводя курсос в поле, свободное от изображений объектов чертежа, и щелкая левой кнопкой мыши.

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Формула. Объём шара:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x — x ₀) 2 + ( y — y ₀) 2 + ( z — z ₀) 2 = R 2

Основные свойства сферы и шара

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

V =	h 2 π	(3R — h )
	3

S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

V =	2 π R 2 h
	3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Геометрия

План урока:

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х₀, у₀, z₀), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Равенство неверное, значит, В не располагается на сфере (более того, раз 49 2 .

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О₁ и О₂ с радиусами R₁ и R₂ соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О₁А, О₁В, О₂А и О₂В. Теперь сравним ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂. Сторона О₁О₂ у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О₁О₂. Из равенства ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ вытекает два факта:

• эти высоты упадут в одну точку Н;
• эти высоты будут одинаковы, то есть АН = НВ.

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О₁О₂ – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О₁О₂⊥АН и О₁О₂⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О₁НС и ∆О₁НА. Они прямоугольные, ведь О₁Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О₁Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О₁НС и ∆О₁НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О₁. Аналогично рассмотрев ∆О₂НС и ∆О₂НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О₁О₂ должен быть меньше суммы отрезков О₁А и О₂А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Ответ: 100π см 2 .

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.