Уравнение сферы и плоскости решение задач

4.2.10. Примеры решения задач по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А=<5; -1; 3>,

Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты

Точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормали, то есть вектора, перпендикулярного плоскости.

Векторы АВ = (-3; 3; -3) и АС = (-6; 2; -2) параллельны данной плоскости, поэтому их векторное произведение или любой вектор, коллинеарный ему, является нормалью к плоскости.

Выберем в качестве нормали П = (0; 1; 1), а точкой <Х0; У0; Z0> будем считать точку В. Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Составить канонические уравнения прямой

Для того, чтобы составить канонические или параметрические уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты направляющего вектора, то есть вектора, коллинеарного прямой.

Прямая является линией пересечения двух плоскостей, поэтому ее направляющий вектор А параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям П1 и П2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [N1, N2].

Будем искать точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить единственным образом из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости. Выберем для удобства вычислений Z0 = 0, тогда для точки М=<Х0; У0; 0>

Теперь составим канонические уравнения данной прямой:

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую L:

Точка А= <-3,5,-1>принадлежит плоскости, соответственно вектор параллелен плоскости. Кроме того, поскольку данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Поскольку прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. При T = 0 из уравнений прямой получаем:

Координаты точки А, принадлежащей прямой и соОтВетственно плоскости.

Тогда вектор АМ = (5; -8; 2) параллелен Плоскости. Следовательно, нормаль

П к плоскости коллинеарна векторному произведению [A, AM] = (-6; -9; — 21).

Выберем N = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через

Найти кратчайшее расстояние между прямыми

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составьте уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости; если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A.

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составим уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости (рис.9); если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A (рис.10).

[A1, A2] = (10; -14; 1) = N, точка А= <5; 0; -25>лежит на прямой L1, следова-тельно, она лежит и в плоскости A. Тогда уравнение плоскости A имеет вид:

Точка В= <1; 2; 13>принадлежит прямой L2. Проверим, лежит ли эта точка в плоскости A:

Тогда искомой величиной будет расстояние от В до A. Его можно найти, составив нормальное уравнение плоскости A:

Ответ: .

Найти точку, симметричную точке А(5; -10; 4) относительно плоскости

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ.

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ. Составим уравнения прямой АВ. Эта прямая перпендикулярна A, поэтому ее направляющим вектором можно считать нормаль к плоскости A: A = N = (1; -3; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

Точка О принадлежит и прямой АВ, и плоскости A, поэтому ее координаты должны удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Подставим в уравнение плоскости A параметрические выражения для X, Y, Z из уравнений прямой АВ:

T + 5 – 3(-3T – 10) + T + 4 – 6 = 0; 11T + 33 = 0; T = -3.

Итак, координаты точки О:

Поскольку точка О – середина отрезка АВ, то

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — Тема: Решение задач по теме: «Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение задач по теме: «Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками»

— применить умения в использовании теоретических сведений для составления уравнений окружности, сферы, плоскости.

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

I Вариант II Вариант

1. Дан ∆ ABC с вершинами в точках Дан ∆ ABC с вершинами в точках

A (7; 3; -2) A (2; 0; 5)

B (1; 3; 6) B (3; 4; 0)

С (0; 0; -1). C (2; 4; 0).

Найти длину средней линии, Найти длину средней линии,

параллельной AB . параллельный BC .

2. Составить уравнение плоскости, Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку А и проходящей через точку В и

перпендикулярный вектору AB , перпендикулярный вектору AB ,

если А(2; 3; -4), В(-1; 2; 2). если А(-2; 1; 3), В(1; -2; 4).

3. Сфера задана уравнением

( x -1) 2 + y 2 +( z -2) 2 = 9 x 2 +( y +3) 2 +( z -2) 2 = 25

a ) Назовите координаты центра и радиус сферы.

б) Определите, принадлежит ли данной сфере точки:

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

1.Расстояние между точками.

,

AB =

2. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

Ненулевой вектор n, перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точка М(х₀;у₀; z ₀) и нормальный вектор n = (A, B, C) плоскости, то ее уравнение имеет вид A ( x — x ₀ ) + B ( y — y ₀) + C ( z — z ₀)

Равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов n и M ₀ M .

— уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r.

— уравнение окружности с центром в точке и радиусом r.

— уравнение сферы в точке с центром и радиусом R.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Дан ∆АВС с вершинами в точках А(3; -4; 2), В(-5; 6; 7), С(5; -6; 3).

Найти длину средней линии, параллельной АС.

MN — средняя линия

AC =

=

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; -2; 4) и перпендикулярный вектору MN , N (3; 4; 5).

MN=(3-1; 4+2; 5-4); MN=(2; 6; 1); a=2; b=6; c=1.

Сфера задана уравнением

( x +2) 2 +( y -5) 2 + z 2 =16.

а) Назовите координаты центра и радиус сферы.

б) Определите принадлежат ли данной сфере точки: А(-2; 9; 0) и В(1; 3; 2)

а) (-2; 5; 0) – координаты центра.

R = = 4.

(-2+2) 2 +(9-5) 2 +0 2 =16

А принадлежит сфере.

(1+2) 2 +(3-5) 2 +2 2 =16

В не принадлежит 17=16 (неверно).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Записать формулу расстояния между точками.

2. Уравнение плоскости.

3. Уравнение окружности.

4. Уравнение сферы.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7. Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.

Практическая работа по математике для обучающихся 1 курса СПО по теме «Уравнение сферы, плоскости, прямой»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n _1; n ₂ ) Координаты точки ( х ₀ ; у ₀ ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n ₁ ( x -х ₀ )+ n ₂ ( y -у ₀ )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D =0 , где коэффициенты A , B , C , D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

( x − a ) 2 +( y − b ) 2 +( z − c ) 2 = R 2 ( R — радиус сферы; a , b , c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.

Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + ( y —3) 2 + z 2 =100.

Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)

Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)

Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6 z + 5 = 0, является уравнением сферы.

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

Какой вид имеет общее уравнение плоскости?

Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?