Уравнение прямой, плоскости и сферы
306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
sostavlenie_uravneniy_sfery_ploskosti_pryamoy.docx | 32.08 КБ |
Предварительный просмотр:
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.
Справочный материал и примеры.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0
Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:
A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)
Задания для практической работы:
- Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
- Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
- Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
- Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
- Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
- Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
- Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).
- Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
- Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
- Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
- Какой вид имеет общее уравнение прямой?
- Какой вид имеет уравнение сферы?
Уравнение сферы, плоскости, прямой
Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат
Понятие сферы и её элементов
Уравнение сферы в заданной системе координат
Тело вращения — сфера
Тело вращения — сфера
Определение сферы Элементы сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
т.О — центр сферы
ОА – радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы.
ВС – диаметр сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы
d=2r
На плоскости В пространстве Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии
Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии
Уравнение с тремя переменными х,у,z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности
На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у;z)
Уравнение плоскости и прямой
Уравнение плоскости и прямой
Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 где
Общее уравнение плоскости
где А, В, С, D – числовые коэффициенты
Особые случаи уравнения: D = 0
Особые случаи уравнения:
D = 0 Ax+By+Cz = 0
плоскость проходит через начало координат.
А = 0 Ву + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Ох.
В = 0 Ах + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Оу.
C = 0 Ax+By+D = 0
плоскость параллельна оси Oz.
Особые случаи уравнения: А = В = 0
Особые случаи уравнения:
А = В = 0 Сz + D = 0
плоскость параллельна плоскости Оху.
А = С = 0 Ву + D = 0
плоскость параллельна плоскости Охz.
В = C= 0 Ах+D = 0
плоскость параллельна плоскости Оуz.
Особые случаи уравнения: A = D = 0
Особые случаи уравнения:
A = D = 0 By+Cz = 0
плоскость проходит через ось Ox.
B = D = 0 Ax + Cz = 0
плоскость параллельна оси Оy.
C = D = 0 Ах + By = 0
плоскость параллельна оси Оz.
Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость
Уравнения координатных плоскостей
x = 0, плоскость Оyz
y = 0, плоскость Оxz
z = 0, плоскость Оxy
Две плоскости в пространстве: параллельны, если существует такое число k, что
совпадают, если существует такое число k, что
Две плоскости в пространстве:
параллельны, если существует такое число k, что
В остальных случаях плоскости пересекаются.
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Итак, пусть произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.
Если известна какая-нибудь точка плоскости
Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку
Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е.
Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :
Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Используем формулу
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Решение:
Ответ: 5x + y — 4z — 3=0
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Прямую, проходящую через точку A0(x0,y0,z0) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениями
В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x2-x1,y2-y1,z2-z1) и в качестве точки А0 точку А1, получим следующие уравнения
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2020/11/15/sostavlenie-uravneniy-sfery-ploskosti-pryamoy
http://znanio.ru/media/uravnenie-sfery-ploskosti-pryamoj-2761629