Уравнение шредингера для частицы в магнитном поле

Уравнение Шредингера в магнитном поле

Уравнение Шредингера в магнитном поле

• Уравнение Шредингера в магнитном поле Ясно для частиц со спином Естественный магнитный момент | и соответствующий ему Операторы квантовой механики пропорциональны операторам спин с, т.е. C = -8, (P 1.1) S Где s — значение вращения частицы, а a / i — характеристика компонента. Константа TSY. Собственное значение магнитной проекции Это Джиз-Ра / с.

• Это коэффициент фи (Обычно просто называется магнитной величиной мент) — максимально возможное значение / из, Спиновая проекция достигается при a = s. Отношение c / hs дает собственное магнитное отношение От момента частицы к ее собственному механическому моменту (Когда оба ориентированы вдоль оси Z). Как вы знаете, нормально (Орбитальный) момент, это отношение равно е / (2 тс) (См. II, §44).

Коэффициент пропорциональности между Существует магнитный момент и спин частицы Отличное лето. Людмила Фирмаль

Для электронов — | e | / t s, т. Е. Равно двойному Нормальное значение (это значение теоретически Релятивистское волновое уравнение Дирака — см. IV, §33). Собственный магнитный момент (спин 1/2) электрона Поэтому цвет, где = ML = o, 927 • 10-20. (111-2) 2т с GS Эта величина называется боровским магнетоном. Магнитный момент тяжелых частиц обычно измеряется Ядерный магнетон определяется как e // (2m pc), где m p- Масса протона.

Эксперимент дает вам магнитно 2.79 ядерного магнитного значения протонного момента, Чем момент направлен на спину. Нейтронный магнитный момент Направлено на другую сторону спины, равно 1,91 ядерного магнита Тон. 1 Величины q и s Равная часть (1 1 1. 1) должна быть, Он является векторным персонажем: оба являются осевыми векторами такое же равенство ми электрических диполей.

Момент d (d = const -s) противоречит симметрии Перестановка координат: при обращении относительная Актуальный знак с обеих сторон равенства 1). В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле Это можно рассматривать только как внешнее поле. магнит Взаимодействие между частицами релятивистское Последовательные отношения необходимы для эффективности и рассмотрения Теория Vista.

В классической теории заряженная функция Гамильтона В электромагнитном поле я = ^ (р-; А) 2 + е ^ Где (p — скаляр, A — потенциал вектора поля, а p — объем. Импульс частицы (см. II, §16). Если частица не владеет При вращении переход к квантовой механике обычно По-другому: обобщенный импульс должен быть заменен операторами p = —i h V и получаем гамильтониан 2) H = ^ (p- ^ A) 2 + e

• Дело в том, что присущий магнитный момент Частицы взаимодействуют напрямую с магнитным полем. в Классическая функция Гамильтона в целом это взаимодействие Отсутствие, потому что сам спин является чисто квантовым эффектом Эффект исчезает при переходе к классическому пределу.

Дения (111,3) — каждый NAM В энергии магнитного момента | и в магнитном поле Н. Таким образом, 1) Это также предмет ссылки (лекция) а м о м м е т е р т е н и с) р и с и м Измерение и преобразование: значение рельефа изменения n измените d и измените значение (например, и перед Нет и не все, и не все: соединение д и я и ш.

Пула Сильное выражение гамильтониана Дополнительные условия. Людмила Фирмаль

В порядке, а в случае удаленного взаимодействия — а также в космосе и с). 2) Про и можно общаться под тем же именем h n и m (в случае R II, §16), примечание Из них Гамильтонова форма частиц со спином равна 1) H = — (p — a) 2-q H + ev? , (111,4) 2т В с / Открывая квадрат (p- (e / s) A) 2, обратите внимание на следующее: Вообще говоря, оператор p не коммутативен с вектором A, но явно Координатная функция.

Так что вам нужно написать H = -‘- p2- (pA + Ap) + T ^ A2-> sH + e A + V /, (p-> ► (p- (111.8) в / Есть какая-то функция координат и времени. Такие предварительно Формирование не влияет на напряженность поля. Следовательно, должно быть ясно, что ни один из них не должен быть существенно изменен.

И решение волнового уравнения. Особенно нужно оставить Неизменный квадрат | 変 化 | 2. Действительно легко увидеть Возвращаясь к исходному уравнению одновременно Но гамильтонова замена (1 1 1 .8) По волновой функции Ф-> Фехр （^ / имеется- пользователь111.9） 1) Идентификация и способность к интересам Вы можете установить: g a m l a n t t a n a n n n g I p k o y n a d О б к в и у.

Эта неоднозначность волновой функции не имеет никакого эффекта Имеет физический смысл (в определении Потенциал явно не включен). В классической механике обобщенный импульс частиц ограничен Занимается скоростью mv = p-eA / s. В порядке Чтобы найти оператор v в квантовой механике, Вектор мутирует гамильтонианом. Простой расчет Приводит к результатам m v = p — A, (111.10) и Это точно так же, как классика.

Для операторов связи Коэффициент скорости имеет правило переключения = i — ^ — H z, = i ^ H x, (Привет И) <%,%>= Я-Щ-Ну, м с Легко проверить прямым расчетом. мы В магнитном поле оператор трех компонентов сразу Частицы (заряженные) некоммутативны. Это Означает, что частицы не могут иметь конкретную одновременно Значения скорости во всех трех направлениях.

Симметричный при движении в магнитном поле Изменение времени происходит только в мятежных условиях Знак поля n (и векторный потенциал A). Это (См. § 18 и 60) Уравнение Шредингера Hf = Ef Сохранять внешний вид при переходе на сложные конъюгаты Измените количество и подпишите N. Все члены Гамильтон Это прямо за исключением терминов nian (111.4), -sH Для того, чтобы очистить.

Терминология уравнения Шредингера -BNf С преобразованием, указанным с первого взгляда Оператор s * не является, поэтому он нарушает требуемую инвариантность Матчи -s. Тем не менее, волновая функция Реальный контравариантный спиннер φχ ^ ´- ^ Plex сопряженный преобразуется в ковариантный (См. § 60). Спинор φ ^ Нахо противоречив Определение (57.4), (57.5), Компонент (sH ^) * и Если они выражены как φ ^, операция Увеличение времени приводит к уравнению Шредингера. F в той же форме, что и исходное уравнение компонент

Если вам потребуется заказать решение по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме d V в области с координатами x y z , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( 1887 — 1961 , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

— h 2 m ∇ 2 Ψ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i h ∂ 2 Ψ ∂ t 2 .

Здесь m обозначает массу частицы, i 2 — мнимую единицу, ∇ – так называемый оператор Лапласа, равный ∇ 2 Ψ = ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 , Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U ( x , y , z , t ) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z ) e — i E h t .

Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

— h 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ .

∇ 2 Ψ + 2 m h 2 ( E — U ) Ψ = 0 .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H ^ . Его можно найти, сложив значения операторов — h 2 2 m ∇ 2 + U = H ^ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.