Уравнение шредингера и его свойства

Уравнение Шредингера, его свойства.

1. Уравнение Шредингера, его свойства. Статическая интерпретация волновой функции.

Ур-е Шредингера – основное ур-е нерелятивистской квантовой механики, которому подчиняется любая волновая ф-ция y ( x , y , z , t ). Частица движется в некотором силовом поле ` F ( x , y , z , t )= gradU ( x , y , z , t ) то есть силовое поле задается силовой ф-цией. Нужно найти волновую ф-цию, т.е. решить ур-е Шредингера:

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства .

2. Фотопроводимость полупроводников,процессы генерации и рекомбинации носителей заряда

Фотопроводимость полупроводников – увеличение электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения – может быть обусловлена свойствами, как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т.е. когда энергия фотона равна или больше ширины запрещенной зоны ( hv ≥ ΔE ), могут совершать перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости, что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов(в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость, обусловленная как электронами, так и дырками.

Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость может возникать и при hv ≤ ΔE : для полупроводников с донорной примесью фотон должен обладать энергией hv ≥ ΔE_D , а для полупроводников с акцепторной примесью — hv ≥ ΔE _А . При поглощении света примесными центрами происходит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае полупроводника n -типа, или из валентной зоны на акцепторные уровни в случае полупроводника p -типа. В результате возникнет примесная фотопроводимость, являющаяся чисто электронной для полупроводников n -типа и чисто дырочной для p -типа.

hv ≥ ΔE — для собственных полупроводников, hv ≥ ΔE _П для примесных полупроводников. Из этого можно определить красную границу фотопроводимости, красная граница фотоэффекта-минимальная частота ν₀ света( зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен:

1.Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U = U ( x , y , z ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e — iωt = e — i ( E /ħ) t , так что Ψ( x , y , z , t )= ψ ( x , y , z ) e — i ( E /ħ) t , где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ 2 /2 m ) ΔΨ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i ħ(∂ Ψ /∂ t ), где ħ= h /(2 π ), m –масса частицы, i -мнимая единица, U -потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется

разделив на общий множитель e — i ( E /ħ) t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ

Δψ+(2 m /ħ 2 )( E — U ) ψ =0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ .

2. Принцип работы лазера. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров, их применение .

Лазер – устройство, при прохождении через которое электромагнитные волны усиливаются за счет вынужденного излучения. Лазер – оптический квантовый генератор. Лазер имеет 3 основных компонента: 1) активная среда, 2) система накачки, 3) оптический резонатор. 1-й лазер был рубиновый, активная среда – рубин Al ₂ O ₃ . Для оптической накачки использовалась газоразрядная лампа. В кристалле Al ₂ O ₃ некоторые атомы Al замещены на Cr 3+ . При облучении рубина цветом атом хрома переходит с уровня 1 на уровень 3, затем происходят переходы либо 3 ® 1 (незначительно), либо 3 ® 2. Переход 2 ® 1 запрещен, поэтому атомы хрома накапливаются на уровне 2, возникает среда с инверсной населенностью. Фотон случайно родившийся при спонтанных переходах может порождать в активной среде множество вынужденных переходов 2 ® 1, в результате возникает целая лавина вторичных фотонов, зарождается лазерная генерация. Для выделения направления лазерной генерации используется оптический резонатор. В простейшем случае – пара обращенных друг к другу зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда. Фотоны, которые движутся под углом к оси кристалла выходят из активной среды, а фотоны, которые движутся параллельно оси вызывают вынужденное излучение. Многократно усиленный поток выходит через полупрозрачное зеркало, создавая пучок огромной яркости. Типы лазеров: 1) твердотельные, 2) газовые (гелий-неоновые), 3) полупроводниковые, 4) жидкостные. Применение: обработка, резание, скоростное и точное обнаружение дефектов, в измерительной технике, голография.

1.Квантовая теория свободных электронов в металле. Плотность электронных состояний. Энергия Ферми.

Квантовая теория электропроводности металлов – теория электропроводности основывается на квантовой механике и квантовой статистике Ферми-Дирака. Согласно этой теории выражение для удельной электрической проводимости металлов: g = ne 2 / m , где n – концентрация электронов проводимости, — средняя длина свободного пробега электронов, имеющего энергию Ферми, — средняя скорость теплового движения такого электрона. Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с реальной кристаллической решеткой, а классическая, взаимодействие с идеальной кристаллической решеткой. Классическая теория дает, что g

1/ Ö T , а квантовая более точно объясняет зависимость g от Т, как g

1/ T . Так как согласно классической теории

Ö T , то в квантовой теории доказано, что от температура практически не зависит, так как доказано, что с изменением температуры уровень Ферми остается неизменным. Однако с повышением температуы рассеяние «электронных волн» на фотонах возрастает. А это соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. Поэтому можно заметить, что сопротивление металла R

1/ g растет пропорционально Т Энергия Ферми – это максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в атоме при 0 ° К. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами называют уровнем Ферми. Уровню ферми соответствует энергия ферми Е _F , которую имеют электроны на этом уровне.

2. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Виды радиоактивных излучений.

Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер (нестабильных) в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. Радиоактивные процессы: 1) α-распад, 2) β-распад, 3) γ-излучение ядер, 4) спонтанное деление тяжелых ядер, 5) протонная радиоактивность. Радиоактивное ядро – материнское, образующееся при распаде – дочернее. Радиоак-ть подразделяют на естественную и искусственную, принципиальных различий в них нет.

Закон радиоактивного распада. Отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга. Можно считать, что число ядер dN , распадающихся за малый промежуток времени dt, пропорционально как числу имеющихся ядер N, так и dt: dN = — λNdt, где λ – постоянная распада, характерная для каждого рад. препарата (“-“ т.к. убыль числа ядер). Проинтегрируем, получим: N = N0e-λt, где N0 – количество ядер в начальный момент, N – количество нераспавшихся ядер в момент времени t. Это закон рад-ого распада: число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненте.

Активность А =│dN/dt│=λN – число ядер, распавшихся за ед. времени. [1 Бк (беккерель) =1 распад/с или 1 Ки(кюри) =3,7∙1010 Бк]. Удельная активность – активность на ед. массы рад. препарата.

Период полураспада Т: из условия N0/2 = N0e-λt, откуда Т = ln2/λ = 0,693/λ.

Среднее время жизни τ = (1/ N0)∫0∞tdN = (1/ N0)∫0∞tλNdt = (1/ N0)∫0∞tλN0e-λtdt = 1/λ.

Виды рад. излучений. α-распад. Самопроизвольное испускание ядром α-частицы (ядра 42Не): AZX → A-4Z-2Y+42Не. Спектр излучения α-частицы дискретный (монохромные волны). Масса материнского ядра > массы дочернего. Энергия α-частицы: 4-9 эВ. α-частица, покидая ядро, преодолевает потенциальный барьер, высота которого больше ее энергии. Внутреняя сторона барьера обусловлена ядерными силами, внешняя – кулоновскими. Преодолевает барьер благодаря туннельному эффекту.

β-распад. Самопроизвольный процесс, в котором исходное ядро превращается в другое ядро с тем же массовым числом А, но с Z, отличающимся от исходного на ±1 (испускание е-\е+ или захват). Виды: 1) электронный β—распад (испускается е- и Z→Z+1); 2) позитронный β+-распад (испускается е+ и Z→Z-1); 3) К-захват (ядро захватывает е-, находящийся на К-ой оболочке и Z→Z-1, сопровождается рентгеновским излучением)

γ-излучение. Испускание возбужденным ядром при переходе его в нормальное состояние γ-квантов (их энергия 10кэВ – 5МэВ, спектр дискретный, т.к. дискретны энергетические уровни самих ядер). γ-распад – процесс внутриядерный (β-распад — внутринуклонный). Возбужденные ядра могут переходить в основное состояние, передавая энергию возбуждения внешним е- — внутренняя конверсия электронов (эти е- моноэнергетичны), явление сопровождается рентгеновским излучением.

1.Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза де Бройля. Опыты по дифракции микрочастиц.

Де Бройль выдвинул теорию о корп.-волн.дуализме материи, т.е. не только фотоны, но и электроны и любые другие частица материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Каждые микрообъект связывают корпуск.характеристики –энергия Е и импульс р, а также волновые – частота ν и длина волны λ. Е= h ν, p = h /λ. Т.о. любой частице обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемо по формуле де Бройля λ= h / p . Можно добавить то, что на частице вещества переносится связь между полной энергией частицы ε и частотой ν волн де Бройля: ε = h ν , h -постоянная Планка=6,625·10 -34 Дж·с

Волна де Бройля – это волна, связанная с равномерным и прямолинейным движением частицы.

E=h w , p=hk, w =E/h, k=p/h. y (x,t)=Aexp(-i/h(Et-px)) – плоская волна де Бройля . Фазовая и групповая скорости волн де Бройля. Фазовая скорость – скорость распространения фазы . Et — px = const , Edt — pdx =0, = dx / dt = E / p = = mc 2 / m u — средняя скорость волны. u _ф = c 2 / u , u _гр = d w / dk , E = h w , p = hk , E 2 — p 2 c 2 = m 2 ₀ c 4 ; E = c Ö ( p 2 + m 2 ₀ c 4 ). u _гр =d w /dk=dE/dp= c2p/(2 Ö (p 2 +m 2 ₀ c 4 ))=pc2/c Ö (p 2 +m 2 ₀ c 4 )=pc 2 /mc 2 =p/m=m u /m= u . u _гр u _ф = c 2 . Дифракция микрочастиц. По идее де Бройля движение электрона или какой другой частицы связано с волновым процессом. l =2 p h / p =2 p h / m u (1); w = E / h . Гипотеза была подтверждена экспериментально в 1927 г. исследование отражения электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе. Узкий пучок моноэнергетических электронов направлялся на пов-ть монокристалла. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединенным к гальванометру. Интенсивность оценивалась по силе тока. Варьировалась скорость электронов и угол j . Рассеяние оказалось особенно интенсивным при угле, соответствующем отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми было известно из рентгенографических исследований. Вычисленная по формуле (1) длина волны примерно равна брэгговской длине волны, где 2 dsin q = n l . Этот опыт подтвердил идею де Бройля. Томсон и Тартаковский независимо друг от друга получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Пучок электронов проходил через тонкую фольгу и попадал на фотопластину. Электрон при ударе о фотопластину оказывает на нее такое же действие как и фотон. Полученая таким же способом электрограмма золота сопоставлена с рентгенограммой алюминия. Сходство поразительно. Обнаружили, что дифф. Явления и у атомных и у молекулярных пучков, и длина волны l =2 p h / p . Таким образом было доказано, что волновое сходство присуще отдельному электрону.

1. Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты «А» и «В» Эйнштейна.

Спонтанный переход – переход атомов с более высоких на более низкие энергетические уровни. Такие переходы приводят к спонтанному испусканию атомами фотонов. Индуцированные переходы – переходы с более низких на более высокие уровни энергии под действием излучения. Для возможности установления равновесия при произвольной интенсивности падающего излучения необходимо существование «испускательных переходов», вероятность ктр. возрастала бы с увеличением интенсивности излучения, т.е. «испуск. переходов», вызываемых излучением. Возникающее при таких переходах излучение назыв. вынужденным или индуцированным.

Вынужденное и вынуждающее излучения являются строго когерентными. Пусть — вероятность вынужденного перехода атома в ед. времени с энергетического уровня на уровень , -вер-ть обратного перехода. При одинаковой интенсивности излучения . и — вероятность вынужденных переходов пропорциональна плотности энергии вынуждающего переход магнитного поля, приходящейся на частоту , соответствующую данному переходу ( ). Величины назыв. коэф. Эйнштейна. Равновесие между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов , совершающих в ед. времени переход из состояния n в сост. m, будет равно числу атомов , совершающих переход в обр. направ. Пусть , тогда переходы смогут происх. только под воздействием излучения, переходы будут совершаться как вынужденно, так и cпонтан., ,

Усл. равновесия: имеем ,

( -числа атомов в сост. m и n). Вероятность спонтанного перехода атома в ед. времени из сост. n в сост m через . Тогда число атомов совершающих в ед. вр. спонтанный переход , опр. т.е.

. определяем равновесное значение (1), Согласно з-ну Больцмана При малых частотах сравнивая с формулой Рэлея-Джинса находим, что подставляя в (1) получаем формулу Планка.

2. Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога

Одномерный потенциальный порог.

и ;Решения ур-ий Шредингера для стац. сост. имеет вид

и где и

волновые ф-ии частицы в обл-тях I и II соотв. и , Вер-ть того что частица отразится от порога опр-ся коэф. отражения , Вероятность прохождения частицы ===============================

Потенциальный барьер. Пусть ч-ца движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенц. барьер высоты .Рассм. случай тогда (1) для обл. I и III

(2) для обл-ти II причем . Будем искать реш. ур-я (1) в виде подставляя получаем отсюда , где , т.о. реш. ур-я (1) имеет вид для обл-ти I, для обл-ти III, аналогично для ур-я (2) для обл. II, . Заметим,что реш. вида соотв. волне распростр. в положит. направлении оси х, а реш. вида — в противополож.

В обл. III имеется только волна, прошедшая через барьер и распр. слева направо следов. =0. Для того чтобы была непрерывна должно вып. усл. и . Для того чтобы не имела изломов необх.: и , причем — отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающих волн определяет вер-ть отражения частицы от потенц. барьера – коэф. отражения. — отнош. квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн – вер-ть прохождения частицы через барьер – коэф. прохождения. . Из ур-ний получившихся из условий непрерывности и гладкости пси-ф-ии, находим

, т.е. вер-ть прохождения частицы через потенц. барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над . В случае барьера произв. формы

. При преодолении потенц. барьера ч-ца как бы проходит через туннель в этом барьере – рассм. нами явление – туннельный эффект.

1. Волновая ф-ция, ее статический смысл и условие, которым она должна удовлетворять. Принцип суперпозиции в квантовой механике.

С движением частицы связывается волновой процесс, описываемый волновой ф-цией y ( ` r , t )= = y ( x , y , z , t ). y ( ` r , t )= y ( ` r ) j ( t ). dp =| y | 2 dV =| y ( ` r , t )| 2 dxdydz – вероятность того, что частица находится в объеме dV , определяемая радиусом ` r . Таким образом волновая ф-ция не имеет смысла, а квадрат модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в пр-ве. Поскольку ф-ция не имеет смысла, то она может быть комплексной: ò | y | 2 dV =1 (от — ¥ до ¥ ) – условие нормировки. y — нормированная, если удовлетворяется условие: | e i a | 2 = e i a , e — i a =1. Требования к волновой ф-ции. w =| y | 2 = yy * , ò | y | 2 dV =1. 1) Ф-ция должна быть квадратично интегрируема или конечна. 2) ф-ция должна быть однозначна. 3) непрерывность ф-ции вместе с первыми производными. Принцип суперпозиции. d w =| y | 2 dV , y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ . Если частица может находится в состоянии, описываемом волновой ф-цией y ₁ и y ₂ , то она может находится и в состоянии y , являющейся линейной комбинацией этих состояний. y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ (с₁ и с₂ могут быть комплексными), | c ₁ | 2 и | c ₂ | 2 дают вероятность того, что частица находится в состоянии 1 или в состоянии 2.

Эффектом Комптона наз.упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения на свободных электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Комптон экспериментально доказал Δλ=λ`-λ=2λ _c sin 2 ( θ /2)( λ`-длина волны рассеянного излучения, λ-длина волны падающего света, λ_с — комптоновская длина волны( при рассеянии фотона на электроне λ_с =2,426 пм). Эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний электрон нельзя считать свободным. Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других заряженных частицах, например на протонах, однако из-за большой массы протона его отдача просматривается лишь при рассеянии фотонов с очень высокой энергией.

2. Принцип работы лазера. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров, их применение .

2.Деление ядер и цепные реакции. Термоядерный синтез.

Реакция деления ядра заключается в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов, а как впоследствии оказалось и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на ядра, близких по массе. Оно сопровождается испусканием 2-3 вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления. Т.к. для средних ядер число нейтронов примерно равно числу протонов, а для тяжелых ядер число нейтронов значительно превышает число протонов, то образовавшиеся осколки деления перегружены нейтронами, в результате чего они и выделяют нейтроны деления. Однако испускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядер-осколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки оказываются радиоактивными.

Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществления цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k ≥1. Коэф.размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного изотопа – от его количества, а также размеров и формы активной зоны(пространство, где происходит цепная реакция). Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для осуществления цепной реакции, называется критической массой.

N = N ₀ e ( k -1) t / T – число нейтронов в момент времени t , N ₀ — число нейтронов в начальный моменты. k >1 – саморазвивающиеся реакции, k =1 – самоподдерживающаяся реакция, k 7 К и выше) называется термоядерной реакцией.

1.Работа выхода электронов из металла. Термоэлектронная эмиссия. Формула Ричардсона и Ричардсона-Дешмана.

Работа выхода – это работа, которую нужно совершить для удаления электрона с уровня Ферми. А_вых = D U — E_F , D U зависит от материала, | D U |= A + E _кин , А=| D U |- E _кин , Е _F – зависит от концентрации свободных электронов Þ A _вых слабо зависит от температуры. Термоэлектронная эмиссия – испускание электронов сильно нагретой поверхностью. Термоэлектронную эмиссию характеризует величина тока насыщения.

1) U — заворачивает электрон, но некоторые электроны, кинетическая энергия которых велика прорываются, I >0.

2) Если U возрастает, то I возрастает, так как содействует росту тока. 3) Линейный участок, I

U , связана с облаком отрицательного заряда около катода. Оно мешает электрону выскакивать из катода. Рост U ведет к уменьшению плотности этого облака Þ росту I . 4) Насыщение – все кто выскочил из катода, все увлекаются к аноду. Формула Ричардсона-Дешмана. j _нас = A ( kT ) 2 exp (- A _вых / kT ) идея: m u _x 2 /2> D U . j _нас повышается при повышении температуры и понижении работы выхода.

2. Структура атомного ядра. Характеристика ядер: заряд, размеры, масса, энергия связи. Свойства и обменные характер ядерных сил.

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов. Протон имеет положительный заряд, равный заряду электрона. Нейтрон – нейтральная частица. Протоны и нейтроны называют нуклонами. Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А. Атомное ядро характеризуется зарядом Ze , где Z -зарядное число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с номером в периодической системе Менделеева. Ядра с одинаковым Z , но с разным А называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но с разными Z — изобарами. Радиус ядра задается эмпирической формулой R = R ₀ A 1/3 , где R ₀ =(1,3÷1,7)10 -15 м.

Энергия связи ядра E _св =[ Zm _Н +( A — Z ) m_n — m ] c 2 , где m_H — масса атома водорода. Δm =[ Zm_p +( A — Z ) m_n — m _я ]-дефект массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра. Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами. Свойства:

1.ядерные силы являются силами притяжения

2.ядерные силы являются короткодействующими – их действие проявляется только на расстоянии 10 -15 м. При увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля а при расстоянии, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских

3.ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, действующие между 2 протонами или 2 нейтронами, одинаковы по величине. Ядер.силы имеют неэлектрическую природу.

4.ядерным силам свойственно насыщение – каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов.

5.ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.

6.ядерные силы не являются центральными, т.е. действующими по линии, соединяющей центры взаимодействия нуклонов.

1.Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы. Для одномерного (по оси х) движения частицы.

где l -ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна, U -высота. Частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером( при Е> U ), либо отразится от него (при Е U , имеется вероятность отражения от барьера, и при Е 2 =2 mE / h 2 ; для области 2 q 2 =2 m ( E — U )/ h 2

Общие решения этих диф.уравнений:

Качественный характер функций ψ₁ (х),ψ₂ (х),ψ₃ (х)(см.рис2), откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Т.о. приходим к явлению – туннельный эффект, когда микрочастица может пройти сквозь потенциальный барьер.

2. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.

Эффект Зеемана – расщепление энергетических уровней при действии на атомы магнитного поля. Атом обладающий магнитным моментом, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию где — проекция полного магнитного момента атома на направление поля В . Запишем выражение для энергии каждого подуровня: , где -энергия уровня в отсутствие магн. поля.

Отсюда следует, что ур-ни с кв. числом расщепляются в магн. поле на равноотстоящих др. от др. подуровней, причем величина расщепления зависит от множителя Ланде , т.е. интервалы между соседними подуровнями пропорциональны . Возможны только такие переходы между подуровнями, принадлежащими разным уровням, при ктр. вып-ся правила отбора . Компоненты, соотв. назыв. -компонентами, а компонентами. При наблюдении перпендикулярно магн. полю присутствуют и и компоненты. При набл. вдоль – только .Частоты зеемановских компонент спектральной линии с частотой опр. ф-лой , — зеемановское смещение(отн. несмещ. линии)

Простой эффект Зеемана Эффект в ктр. спектральная линия расщепляется на три компоненты. Простой эф. присущ спектральным линиям, не имеющим тонкой структуры. Эти линии возникают при переходах между синглетными ур-нями ( ) , т.е. (1). Слева (рис.) расщепление ур-ней для перехода (При включении поля возникают три зеемановские компоненты в соотв с (1)) На рис. справа но и здесь тоже только три зеемановские компоненты (в соотв. с правилом отбора)

Сложный эффект Зеемана. Когда спектральная линия распадается на число более трех. Это связано с зав-тью расщепления самих ур-ней от множителя Ланде

P.S. Обозначение уровней где =2s+1, s- спин, L –символ состояния , -квантовое число полного мом

1.Опыты по рассеянию a -частиц. Ядерная модель атома. Постулаты Бора.

α-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой во много раз больше массы электрона. Пучки α-частиц обладают высокой монохроматичностью.

Резерфорд, исследуя прохождение α-частиц в веществе(через золотую фольгу толщиной 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые α-частицы резко отклоняются от первоначального направления(даже до 180˚). Т.к. электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как α-частицы, то Резерфорд сделал вывод что значительное отклонение α-частиц обусловлено из взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие α-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это означает что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.

На основании своих исследований Резерфорд в 1991г. предположил ядерную (планетарную) модель атома. Вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze ( Z — порядковый номер элемента, е-элементарный заряд), размер 10 -15 -10 -14 м и массу, практически равной массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома.

Первый постулат Бора (постулат для стационарных состояний): в атоме существуют стационарные состояния( не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией hv = E_n — E_m равной разности энергий соответствующих стационарных состояний ( E_n и E_m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения(поглощения). При E_m E_n — его поглощение.

2. Примесная проводимость полупроводников. Концентрация основных и неосновных носителей в полупроводнике p-типа. Уровень Ферми примесного полупроводника p-типа. Температурная зависимость проводимости примесного полупроводника p-типа. Примесная проводимость полупроводников. Примесная проводимость полупроводников возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности основных атомов.

Концентрация основных и неосновных носителей в полупроводниках p-типа.

В полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, имеется только один вид носителей тока – дырки. Такой полупроводник обладает дырочной проводимостью и является полупроводником p-типа. Атомы примеси, вызывающие появление дырок, называют акцепторами. Акцепторные уровни оказывают существенное влияние на электрические св-ва кристалла, если они расположены недалеко от потолка валентной зоны. Образованию дырки отвечает переход э-на из валентной зоны на акцепторный уровень. Обратный переход соответствует разрыву одной из четырех ковал. связей атома примесей с его соседями и рекомбинации образовавшегося при этом электрона и дырки

Уровень Ферми примесного полупроводника p-типа.

Уровень Ферми располагается в нижней половине запрещенной зоны.

При повышении температуры уровень Ферми( ) в полупроводниках обоих типов смещается к середине запрещенной зоны.

Температурная зависимость проводимости примесного полупроводника p-типа.

При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает вершины. Это значит, что практически освобождаются все донорные или заполняются электронами все акцепторные уровни. По мере роста температуры все больше сказывается собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости. → при высоких температурах проводимость полупроводника складывается из примесной и собственной проводимостей. При низких температурах преобладает примесная, а при высоких – собственная проводимость.

1.Тепловое излучение. Интегральные и спектральные характеристики излучения. Закон Кирхгофа. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина.

Тепловое излучение – вид излучения, который может находится в термодинамическом равновесии с излучателем и к анализу такого излучения применимы законы термодинамики.

Спектральная плотность энергетической светимости тела – мощность излучения с единицы площади поверхности тела а интервале частот единичной ширины:

dW_ν _, _ν ₊ _dν изл — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени(мощность излучения) с единицы площади поверхности в интервале частот от ν до ν+ d ν(Дж/м 2 ). Интегральная энергетическая светимость можно найти, просуммировав по всем частотам:

R_T =∫₀ ∞ R_ν _, _T dν . Закон Кирхгофа – отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры R_ν _, _T / A_ν _, _T = r_ν _, _T . Закон Стефана-Больцмана

R_e = σT 4 , т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры, σ-постоянная Стефана-Больцмана = 5,67·10 8 Вт/(м 2 ·К 4 ). Закон смещения Вина λ_мах = b / T , т.е. длина волны λ_мах , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорционально его термодинамической температуре, b — постоянная Вина =2,9·10 -3 м·К. Закон Вина обьясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре сильнее преобладает длинноволновое излучение.

====================================================

Билет 12

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Уравнение шредингера и его свойства

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ(

) = Eψ(

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(

,t) = ψ(

)exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,

(4.7)

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Аsin kL = 0.

(4.8)

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ),

(4.15)

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Y_lm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Y_lm(θ,φ)

(4.16)

Y_lm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Y_lm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

Решения уравнения

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0	s-состояние
l = 1	p-состояние
l = 2	d-состояние
l = 3	f-состояние
l = 4	g-состояние
l = 5	h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
s_z	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s_zћ, где s_z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

Кулоновский потенциал U = Q/r,
Прямоугольная потенциальная яма
Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

источники:

http://elementy.ru/trefil/21/Uravnenie_Shryodingera

http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html