Уравнение шредингера реферат по физике

Реферат: Вывод уравнения Шредингера

Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением — вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.

В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта — испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.

Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что «перескок» электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.

Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.

Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.

Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.

Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.

Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.

Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.

Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более «физическими»; операции же над матрицами — более громоздкими.

Функция Ψ. Нормировка вероятности.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.

Плоская волна де Бройля

(1)

является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией , зависящей от координат и времени. Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.

Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* — комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:

(2)

где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.

Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.

Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества — интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.

Если – волновые функции, описывающие какие-то два состояния частицы, то всякая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами с1Ψ1 + с2Ψ2 представляет также волновую функцию той же частицы, описывающую какое-то ее состояние. Найдя Ψ указанным путем, можно в дальнейшем определить и плотность вероятности Ψ*Ψ в состоянии Ψ.

Оправданием такого принципа суперпозиции является согласие с опытом вытекающих из него следствий. Является ли принцип суперпозиции точным законом природы, или он верен только в линейном приближении, этот вопрос не может считаться выясненным.

Подчеркнем особо, что физический смысл волновой функции Ψ связан не только с ее модулем, но и с ее фазой, определяемой мнимой частью этой функции. Если бы речь шла о волновой функции только одного состояния, то можно было бы ограничиться одним только модулем. Но если речь идет о наложении состояний, то происходит их интерференция, а она определяется относительной разностью фаз волновых функций, описывающих эти состояния.

Частота волны де Бройля ω и вообще частота волновой функции относятся к принципиально ненаблюдаемым величинам. Этим можно воспользоваться, чтобы перейти к квантовой механике в нерелятивистской форме. И в классической механике обширная область явлений охватывается в нерелятивистском приближении. То же может быть сделано и в квантовой механике. К тому же здесь переход к релятивистскому рассмотрению осложняется следующим обстоятельством. В сильных полях, когда энергия поля (например, γ-кванта) превосходит 2mес2, начинается рождение пар электрон-позитрон. То же наблюдается в аналогичных случаях и для других частиц. По этой причине последовательная релятивистская квантовая механика не может быть теорией одного тела (одной частицы). Теория одного тела возможна только в нерелятивистском приближении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только нерелятивистской квантовой механикой.

В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-прежнему пользоваться соотношениями:

E=ħω, (3)

(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), -импульс, — волновой вектор, ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).

Однако собственную энергию частицы m0c2 учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую частоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения

E = р2/2m, и закон дисперсии записывается в виде

Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:

υф = ω/k = ħk/2m = υ/2 (5) (здесь k=2π/λ, — волновое число)

Однако это не может отразиться на физических выводах теории, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины — плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) — при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.

3. Получение уравнения Шрёдингера

Основная задача волновой механики состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это — основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества.

При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.

Дифференцирование (1) по x, y, z даст:

Сложением полученных вторых производных найдем:

Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:

(6)

Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.

Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:

Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать:

(7)

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:

(7*)

Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил, E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению

(8)

Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.

Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией U(). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют

и величины и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой части уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение

(9)

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, конечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.

В уравнении (9) в неявной форме уже заложена двойственная – корпускулярно-волновая –природа вещества. Согласно интерпретации волновой функции Ψ частица не локализована. Она, как принято говорить, с определенной вероятностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при написании уравнения (9) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех возможных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении (9) это не предполагается. Потенциальная функция U() рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точечной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.

Уравнение Шрёдингера – первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции Ψ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.

Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1 + α2Ψ2 с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1 и Ψ2 описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1 + α2Ψ2 также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1 + α2Ψ2 нормировать (если интеграл , взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со временем) силового поля U не зависит явно от времени. В последнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

(10)

(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал (11)

Подстановка функции (10) в уравнение (9) с учётом (11) дает:

Сокращая все члены этого уравнения на общий множитель e-i(E/ħ)t и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

(12)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:

Это выражение часто пишут в комплексном виде:

(13)

подразумевая, что надо принимать во внимание вещественную часть этого выражения.

Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой ω=Е/ħ и длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ в выражении (13) соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:

(14)

Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (14), воспользуемся соотношением между Е и p:

Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функцию Ψ и ее производные:

Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:

Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или z), фаза колебаний будет зависеть от всех координат: х, у и z. В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид:

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера (8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационарных состояний:

(16)

Это уравнение совпадает с уравнением (12) для случая U = 0.

Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует обобщить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.

В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е в уравнении (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую энергию. Если принять, что Е – полная энергия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. Поэтому следует признать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е –U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (12).

Приведенные нами рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

Основные свойства уравнения Шрёдингера

Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле

U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где постоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

(17)

Подставив сюда оператор импульса , получим гамильтониан свободно движущейся

где Δ= д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дz2 — оператор Лапласа.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являющейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:

(18)

где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем пространстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро — как l/rs с s 0. Имея также в виду очевидное неравенство Ū > Umin, найдем, что и Ē > Umln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии:

Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезающем на бесконечности; функцию U(х, у, z), как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е 0 уравнение Шрёдингера, вообще говоря, не имеет (в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл сходился.

Обратим внимание на то, что в квантовой механике при финитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е Е. В классической механике невозможность проникновения в эту область связана с тем, что при Е 0 (причем на бесконечности U → 0), то в силу неравенства (19) имеем Еп > 0. Поскольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть непрерывным, то мы заключаем, что в рассматриваемом случае дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфинитное движение частицы.

Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат)

обращается в – ∞ по закону

Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса r0) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка r0 ; поэтому неопределенность в значении импульса

ħ/r0. Среднее значение кинетической энергии в этом состоянии порядка величины ħ2/ , а среднее значение потенциальной энергии

– α /. Предположим сначала, что s > 2.

при достаточно малых r0 принимает сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения. Но если средняя энергия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энергии с большим |Е| соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат. «Нормальное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в самом начале координат, т. е. произой-дет «падение» частицы в точку r = 0.

Если же s Е, волновые функции быстро затухают). Таким образом, в рассматриваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0.

Если же на бесконечности поле спадает, как – 1/rs с s > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней конечно.

Уравнение Шрёдингера для волновых функций ψ стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия, – вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными (хотя это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле). Что касается собственных функций невырожденных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множителя. В самом деле, ψ* удовлетворяет тому же уравнению, что и ψ, и потому тоже есть собственная функция для того же значения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то ψ и ψ* должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице). Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций.

Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ψ определяются уравнением, в коэффициенты которого входит i. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить i на – i и одновременно перейти к комплексно сопряженному. Поэтому можно всегда выбрать функции Ψ такими, чтобы Ψ и Ψ* отличались только знаком у времени.

Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В квантовой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака i и одновременной замене Ψ на Ψ*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играющему фундаментальную роль в квантовой механике.

5. О квантово-механическом представлении движения микрочастиц

Квантовая механика не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и исчерпывающее описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл. Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами, что становится совершенно очевидным, если проанализировать существо опытов по дифракции.

Рассмотрим дифракцию от двух близко расположенных отверстий (рис. 1). Вследствие интерференции волн, распространяющихся от отверстий, дифракционная картина не будет тождественна наложению дифракционных картин, получающихся от каждого из отверстий в отдельности (картина, получающаяся в случае рис. 1, а, не совпадает с наложением картин, получающихся в случаях б и в). Следовательно, вероятность попадания электрона (или какой-либо другой микрочастицы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет равна сумме вероятностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности. Отсюда неизбежно следует вывод, что на характер движения каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод не совместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие — первое или второе. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия – и первое, и второе.

Не следует, однако, представлять дело так, что какая-то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть – через второе. Электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами. Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой частицы с весьма своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнаруживающиеся у макротел.

В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по которому движется микрочастица, обнаруживается в виде узких следов (треков), образованных капельками тумана; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, и т. п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и определенного местоположения оказываются применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности.

Положение оказывается опять-таки точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий). При определенных условиях понятия положения в пространстве и траектории оказываются приближенно применимыми к движению микрочастиц, подобно тому, как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света.

Данный реферат не ставит перед собой цели полного описания уравнения Шрёдингера.

Значение уравнения Шрёдингера далеко не исчерпывается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и из условий, налагаемых на волновую функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

Условия состоят в том, что волновая функция ψ в соответствии с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, у и z. В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шрёдингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им решения уравнения – собственными функциями задачи. Эти решения определяют принцип квантования энергии.

Курсовая работа: «Эрвин Шрёдингер»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Шрёдингер-Курсовая-оригинал.docx

Уравнение Шредингера. Общий случай.

Случай трехмерного пространства. Получение уравнения Шредингера предельным переходом.

Случай одномерного пространства

Точные аналитические решения. Решение для свободной частицы — плоские волны.

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Численные решения

Эффект «кота Шредингера»

3.2. Копенгагенская интерпретация . Многоми́ровая интерпретация Эверетта и совместные истории

3.3. Практическое применение

Математические основания квантовой механики. Шрёдингеровское описание

Вклады Шрёдингера в другие науки

В своей работе я рассмотрю личность великого ученого, физика Эрвина Рудольфа Йозефа Александра Шредингера и его вклад в науку. Шредингер был ученым с большой буквы, основоположником квантовой механики. Уравнение Шредингера является фундаментом в строительстве квантовой механики. Эрвин Шредингер изучал не только квантовую физику, термодинамику, но и внес большой вклад в генетику и другие науки.

Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шрёдингер родился 12 августа 1887 года в Вене в семье Рудольфа Шрёдингера и Георгины Эмили Бренды. В 1898 поступил в Академическую гимназию. После окончания классической гимназии c 1906 по 1910 учился в Венском университете, который к этому времени, благодаря И. Лошмидту, И. Стефану и Л. Больцману, стал видным центром теоретической и экспериментальной физики. Именно там под влиянием крупных физиков, учеников Больцмана — Ф. Газенорля и Франца Экснера, сформировалось научное мировоззрение Шрёдингера.

Наиболее интересной для Шрёдингера областью стала термодинамика в вероятностной интерпретации, развитой Больцманом «Круг этих идей,- говорил Э. Шрёдингер в 1929 г.,- стал для меня как бы первой любовью в науке, ничто другое меня так не захватывало и, пожалуй, уже никогда не захватит». В качестве докторской диссертации Шрёдингер защищает экспериментальную работу по электрической проводимости на поверхности изоляторов во влажном воздухе, выполненную им в лаборатории Экснера.

После окончания университета Шрёдингер работает ассистентом Экснера, с 1914 г.- приват-доцентом. С 1910 г. появляются первые публикации Шрёдингера, посвящённые диэлектрикам, кинетической теории магнетизма, атмосферному электричеству, теории аномальной электрической дисперсии, интерференционным явлениям, теории эффекта Дебая и др.

За несколько недель до начала Первой мировой войны Шрёдингера призывают в армию. Шрёдингера отправляют в качестве артиллерийского офицера на относительно спокойный участок Юго-Западного фронта (район Триеста). Там ему удается оставаться в курсе развития физики, в частности, познакомиться со статьями Альберта Эйнштейна по общей теории относительности и в 1918 г. опубликовать две статьи по этой теме.

После войны осенью 1919 г. Шрёдингер принимает приглашение М.Вина прочитать курс лекций по электронной и квантовой теории в Йенском Университете. В 1920—1921 гг. Шрёдингер — профессор Штутгартского и Бреславского университетов, в 1921 г. возглавляет кафедру теоретической физики в Цюрихском университете . Мировую славу Шрёдингеру принесли его работы по квантовой теории 1926 г. Идея Луи де Бройля об электронных волнах, укладывающихся на орбитах целое число раз, привела Шрёдингера к пониманию дискретных состояний как собственных колебаний. Проблема квантования, таким образом, сводилась к поиску собственных значений и собственных функций. Введя понятие функции, описывающей состояние микрообъекта, Шрёдингер получает знаменитое «волновое уравнение» материи — уравнение Шредингера , играющее в атомной физике фундаментальную роль. Зная функцию в один из моментов времени, можно, решив уравнение Шредингера получить её и для любого другого момента времени. Сама функция описывает лишь вероятностное распределение состояний микрочастицы. Вскоре после создания волновой механики Шрёдингер показал её формальную эквивалентность квантовой механике Гейзенберга —Борна—Йордана. Однако в принципиальном вопросе — интерпретации квантовой теории — Шрёдингер разошёлся с копенгагенской школой, которая отбрасывала устоявшиеся классические понятия. Шрёдингер пришёл к убеждению о неполноте квантовой теории и позднее воплотил суть копенгагенской интерпретации в парадоксальной форме «кота Шредингера», который одновременно является с определенной вероятностью и живым, и мертвым.

В 1933 г. вместе с П.А.М.Дираком Шрёдингер удастаивается Нобелевской премии «за открытие новых форм атомной теории». В 1927 г. Шрёдингера приглашают на кафедру Берлинского университета преемником Макса Планка. В 1928 г. он был избран иностранным членом-корреспондентом АН СССР, в 1934 г. — почетным членом. В 1933 г. с приходом фашизма Шрёдингер был вынужден эмигрировать в Оксфорд. После короткого преподавания (1936—1938 гг.) он вновь эмигрирует. В 1939 г. по приглашению премьер-министра Ирландии И. де Валера Шрёдингер возглавляет специально созданный для него Институт Высших Исследований в Дублине. Шрёдингер работает в области теории гравитации, теории мезонов, термодинамики, нелинейной электродинамики Борна — Инфельда, делает попытки создания единой теории поля. Шрёдингер был не только крупнейшим физиком-теоретиком, но и неординарным мыслителем. Он знал шесть языков, читал в подлинниках античных и современных философов, интересовался искусством, писал стихи. В 1944 г. Шрёдингер публикует оригинальное исследование на стыке физики и биологии — «Что такое жизнь с точки зрения физики?». В 1948 г. он читает в Лондонском университетском колледже курс лекций по греческой философии, легший в основу его книги «Природа и греки» (Лондон, 1954 г.). Его волнует проблема взаимоотношений бытия и сознания («Дух и материя», Кембридж, 1958 г.), науки и общества (доклад в Прусской академии наук (Берлин) «Обусловлено ли естествознание окружающей средой?», 1932 г.; книга «Наука и гуманизм», Кембридж, 1952 г.), он обсуждает проблему причинности и законов природы (сборники: «Теория науки и человек», Нью-Йорк, 1957 г., «Что такое закон природы?», Мюнхен, 1962 г.). В 1949 г. выходит сборник его стихов.

Шрёдингер опубликовал около 100 статей на общенаучные и философские темы. Важнейшим для Шрёдингера вслед за Платоном является понятие Единого. В греческой, китайской, индийской философии — системе взглядов на природу в её единстве он пытается «отыскать утерянные крупицы мудрости», которые помогли бы преодолеть кризис понятийного аппарата фундаментальных наук и раскол современного знания на множество отдельных дисциплин. В сущности, и в его сугубо научных исследованиях по единой теории поля воплощалось его стремление к единству физической картины мира. Исходным для его философского мировоззрения было четкое осознание того, что «ценность только в рамках своего культурного окружения, только при контакте со всеми теми, кто ныне, а также кто будет в будущем предан делу обогащения духовной культуры и знания». Поэтому обращение Шрёдингера к наследию древнеиндийской и античной философии оказывается для него необходимым при обсуждении вопроса о том, что такое «объективная реальность», сводима ли она к данным наблюдения и измерения или к совокупности интерсубъективных, общезначимых значений? Сдвиг, который произошёл с квантовой механикой в понимании объективности и объективного описания, потребовал философского осмысления зависимости объективной действительности от способа наблюдения и описания. Шрёдингер оставил две рукописи, которые опубликованы под заголовком «Мое мировоззрение»: одна написана в 1925 г., другая — в 1960 г. Над рукописью Шрёдингер продолжал работать. Журнал печатает в этом номере рукопись 1925 г., а в следующем номере — 1960 г. Существенно то, что все создатели квантовой механики, в том числе и Э. Шрёдингер, наряду с естественнонаучными исследованиями вынуждены были размышлять над философскими проблемами, поставленными новой физикой, что новая естественнонаучная проблематика привела их к переосмыслению фундаментальных философских понятий, таких, как «реальность», «мир», «действительность», «сознание», «познающий субъект», «нравственный закон» и др. Шрёдингер указывал на важность метафизики для физиков, о том, что после периода «агонии метафизики» он предвидит тот период, когда ученый вынужден будет выйти за пределы непосредственно воспринимаемого и перейти к обсуждению предельных метафизических проблем. И здесь антиметафизическая установка философов начала XX в. и программа «описательной физики» уже явно недостаточна и ничем не может помочь в осмыслении многих фундаментальных вопросов.

Уравнение Шрёдингера. Общий случай.

Уравнение Шредингера в квантовой физике — уравнение, связывающее пространственно-временное распределение с помощью представлений о волновой функции. Играет в квантовой механике важнейшую роль. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы.

В начале 20 века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым микрочастицам присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из фундаментальных законов физики, объясняющих физические явления, определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае . Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса частицы становятся микроскопическими, прогнозы квантовой и классической теории совпадают, потому что неопределенный путь частицы становится близким к однозначной траектории.

В квантовой физике изначально вводится представление о вероятностном поведении частицы путем задания некоторой функции, называемой волновой и характеризующей вероятность местонахождения частицы. Затем выводится уравнение для этой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию , необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя

по отношению к частице потенциальная энергия в точке , — оператор Лапласа (или лапласиан), который имеет вид:

Случай трёхмерного пространства. Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

В трехмерном случае неизвестные являются функциями трех координат и в декартовой системе координат заменяется выражением

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — потенциальная энергия в точке

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2) . Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени) .

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1) , общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2) . Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2) . Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

Существует способ получить уравнение Шрёдингера, используя предельный переход к классической механике.

Поскольку интеграл есть величина постоянная (для нормированной функции равная 1) то:

(Звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение) Подставляя сюда наш оператор (оператор со звездочкой — комплексно сопряженный, с тильдой — транспонированный):

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции , то отсюда следует, что тождественно , то есть оператор эрмитов. Чтобы выяснить смысл этого оператора, подействуем им на функцию (функция квазиклассической системы, — медленно меняющаяся функция, -действие):

Пренебрегая первым членом в силу его малости получаем:

То есть — собственное значение нашего оператора. Но эта производная есть не что иное, как классическая энергия системы (функция Гамильтона). Поэтому этот оператор называют гамильтонианом или гамильтоновым оператором.

Мы не будем здесь приводить вывод оператора импульса (точнее, оператора величины, сохраняющейся в силу однородности пространства), приведем лишь результат:

Или в компонентах (оси . ):

В том, что это есть оператор величины переходящей в классический импульс можно убедиться, тем же методом, что был предложен для гамильтониана. Можно показать, что сохраняющаяся со временем величина, в частности импульс, измерима одновременно с энергией. Поэтому мы предположим, что соотношение между операторами импульса и энергии совпадает с классическим соотношением между соответствующими величинами:

Случай одномерного пространства.

Одномерное стационарное уравнение Шредингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где — постоянная Планка, — масса частицы, — потенциальная энергия, — полная энергия, — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала

где — константы. Квантовая Механика рассматривает решения уравнения , с граничными условиями и .

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности.

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция x. В одномерном случае, если волновая функция при , то показатель степени в соответствии с выражением

должен удовлетворять неравенству

Интегрирование уравнения в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

из которого в пределе следует

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией ( ), то условие принимает вид

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения. Решение для свободной частицы — плоские волны.

В общем виде решения уравнения , с граничными условиями и не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения .

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение принимает особенно простой вид

Для этого уравнения решением является суперпозиции плоских волн

Здесь энергия может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Константы и определяются из условия нормировки.

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения с потенциальной энергией , которая равна нулю в интервале и становится бесконечной в точках и . На этом интервале уравнение Шредингера совпадает с . Граничные условия , для волновой функции запишутся в виде

Ищем решения в виде . С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии

и собственных функций с учётом нормировки

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках , а именно, заменяя вторую производную по формуле

где — шаг дискретизации
, — номер узла сетки, получим

где — значение потенциальной энергии на узлах сетки. Пусть некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение можно записать в безразмерном виде

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии и собственные значения , то уравнение упростится

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов .

Кот Шрёдингера

Кот Шредингера — герой парадоксального мысленного эксперимента Эрвина Шредингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим.

В закрытый ящик помещён кот. В ящике имеется механизм, содержащий радиоактивное ядро и ёмкость с ядовитым газом. Параметры эксперимента подобраны так, что вероятность того, что ядро распадется за 1 час, составляет 50 %. Если ядро распадается, оно приводит механизм в действие, он открывает ёмкость с газом, и кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдения, то его состояние описывается суперпозицией (смешением) двух состояний — распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор обязан увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние — «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

Вопрос стоит так: когда система перестаёт существовать как смешение двух состояний и выбирает одно конкретное? Цель эксперимента — показать, что квантовая механика неполна без некоторых правил, которые указывают, при каких условиях происходит коллапс волновой функции и кот либо становится мёртвым, либо остаётся живым, но перестаёт быть смешением того и другого.

Вопреки расхожим представлениям, сам Шрёдингер придумал этот опыт вовсе не потому, что он верил, будто «мёртвоживые» коты существуют; наоборот, он считал квантовую механику неполной и не до конца описывающей реальность в данном случае. Поскольку ясно, что кот обязательно должен быть либо живым, либо мёртвым (не существует состояния, промежуточного между жизнью и смертью), то означает, что это верно и для атомного ядра. Оно обязано быть либо распавшимся, либо нераспавшимся.

Оригинальная статья вышла в немецком журнале Naturwissenschaften («Естественные науки») в 1935 году: E. Schrödinger: «Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik» («Текущая ситуация в квантовой механике»), Naturwissenschaften (November 1935). Целью статьи было обсуждение парадоксаЭйнштейна-Подольского-Розена, опубликованного ими ранее в том же году.

Копенгагенская интерпретация. Многоми́ровая интерпретация Эверетта и совместные истории

В копенгагенской интерпретации система перестаёт быть смешением состояний и выбирает одно из них в тот момент, когда происходит наблюдение. Эксперимент с котом показывает, что в этой интерпретации природа этого самого наблюдения — измерения — определена недостаточно. Некоторые полагают, что опыт говорит о том, что до тех пор, пока ящик закрыт, система находится в обоих состояниях одновременно, в суперпозиции состояний «распавшееся ядро, мёртвый кот» и «нераспавшееся ядро, живой кот», а когда ящик открывают, то только тогда происходит коллапс волновой функции до одного из вариантов. Другие догадываются, что «наблюдение» происходит, когда частица из ядра попадает в детектор; однако (и это ключевой момент мысленного эксперимента), в копенгагенской интерпретации нет чёткого правила, которое говорит, когда это происходит, и потому эта интерпретация неполна до тех пор, пока такое правило в неё не введено или не сказано, как его можно ввести. Точное правило таково: случайность появляется в том месте, где в первый раз используется классическое приближение.

Таким образом, мы можем опираться на следующий подход: в макроскопических системах мы не наблюдаем квантовых явлений (кроме явления сверхтекучести и сверхпроводимости); поэтому, если мы накладываем макроскопическую волновую функцию на квантовое состояние, мы из опыта должны заключить, что суперпозиция разрушается. И хотя не совсем ясно, что́ значит, что нечто является «макроскопическим» вообще, про кота точно известно, что он является макроскопическим объектом. Таким образом, копенгагенская интерпретация не считает , что до открытия ящика кот находится в состоянии смешения живого и мёртвого.

В многомировой интерпретации квантовой механики, которая не считает процесс измерения чем-то особенным, оба состояния кота существуют, но декогерируют. Когда наблюдатель открывает ящик, он запутывается с котом и от этого образуются два состояния наблюдателя, соответствующие живому и мёртвому коту, которые (состояния) не взаимодействуют друг с другом. Тот же механизм квантовой декогеренции важен и для совместных историй. В этой интерпретации только «мёртвый кот» или «живой кот» могут быть в совместной истории.

Другими словами, когда ящик открывается, Вселенная расщепляется на две разные вселенные, в одной из которых наблюдатель смотрит на ящик с мёртвым котом, а в другой — другой наблюдатель смотрит на живого кота. Парадокс?

Космолог Макс Тегмарк предложил вариацию опыта с котом Шрёдингера под названием «машина для квантового самоубийства». Он рассматривает эксперимент с котом с точки зрения самого кота и утверждает, что таким образом можно экспериментально различить копенгагенскую и многомировую интерпретации. Другая вариация эксперимента — это опыт с другом Вигнера.

Физик Стивен Хоккинг однажды воскликнул: «Когда я слышу про кота Шрёдингера, моя рука тянется за ружьём!» Он перефразировал известное немецкое высказывание, сделанное нацистским «заслуженным поэтом» Гансом Йостом: «Wenn ich ‘Kultur’ höre, entsichere ich meinen Browning!» («Когда я слышу слово „культура“, моя рука тянется за браунингом!»)

Фактически Хокинг и многие другие физики придерживаются мнения, что «Копенгагенская школа» интерпретации квантовой механики подчёркивает роль наблюдателя безосновательно. Окончательного единства среди физиков по этому вопросу всё ещё не достигнуто.

Распараллеливание миров в каждый момент времени соответствует подлинному недетерминированному автомату в отличие от вероятностного, когда на каждом шаге выбирается один из возможных путей в зависимости от их вероятности.

Практическое применение

Вышеописанное применяется на практике: в квантовых вычислениях и в квантовой криптографии. По волоконно-оптическому кабелю пересылается световой сигнал, находящийся в суперпозиции двух состояний. Если злоумышленники подключатся к кабелю где-то посередине и сделают там отвод сигнала, чтобы подслушивать передаваемую информацию, то это схлопнет волновую функцию (с точки зрения копенгагенской интерпретации будет произведено наблюдение) и свет перейдёт в одно из состояний. Проведя статистические пробы света на приёмном конце кабеля, можно будет обнаружить, находится ли свет в суперпозиции состояний или над ним уже произведено наблюдение и передача в другой пункт. Это делает возможным создание средств связи, которые исключают незаметный перехват сигнала и подслушивание.

Эксперимент (который в принципе может быть выполнен, хотя работающие системы квантовой криптографии, способные передавать большие объёмы информации, ещё не созданы) также показывает, что «наблюдение» в копенгагенской интерпретации не имеет отношения к сознанию наблюдателя, поскольку в данном случае к изменению статистики на конце кабеля приводит совершенно неодушевлённое ответвление провода.

В квантовых вычислениях состоянием Шредингеровского кота называется особое запутанное состояние кубитов, при котором они все находятся в одинаковой суперпозиции всех нулей или единиц, то есть .

Математические основания квантовой механики. Шрёдингеровское описание

Существуют три различных эквивалентных математических описания квантовой механики:

При помощи уравнения Шрёдингера;

При помощи метода вторичного квантования;

При помощи интеграла по траекториям.

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:

Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами комплексного сепарабельного гильбертова пространства , причем векторы и описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда , где — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.

Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнение Шредингера где — гамильтониан.

Каждому вектору из пространства отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является уравнение Дирака, которое с хорошей точностью позволяет описать релятивистские эффекты. Для динамики открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем применяется уравнение Линдблада.

Приложение 1

Программный код

Используя уравнение в конечных разностях запишем дискретный аналог для уравнения с нулевым потенциалом

Следующий программный код (Matlab) предназначен для решения уравнения с нулевой потенциальной энергией и граничными условиями , .

Уравнение Шредингера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Предпосылки вывода уравнения Шредингера

Основная идея волновой механики заключается в том, что для таких малых тел, как электрон, нельзя с определенностью сказать, где оно находится в данное время и куда направляется. Можно установить только относительную вероятность его нахождения в том или ином месте и наличие определенного количества движения в определенный момент времени.

В соответствии с волновой механикой какая-либо система – атом, молекула, электрон и т.д. – описывается функцией состояния или волновой функцией, обозначаемой $\psi$ («пси»), которая является функцией координат всех частиц, образующих эту систему. Следовательно, величина $\psi$ зависит только от положения всех частиц в пространстве.

В 1924 г. де Бройль предположил, что точно также, как свет, который, как обычно считают, имеет волновую природу, на самом деле при определенных обстоятельствах ведет себя, как будто он состоит из частиц – квантов, — так и очень малые частицы, такие, как электроны, также могут обладать волновыми свойствами. Де Бройль предположил, что с пучком электронов следует связывать длину волны, определяемую уравнением

где $\hbar$ – постоянная Планка ($6,626\cdot 1034 Дж\cdot с$ или $6,626\cdot 10-27 эрг\cdot с$), а $p$ – количество движения (импульс) электрона в пучке, т.е. его масса, умноженная на его скорость.

Физическое подтверждение волновой природы электрона было продемонстрировано в 1927 – 1928 гг. Дейвиссоном, Джермером и Томсоном, которые показали, что пучок электронов может испытывать дифракцию на подходящей решетке (атомы в кристалле золота), аналогичную дифракции пучка света.

Рисунок 1. Дифракция пучка электронов

На преграду с двумя узкими щелями направлен параллельный пучок моноэнергетических (т.е. обладающих одинаковой кинетической энергией) электронов (рис. 1. а). За преградой находится фотопластина $Фn$. При закрытии щели номер $2$ и экспонировании в течение времени $t$ почернение на проявленной фотопластине будет характеризоваться кривой $1$ (рис. 1. б). При закрытии щели номер $1$, соответственно, почернение на фотопластине будет соответствовать кривой $2$. Однако в случае, когда открыты обе щели картина почернения фотопластины (рис. 1. в) отнюдь не эквивалентна наложению двух первых картин. Зато она аналогична картине, получающейся при интерференции двух когерентных световых волн.

Готовые работы на аналогичную тему

Тот факт, что системы малых частиц проявляют, по крайней мере, при определенных условиях, волновые свойства, предполагает возможность описания таких систем уравнениями, подобными те, которые описывают другие виды волнового движения, например, волны, которые распространяются вдоль колеблющейся струны, или волновое движение, приписываемое электромагнитному излучению. Действительно, можно начать с волнового уравнения, соответствующего электромагнитным волнам, и путем определенных замен, превратить его в уравнение, соответствующее нашему случаю. Хотя эти замены диктуются физическими причинами, они в основном произвольны и могут быть приняты только потому, что приводят к уравнению, которое, как показывает опыт, позволяет получить правильное решение физических задач. Поэтому следует принять волновое уравнение как постулат, так как у химиков основной интерес вызывает применение волнового уравнения к атомным и молекулярным системам, а не физические и математические соображения, которыми руководствовался Шредингер, впервые его предложивший в 1925 г.

Общий вид уравнения Шредингера

Рисунок 2. Эрвин Шрёдингер (1887 — 1961)

Волновое уравнение, применяемое для расчета стационарных состояний системы, можно записать в символическом виде:

где $H$ представляет собой определенный способ выражения общей энергии системы, а $E$ – числовое значение этой энергии. Для всех систем, которые обычно интересуют химиков, общая энергия представляет собой сумму кинетической энергии $Т$ и потенциальной энергии $V$:

Это соотношение было широко использовано физиком-теоретиком Гамильтоном, поэтому $H$ часто называют функцией Гамильтона, а $\mathcal H$ гамильтонианом системы.

Уравнение Шредингера на примере атома водорода

Рассмотрим модель атома водорода, предложенную Бором. Для простоты предположим, что тяжелое ядро закреплено (оно почти, но не совершенно неподвижно, когда электрон движется вокруг него). Тогда полная кинетическая энергия $Т$ системы представляет собой просто кинетическую энергию электрона

где $m$ – масса электрона и $\nu$ – его скорость. Потенциальная энергия системы есть просто энергия, возникающая вследствие электростатического взаимодействия (гравитационные силы приблизительно в $10^<18>$ раз меньше), и ее можно выразить как

где $e$ — заряд электрона, $r$ — радиус орбиты, знак минус появляется вследствие того, что заряд одной из частиц положителен $(+)$, а другой отрицателен $(-)$. Поэтому для атома водорода функция Гамильтона в классической (т.е. доквантовомеханической) физике равна:

Если использовать понятие количества движения электрона $p=m\nu$, данное уравнение запишется в следующем виде:

Теперь для перехода от классического описания этой или какой-либо другой системы к описанию при помощи волновой механики, необходимо взять функцию Гамильтона (уравнение 6) и произвести в ней определенные замены: в функции Гамильтона количество движения следует заменить выражением

Таким образом, гамильтониан для атома водорода в его квантовомеханической форме $<\mathcal H>$ следует записать в виде

Если теперь это выражение гамильтониана подставить в общее волновое уравнение (уравнение 1), то получим:

Это и есть волновое уравнение для атома водорода. Из уравнения 9 следует, что нужно вторые производные функции $\psi $ сложить и умножить на $-<<\hbar >^2>/<8<\pi >^2m>$, затем к этому добавить $\left(-/\right)\psi $, тогда получим величину, тождественную Е$\psi $. Если найдена функция $\psi $, то говорят, что она является решением волнового уравнения, и ее называют волновой функцией. Вообще, может быть несколько различных функций $\psi_1$, $\psi_2$, . , $\psi_n$, которые являются решениями уравнения 9, причем каждой соответствует свое значение энергии $Е_1$, $Е_2$, . , $Е_n$.