Уравнение шредингера в операторном виде

Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме d V в области с координатами x y z , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( 1887 — 1961 , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

— h 2 m ∇ 2 Ψ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i h ∂ 2 Ψ ∂ t 2 .

Здесь m обозначает массу частицы, i 2 — мнимую единицу, ∇ – так называемый оператор Лапласа, равный ∇ 2 Ψ = ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 , Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U ( x , y , z , t ) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z ) e — i E h t .

Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

— h 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ .

∇ 2 Ψ + 2 m h 2 ( E — U ) Ψ = 0 .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H ^ . Его можно найти, сложив значения операторов — h 2 2 m ∇ 2 + U = H ^ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Уравнение Шредингера. Оператор эволюции во времени.

Все физически наблюдаемые величины в квантовой механике описываются эрмитовыми операторами (матрицами). Матрицы Паули в случае спина могут служить примером. В общем случае вероятности при измерении того или иного результата могут изменятся со временем. Существуют две эквивалентные картины описания временной эволюции квантовых систем:

1. Представление Гейзенберга. Операторы изменяются во времени, а вектор состояния постоянен.
2. Представление Шредингера. Вектор состояния изменяется во времени, а операторы постоянны.

Изменение вектора состояния со временем в картине Шредингера можно представить действием на него некоего оператора \( \displaystyle \hat \) — оператора эволюции во времени:

Вектор состояния в любой последующий момент времени получается действием оператора на вектор в исходный момент времени. Если произвести операцию эрмитового сопряжения над правой частью равенства, получим:

Перемножив одно на другое имеем:

Чтобы условие нормировки вероятностей \( \displaystyle\langle\psi| \psi\rangle=1 \) выполнялось и при изменении вектора со временем сумма вероятностей всегда была 100%, необходимо чтобы \( \displaystyle \hat^<\dagger>\hat=\hat \) или, что то же самое \( \displaystyle \hat^<\dagger>=\hat^ <-1>\). Операторы, удовлетворяющие данному условию, называются унитарными. Эрмитово сопряженный унитарный оператор является обратным исходному.

Унитарный оператор можно представить как экспоненту от эрмитова оператора, который уже не зависит от времени:

и эволюцию вектора состояния можно переписать как:

Данное выражение является наиболее общим решением уравнения Шредингера:

\( \displaystyle i \frac